[HÌNH HỌC 9] CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP HỌC KÌ I

$\boxed{\text {Bài toán 1: }}$ (Đề thi HKI 2007-2008 Q11 TpHCM)

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$, $BC$ là dây không qua tâm. Hai tiếp tuyến với $(O;R)$ tại $B$ và $C$ cắt nhau ở $A$. Gọi $H$ là trung điểm $BC$.

a) Chứng minh: $AB = AC$.

b) Chứng minh: ba điểm $O$, $H$, $A$ thẳng hàng.

c) Kẻ đường kính $BD$; $AD$ cắt $(O)$ tại $I$. Chứng minh: $AO$ // $CD$.

d) Cho biết bán kính $R = 15$ cm, dây $BC = 24$ cm. Tính độ dài $AC$, $BI$.

$\boxed{\text {Bài toán 2: }}$ (Đề thi HKI 2008-2009 Q11 TpHCM)

Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB = 2R$. Gọi $Ax$, $By$ là hai tiếp tuyến với đường tròn $(O)$ tại $A$ và $B$. Từ điểm $M$ tùy ý trên nửa đường tròn $(O)$ vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt $Ax$ tại $C$ và $By$ tại $D$.

a) Chứng minh: bốn điểm $A$, $C$, $M$, $O$ thuộc cùng một đường tròn.

b) Chứng minh: $AC + BD = CD$.

c) Giả sử $\widehat {BAM} = {60^\circ}$. Tính theo $R$ độ dài các cạnh của tam giác $COD$.

d) $AD$ cắt $BC$ tại $I$ và $MI$ cắt $AB$ tại $H$. Chứng minh: $IM = IH$.

(Chú ý: câu c/ và d/ độc lập với nhau)

$\boxed{\text {Bài toán 3: }}$ (Đề thi HKI 2009-2010 Q11 TpHCM)

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$, dây $BC$ khác đường kính. Hai tiếp tuyến với $(O; R)$ tại $B$ và $C$ cắt nhau ở $A$. Kẻ đường kính $CD$, kẻ $BH$ vuông góc với $CD$ tại $H$.

a) Chứng minh bốn điểm $A$, $B$, $O$, $C$ thuộc cùng một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.

b) Chứng minh $AO$ vuông góc với $BC$.

Cho biết bán kính $R = 15$ cm, dây $BC = 24$ cm. Tính $OA$, $AB$.

c) Chứng minh $BC$ là tia phân giác của $\widehat {ABH}$.

d) Gọi $I$ là giao điểm của $AD$ và $BH$. Chứng minh $IH = IB$.

$\boxed{\text {Bài toán 4: }}$ (Đề thi HKI 2010-2011 Q11 TpHCM)

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và điểm $M$ với $OM = 2R$. Kẻ các tiếp tuyến $MA$, $MB$ với đường tròn ($A, B$ $ \in $ $\left( {O;R} \right)$). $MO$ cắt $AB$ ở $I$ và cắt đường tròn ở $C$ và $D$ ($MC < MD$).

a) Chứng minh 4 điểm $M$, $A$, $O$, $B$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Tính theo $R$ độ dài các cạnh của tam giác $MAB$.

c) Tính tích $AC \cdot AD$.

d) Chứng minh $MB$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $D$ bán kính $DI$. 

$\boxed{\text {Bài toán 5: }}$ (Đề thi HKI 2011-2012 Q11 TpHCM)
Cho nửa đường tròn $(O)$, đường kính $AB = 2R$. Trên nửa đường tròn $(O)$ lấy điểm $M$ sao cho $AM < BM$. Tiếp tuyến với nửa đường tròn $(O)$ tại $M$ cắt 2 tiếp tuyến $Ax$, $By$ của nửa đường tròn $(O)$ lần lượt tại $D$ và $C$.

a) Chứng minh: $DC = AD + BC$.

b) Chứng minh: $\triangle DOC$ vuông và tích $AD \cdot BC$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm $M$.

c) Đường thẳng $DC$ cắt đường thẳng $AB$ tại $N$. Các tia $BM$, $OM$ cắt tia $Ax$ theo thứ tự tại $E$ và $F$. Chứng minh: $AMFN$ là hình thang cân.

d) Chứng minh: $OE$ $ \bot $ $AC$.

$\boxed{\text {Bài toán 6: }}$ (Đề thi HKI 2012-2013 Q11 TpHCM)
Từ điểm A ngoài (O; R) với OA > 2R, vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC (B, C là 2 tiếp điểm) và cát tuyến AEF (E nằm giữa A, F) với (O). Gọi H là trung điểm của EF.

a) Chứng minh: 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn, xác định tâm M của đường tròn này

b) Tia OH cắt BC tại K. Chứng minh: OA $ \bot $ BC tại I và OI.OA = OH.OK

c) Gọi D là trực tâm của $\triangle$ABC. Chứng minh: OBDC là hình thoi và AD = 2MI

d) KE cắt AB tại N. Chứng minh: $\widehat {BNO} = \widehat {ENO}$

$\boxed{\text {Bài toán 7: }}$ (Đề thi HKI 2013-2014 Q11 TpHCM)
Cho đường tròn tâm O, đường kính BC. Từ điểm H trên đoạn OB (H $ \ne $ O, B) vẽ dây cung AD $ \bot $ OB.

a) Chứng minh: $\triangle$ABC vuông và AD$^2$ = 4HB.HC

b) Các tiếp tuyến của (O) tại A và D cắt nhau ở M. Chứng minh: 3 điểm M, B, O thẳng hàng và 4 điểm M, A, O, D cùng thuộc một đường tròn

c) Chứng minh: B là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle$MAD và BM.CH = CM.BH

d) Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ A xuống đường kính DE, ME cắt AI tại K. Chứng minh: KA = KI

$\boxed{\text {Bài toán 8: }}$ (Đề thi HKI 2014-2015 Q11 TpHCM)
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa (O). Gọi C là điểm trên nửa (O) sao cho AC > BC. Tiếp tuyến tại C của nửa (O) cắt Ax, By lần lượt tại D, E.

a) Chứng minh: $\triangle$ABC vuông và AD + BE = ED.

b) Chứng minh: 4 điểm A, D, C, O cùng thuộc một đường tròn và $\widehat {ADO} = \widehat {CAB}$.

c) DB cắt nửa (O) tại F và cắt AE tại I. Tia CI cắt AB tại K. Chứng minh: IC = IK.

d) Tia AF cắt tia BE tại N. Gọi M là trung điểm của BN. Chứng minh: 3 điểm A, C, M thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 9: }}$ (Đề thi HKI 2015-2016 Q11 TpHCM)
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Lấy một điểm C trên nửa đường tròn sao cho AC = R. Gọi K là giao điểm của tiếp tuyến tại A với nửa đường tròn và đường thẳng BC.

a) Chứng minh: $\triangle$AKB, $\triangle$ACB vuông và tính $\sin \widehat {ABC}$, số đo $\widehat {ABC}$.

b) Từ K vẽ tiếp tuyến thứ hai với nửa đường tròn (O) tại M. OK cắt AM tại E. Chứng minh: OK $ \bot $ AM và KC.CB = OE.OK .

c) Đường vuông góc với AB vẽ từ O cắt BK tại I và cắt đường thẳng BM tại N. Chứng minh: IN = IO.
d) Vẽ MH $ \bot $ AB tại H. Gọi F là giao điểm của BK và MH. Chứng minh: EF // AB.

$\boxed{\text {Bài toán 10: }}$ (Đề thi HKI 2016-2017 Q11 TpHCM)

Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là các tiếp điểm) và cát tuyến ADE (D nằm giữa A, E) sao cho điểm O nằm trong góc EAB. Gọi I là trung điểm của ED.

a) Chứng minh: OI $ \bot $ ED và ba điểm I, B, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA.

b) BC cắt OA, EA theo thứ tự tại H, K. Chứng minh: OA $ \bot $ BC tại H và AB$^2$ = AK.AI .

c) Vẽ đường kính BQ và F là trung điểm của HA. Chứng minh: $\widehat {BFO} = \widehat {CHQ}$.

d) Tia AO cắt (O) tại hai điểm M, N (M nằm giữa A, N). Gọi P là trung điểm của HN, đường vuông góc với BP vẽ từ H cắt tia BM tại S. Chứng minh: MB = MS.

$\boxed{\text {Bài toán 11: }}$

Cho $\triangle$ABC nhọn (AB < AC) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn tâm O đường kính CH. Gọi I là trung điểm AH.

a) Chứng minh: 4 điểm A, E, H, D cùng thuộc đường tròn tâm I và AH $ \bot $ BC

b) Gọi M là trung điểm AB. Chứng minh: MD là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c) Gọi K là giao điểm của AH và BC (K $\in$ BC). Chứng minh: H là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle$EDK bán kính r

d) Chứng minh: $2{S_{\Delta EDK}} = chu\;vi\;\Delta EDK.r$

$\boxed{\text {Bài toán 12: }}$

Cho đường tròn (O) đường kính BC = 2R. Gọi A là điểm trên đường tròn (O). Tia phân giác góc BAC cắt BC tại D và cắt đường tròn (O) tại M.

a) Chứng minh: MB = MC và tính MB theo R

b) Gọi E, F là hình chiếu của D trên AB, AC. Tứ giác AEDF có dạng đặc biệt gì? Vì sao?

c) Cho $\widehat {ABC} = {60^0}$. Tính DB, DC theo R

d) Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh: $R + r \ge \sqrt {2S} $ (S là diện tích tam giác ABC)

$\boxed{\text {Bài toán 13: }}$

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC). Vẽ đường tròn tâm O, đường kính AB. BC cắt đường tròn (O) tại H.

a) Gọi K là trung điểm AC. Chứng minh: $\triangle$AHB vuông, từ đó suy ra KO $ \bot $ AH.

b) Chứng minh: $\triangle$AOK = $\triangle$HOK. Từ đó suy ra KH là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Gọi D là điểm đối xứng của A qua H, vẽ DN $ \bot $ AB tại N. Chứng minh: bốn điểm D, H, N, B cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm J của đường tròn đó.

d) Vẽ HI $ \bot $ AB tại I, KB cắt đường tròn (J) tại T. Chứng minh: D, T, I thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 14: }}$

Cho $\triangle$ABC vuông tại A (AB < AC). Vẽ đường tròn tâm O đường kính AC cắt cạnh BC tại D. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của hai cạnh AD và DC. Tia OH cắt cạnh AB tại E, tia OK cắt đường thẳng ED tại N và cắt đường tròn tâm O tại I.

a) Chứng minh: DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Chứng minh: Tứ giác OHDK là hình chữ nhật.

c) Chứng minh: Tia DI là tia phân giác của $\widehat {NDC}$.

d) Gọi S là giao điểm của OB với AD. Từ S vẽ đường thẳng vuông góc với AO cắt tia OH tại Q. Chứng minh: ba điểm A, Q, N thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 15: }}$

Cho đường tròn (O) đường kính BD = 2R. Trên tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) lấy điểm A sao cho BA = R. Từ A vẽ tiếp tuyến AC của (O) (C là tiếp điểm và C khác B).

a) Tính độ dài OA theo R và OA // DC

b) Gọi I là giao điểm của OA và BC. Chứng minh: A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn và DC là tiếp tuyến của đường tròn tâm I bán kính IA

c) Gọi K là giao điểm của BC và ON, H là giao điểm của KM và OC. Chứng minh: H là trung điểm của OC

d) Một đường thẳng qua C lần lượt cắt tia BA và tia BO tại N và M. Tính độ dài AN và OM theo R, biết diện tích tam giác MBN bằng $\dfrac{{9{R^2}}}{4}$ 

$\boxed{\text {Bài toán 16: }}$

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax và By với đường tròn. Trên đường tròn lấy điểm C sao cho BC = R. Tiếp tuyến tại C với đường tròn cắt Ax, By và đường thẳng AB lần lượt tại E, F và K.

a) Chứng minh: CB $\bot$ AC

b) Chứng minh: AE + BF = EF và $\widehat {EOF} = {90^0}$

c) Gọi D là giao điểm của AC và By. Tính tích CD.AD theo R

d) Chứng minh: FC.EK = EC.FK

$\boxed{\text {Bài toán 17: }}$

Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. Lấy một điểm M bất kì trên đường tròn (O) (M $ \ne $ A, M $ \ne $ B). Tiếp tuyến tại M cắt hai tiếp tuyến tại A và B theo thứ tự tại C và D.

a) Chứng minh: CD = CA + DB và $\widehat {COD} = {90^0}$.

b) Tính tích CA.DB theo R.

c) Đường tròn đường kính OM cắt OC, OD lần lượt tại E và F. Chứng minh: E là trung điểm của đoạn thẳng MA.

d) Gọi N là giao điểm của AF và BE. Cho $\widehat {MAB} = 3\widehat {MBA}$, tính diện tích của $\triangle$NAB theo R.

$\boxed{\text {Bài toán 18: }}$

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Lấy điểm M thuộc nửa đường tròn (O). Tiếp tuyến tại M cắt hai tiếp tuyến tại A và B của nửa đường tròn (O) lần lượt tại C và D.

a) Chứng minh rằng: $\widehat {COD} = {90^0}$, CD = AC + BD

b) Tính tích AC.BD theo R

c) Gọi N là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: MN $\bot$ AB

d) Tính độ dài MN, CD theo R với trường hợp $64M{N^2} + C{D^2} = 16{R^2}$

$\boxed{\text {Bài toán 19: }}$

Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Trên (O) lấy điểm C (AC < BC). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt tia BC tại D. Kẻ OH vuông góc với AC tại H.

a) Chứng minh: AC = 2AH và DA$^2$ = DB.DC

b) Chứng minh: $\widehat {ODB} = \widehat {ADH}$

c) OD cắt AC tại I, tia DH cắt AB tại K. Chứng minh: IK // AD

d) IK cắt OH tại M, các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau ở N. Chứng minh: ba điểm A, M, N thẳng hàng 

$\boxed{\text {Bài toán 20: }}$

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R và dây cung AC = R. Gọi K là trung điểm của BC. Qua B vẽ tiếp tuyến Bx với đường tròn (O) cắt tia OK tại D.

a) Chứng minh: $\triangle$ABC vuông. Tính số đo góc CAB và độ dài cạnh CB theo R.

b) Chứng minh: DC là tiếp tuyến của (O).

c) Tia OD cắt (O) tại M. Chứng minh: tứ giác OBMC là hình thoi.

d) Vẽ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của CH. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt tia BI tại E. Chứng minh: ba điểm E, C, D thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 21: }}$

Cho $\triangle$ABC vuông tại A (AB > AC). Vẽ đường tròn tâm O, đường kính AB cắt cạnh BC tại D. Vẽ DH $ \bot $ AB (H $\in$ AB).

a) Chứng minh: $\widehat {ADB} = {90^0}$ và DB.DC = AH.AB

b) Gọi I là trung điểm của DH, BI cắt AC tại E. Chứng minh: DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c) DE cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) ở F. Chứng minh: AF $\bot$ OC

d) Giả sử $\widehat {ABC} = \alpha $. Tính a biết $\sin \alpha .\cos \alpha  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}$

$\boxed{\text {Bài toán 22: }}$

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của (O). Trên (O) lấy một điểm E bất kì (E không trùng A, B). Tiếp tuyến tại E cắt Ax và By lần lượt tại C, D.

a) Chứng minh: CD = AC + BD

b) Vẽ EF $\bot$ AB tại F, BE cắt AC tại K. Chứng minh: AF.AB = EK.EB

c) EF cắt CB tại I. Chứng minh: FE là tia phân giác của $\widehat {CFD}$

d) EA cắt CF tại M, EB cắt DF tại N. Chứng minh: M, I, N thẳng hàng

$\boxed{\text {Bài toán 23: }}$

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O). Tiếp tuyến tại M và B của nửa đường tròn (O) cắt nhau ở D. Qua O kẻ đường thẳng song song với MB, cắt tiếp tuyến tại M ở C và cắt tiếp tuyến tại B ở N.

a) Chứng minh: $\triangle$CDN là tam giác cân

b) Chứng minh: AC là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O)

c) Chứng minh: AC.BD không đổi

d) Tìm vị trí của M trên nửa đường tròn (O) để diện tích $\triangle$CDN đạt giá trị nhỏ nhất.

$\boxed{\text {Bài toán 24: }}$

Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB kẻ 2 tia Ax và By vuông góc với AB. Trên tia Ax và By lấy hai điểm C và D sao cho $\widehat {COD} = {90^0}$. OD cắt tia đối của tia Ax tại I.

a) Chứng minh: $\triangle$AOC đồng dạng $\triangle$BDO

b) Chứng minh: CD = AC + BD

c) Chứng minh: CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB

d) Chứng minh: $AC.BD = \dfrac{{A{B^2}}}{4}$

$\boxed{\text {Bài toán 25: }}$

Cho $\triangle$ABC vuông tại A có AH là đường cao. Vẽ (A; AH), từ H vẽ dây cung HE vuông góc với AC tại K. Từ B vẽ tiếp tuyến BD của đường tròn (A) (D là tiếp điểm).

a) Chứng minh: CE là tiếp tuyến của đường tròn (A)

b) Chứng minh: BD + CE = BC

c) Đường thẳng CD cắt đường tròn (A) tại F (F khác D). Chứng minh: D, A, E thẳng hàng và CK.CA = CF.CD

d) Đường tròn tâm O đường kính BC cắt đường tròn (A) tại M và N. Gọi I là trung điểm của AH. Chứng minh: OA vuông góc với MN và M, I, N thẳng hàng

$\boxed{\text {Bài toán 26: }}$

Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) sao cho OA = 2R. Từ A vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn (O) (B là tiếp điểm).

a) Chứng minh: $\triangle$ABO vuông tại B và tính độ dài AB theo R.

b) Từ B vẽ dây cung BC của (O) vuông góc với cạnh OA tại H. Chứng minh: AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Chứng minh: $\triangle$ABC đều.

d) Từ H vẽ đường thẳng vuông góc với AB tại D. Đường tròn đường kính AC cắt cạnh DC tại E. Gọi F là trung điểm của cạnh OB. Chứng minh: 3 điểm A, E, F thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 27: }}$

Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh: đường thẳng OA là đường trung trực của đoạn BC.

b) Gọi H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh: HA.HO = HB.HC

c) Đoạn AO cắt (O) tại I. Chứng minh: I là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle$ABC.

d) Chứng minh: $\tan \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2} = \dfrac{{AH}}{p}$ (p là nửa chu vi tam giác ABC).

$\boxed{\text {Bài toán 28: }}$

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Kẻ dây BD của đường tròn (O) và BD song song với OA.

a) Chứng minh: A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh: OA $\bot$ BC

c) Chứng minh: C, O, D thẳng hàng

d) Gọi E là giao điểm của AD và đường tròn (O) (E khác D), H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh: $\widehat {AHE} = \widehat {OED}$ rồi suy ra BC là đường phân giác $\widehat {DHE}$

$\boxed{\text {Bài toán 29: }}$

Cho $\triangle$ABC nội tiếp (O; R) và O là trung điểm của AC

a) Chứng minh: $\triangle$ABC vuông

b) Tiếp tuyến tại B của (O; R) cắt tia CA ở N. Vẽ dây BD vuông góc với AC tại H. Chứng minh: BA là tia phân giác của góc NBD

c) Vẽ đường kính BE của đường tròn (O), ED cắt tia BN tại K. Chứng minh: N là trung điểm của BK

d) Vẽ DM vuông góc với BE tại M và NE cắt DM tại I. Chứng minh: ID = IM

$\boxed{\text {Bài toán 30: }}$

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ tiếp tuyến AB đến đường tròn (O) (B là tiếp điểm). Kẻ dây BC vuông góc OA tại H.

a) Chứng minh: AC là tiếp tuyến của (O)

b) Từ B kẻ Bx // OA cắt (O) tại D (D khác B). Chứng minh: CD là đường kính của (O)

c) Kẻ BI $\bot$ CD tại I. Chứng minh: 4HO.HA = CI.CD

d) Gọi K là giao điểm của AD và BI. Chứng minh: K là trung điểm BI

$\boxed{\text {Bài toán 31: }}$

Cho đường tròn (O; R), dây cung AB không qua tâm. Vẽ các tiếp tuyến tại A và B của (O) cắt nhau tại C.

a) Chứng minh: OC vuông góc với AB

b) Vẽ đường kính AD của (O), chứng minh: DB // OC

c) Vẽ BH $\bot$ AD tại H, CD cắt BH tại I. Chứng minh: BH = 2.IH

d) Biết $\widehat {AOB} = {120^0}$, tính diện tích tam giác ABC theo R

$\boxed{\text {Bài toán 32: }}$

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R).Vẽ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) (B là tiếp điểm). Vẽ dây cung BC vuông góc với AO tại N.

a) Chứng minh: $\widehat {OCA} = {90^0}$, rồi suy ra AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

b) Vẽ đường kính CD của đường tròn (O). Vẽ BK vuông góc CD tại K. Chứng minh: BD$^2$ = DK.DC

c) Giả sử OA = 2R. Tính $\sin \widehat {BAO}$ và chứng minh tam giác ABC đều

d) Gọi M là giao điểm của BK và AD. Chứng minh: CK = 2MN, rồi suy ra MN < OB

$\boxed{\text {Bài toán 33: }}$

Cho đường tròn (O; R). Lấy điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B và C là hai tiếp điểm). AO cắt BC tại H.

a) Chứng minh: AO là đường trung trực của BC

b) Qua B kẻ đường thẳng song song với OA cắt (O) tại D. AD cắt (O) tại E. Chứng minh: AE.AD = AH.AO

c) Qua O kẻ OK $\bot$ EC tại K, OK cắt (O) tại I. Chứng minh: DI là tia phân giác của $\widehat {CDE}$

d) Gọi F là giao điểm của AO và CE. Gọi N là giao điểm của DI và AC. Chứng minh: AE = 2R khi ba điểm D, F, N thẳng hàng

$\boxed{\text {Bài toán 34: }}$

Cho đường tròn (O; R) và dây AB bất kì không qua tâm. Vẽ tia OH vuông góc với AB tại H và cắt tiếp tuyến tại A với đường tròn (O) ở M.

a) Chứng minh: MB là tiếp tuyến của đường tròn (O)

b) Chứng minh: AB$^2$ = 4HO.HM

c) Gọi C là giao điểm của tia OH với đường tròn (O). Chứng minh: C là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle$MAB và CH.DM = DH.CM (với D là điểm đối xứng của C qua O)

d) Giả sử $\widehat {AOB} = {120^0}$, chứng minh: diện tích tứ giác AOBC bằng diện tích tứ giác MACB

$\boxed{\text {Bài toán 35: }}$

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R), vẽ AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) (B là tiếp điểm). Kẻ dây BC vuông góc với OA tại H.

a) Chứng minh: AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

b) Kẻ đường kính CD của đường tròn (O). Chứng minh: BD // OA

c) Tính tích OA.OH theo R

d) Giả sử $OH < \dfrac{R}{2}$. Cho M là điểm di động trên đoạn thẳng BC, qua A vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng OM tại N. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4OM + ON

$\boxed{\text {Bài toán 36: }}$

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh: OA $\bot$ BC tại H

b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (E khác D). Chứng minh: AE.AD = AH.AO

c) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh AD tại K và cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh: FD là tiếp tuyến của đường tròn (O)

d) Gọi I là trung điểm cạnh AB, qua I vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh AO tại M và đường thẳng này cắt đường thẳng DF tại N. Chứng minh: ND = NA

$\boxed{\text {Bài toán 37: }}$

Từ điểm M ở ngoài (O; R) sao cho OM = 2R, vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn (A, B là tiếp điểm). Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của MA, MB.

a) Chứng minh $\triangle$ABM đều và tính độ dài cạnh AB theo R.

b) Gọi H là giao điểm của AB và OM. Chứng minh tứ giác HEMF là hình thoi và tính diện tích HEMF theo R.

c) OM cắt (O) tại C. Chứng minh ba điểm A, C, F thẳng hàng.

d) Gọi I là điểm thuộc đoạn EF (I khác giao điểm hai đường chéo hình thoi). Từ I vẽ tiếp tuyến IK đến đường tròn (O). Chứng minh IK = IM.