[HÌNH HỌC 9] CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP HỌC KÌ I (CT CŨ)

$\boxed{\text {Bài toán 1: }}$ (Đề thi HKI 2007-2008 Q11 TpHCM)

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$, $BC$ là dây không qua tâm. Hai tiếp tuyến với $(O;R)$ tại $B$ và $C$ cắt nhau ở $A$. Gọi $H$ là trung điểm $BC$.

a) Chứng minh: $AB = AC$.

b) Chứng minh: ba điểm $O$, $H$, $A$ thẳng hàng.

c) Kẻ đường kính $BD$; $AD$ cắt $(O)$ tại $I$. Chứng minh: $AO$ // $CD$.

d) Cho biết bán kính $R = 15$ cm, dây $BC = 24$ cm. Tính độ dài $AC$, $BI$.

$\boxed{\text {Bài toán 2: }}$ (Đề thi HKI 2008-2009 Q11 TpHCM)

Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB = 2R$. Gọi $Ax$, $By$ là hai tiếp tuyến với đường tròn $(O)$ tại $A$ và $B$. Từ điểm $M$ tùy ý trên nửa đường tròn $(O)$ vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt $Ax$ tại $C$ và $By$ tại $D$.

a) Chứng minh: bốn điểm $A$, $C$, $M$, $O$ thuộc cùng một đường tròn.

b) Chứng minh: $AC + BD = CD$.

c) Giả sử $\widehat {BAM} = {60^\circ}$. Tính theo $R$ độ dài các cạnh của tam giác $COD$.

d) $AD$ cắt $BC$ tại $I$ và $MI$ cắt $AB$ tại $H$. Chứng minh: $IM = IH$.

(Chú ý: câu c/ và d/ độc lập với nhau)

$\boxed{\text {Bài toán 3: }}$ (Đề thi HKI 2009-2010 Q11 TpHCM)

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$, dây $BC$ khác đường kính. Hai tiếp tuyến với $(O; R)$ tại $B$ và $C$ cắt nhau ở $A$. Kẻ đường kính $CD$, kẻ $BH$ vuông góc với $CD$ tại $H$.

a) Chứng minh bốn điểm $A$, $B$, $O$, $C$ thuộc cùng một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.

b) Chứng minh $AO$ vuông góc với $BC$.

Cho biết bán kính $R = 15$ cm, dây $BC = 24$ cm. Tính $OA$, $AB$.

c) Chứng minh $BC$ là tia phân giác của $\widehat {ABH}$.

d) Gọi $I$ là giao điểm của $AD$ và $BH$. Chứng minh $IH = IB$.

$\boxed{\text {Bài toán 4: }}$ (Đề thi HKI 2010-2011 Q11 TpHCM)

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và điểm $M$ với $OM = 2R$. Kẻ các tiếp tuyến $MA$, $MB$ với đường tròn ($A, B$ $ \in $ $\left( {O;R} \right)$). $MO$ cắt $AB$ ở $I$ và cắt đường tròn ở $C$ và $D$ ($MC < MD$).

a) Chứng minh 4 điểm $M$, $A$, $O$, $B$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Tính theo $R$ độ dài các cạnh của tam giác $MAB$.

c) Tính tích $AC \cdot AD$.

d) Chứng minh $MB$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $D$ bán kính $DI$. 

$\boxed{\text {Bài toán 5: }}$ (Đề thi HKI 2011-2012 Q11 TpHCM)
Cho nửa đường tròn $(O)$, đường kính $AB = 2R$. Trên nửa đường tròn $(O)$ lấy điểm $M$ sao cho $AM < BM$. Tiếp tuyến với nửa đường tròn $(O)$ tại $M$ cắt 2 tiếp tuyến $Ax$, $By$ của nửa đường tròn $(O)$ lần lượt tại $D$ và $C$.

a) Chứng minh: $DC = AD + BC$.

b) Chứng minh: $\triangle DOC$ vuông và tích $AD \cdot BC$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm $M$.

c) Đường thẳng $DC$ cắt đường thẳng $AB$ tại $N$. Các tia $BM$, $OM$ cắt tia $Ax$ theo thứ tự tại $E$ và $F$. Chứng minh: $AMFN$ là hình thang cân.

d) Chứng minh: $OE$ $ \bot $ $AC$.

$\boxed{\text {Bài toán 6: }}$ (Đề thi HKI 2012-2013 Q11 TpHCM)
Từ điểm $A$ ngoài $(O; R)$ với $OA > 2R$, vẽ 2 tiếp tuyến $AB$, $AC$ ($B$, $C$ là 2 tiếp điểm) và cát tuyến $AEF$ ($E$ nằm giữa $A$, $F$) với $(O)$. Gọi $H$ là trung điểm của $EF$.

a) Chứng minh: 4 điểm $A$, $B$, $O$, $C$ cùng thuộc 1 đường tròn, xác định tâm $M$ của đường tròn này.

b) Tia $OH$ cắt $BC$ tại $K$. Chứng minh: $OA$ $ \bot $ $BC$ tại $I$ và $OI \cdot OA = OH \cdot OK$.

c) Gọi $D$ là trực tâm của $\triangle ABC$. Chứng minh: $OBDC$ là hình thoi và $AD = 2MI$.

d) $KE$ cắt $AB$ tại $N$. Chứng minh: $\widehat {BNO} = \widehat {ENO}$.

$\boxed{\text {Bài toán 7: }}$ (Đề thi HKI 2013-2014 Q11 TpHCM)
Cho đường tròn tâm $O$, đường kính $BC$. Từ điểm $H$ trên đoạn $OB$ ($H$ $ \ne $ $O$, $B$) vẽ dây cung $AD$ $\bot$ $OB$.

a) Chứng minh: $\triangle ABC$ vuông và $AD^2$ $= 4HB.HC$.

b) Các tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ và $D$ cắt nhau ở $M$. Chứng minh: 3 điểm $M$, $B$, $O$ thẳng hàng và 4 điểm $M$, $A$, $O$, $D$ cùng thuộc một đường tròn.

c) Chứng minh: B là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle MAD$ và $BM \cdot CH = CM \cdot BH$.

d) Gọi $I$ là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống đường kính $DE$, $ME$ cắt $AI$ tại $K$. Chứng minh: $KA = KI$.

$\boxed{\text {Bài toán 8: }}$ (Đề thi HKI 2014-2015 Q11 TpHCM)
Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Vẽ hai tiếp tuyến $Ax$, $By$ của nửa $(O)$. Gọi $C$ là điểm trên nửa $(O)$ sao cho $AC > BC$. Tiếp tuyến tại $C$ của nửa $(O)$ cắt $Ax$, $By$ lần lượt tại $D$, $E$.

a) Chứng minh: $\triangle ABC$ vuông và $AD + BE = ED$.

b) Chứng minh: 4 điểm $A$, $D$, $C$, $O$ cùng thuộc một đường tròn và $\widehat {ADO} = \widehat {CAB}$.

c) $DB$ cắt nửa $(O)$ tại $F$ và cắt $AE$ tại $I$. Tia $CI$ cắt $AB$ tại $K$. Chứng minh: $IC = IK$.

d) Tia $AF$ cắt tia $BE$ tại $N$. Gọi $M$ là trung điểm của $BN$. Chứng minh: 3 điểm $A$, $C$, $M$ thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 9: }}$ (Đề thi HKI 2015-2016 Q11 TpHCM)
Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB = 2R$. Lấy một điểm $C$ trên nửa đường tròn sao cho $AC = R$. Gọi $K$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $A$ với nửa đường tròn và đường thẳng $BC$.

a) Chứng minh: $\triangle AKB$, $\triangle ACB$ vuông và tính $\sin \widehat {ABC}$, số đo $\widehat {ABC}$.

b) Từ $K$ vẽ tiếp tuyến thứ hai với nửa đường tròn $(O)$ tại $M$. $OK$ cắt $AM$ tại $E$. Chứng minh: $OK$ $ \bot $ $AM$ và $KC \cdot CB = OE \cdot OK$.

c) Đường vuông góc với $AB$ vẽ từ $O$ cắt $BK$ tại $I$ và cắt đường thẳng $BM$ tại $N$. Chứng minh: $IN = IO$.
d) Vẽ $MH$ $ \bot $ $AB$ tại H. Gọi F là giao điểm của BK và MH. Chứng minh: $EF // AB$.

$\boxed{\text {Bài toán 10: }}$ (Đề thi HKI 2016-2017 Q11 TpHCM)

Từ một điểm $A$ ở ngoài đường tròn $(O)$, kẻ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ với $(O)$ ($B$, $C$ là các tiếp điểm) và cát tuyến $ADE$ ($D$ nằm giữa $A$, $E$) sao cho điểm $O$ nằm trong góc $EAB$. Gọi $I$ là trung điểm của $ED$.

a) Chứng minh: $OI$ $ \bot $ $ED$ và ba điểm $I$, $B$, $C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OA$.

b) $BC$ cắt $OA$, $EA$ theo thứ tự tại $H$, $K$. Chứng minh: $OA$ $ \bot $ $BC$ tại $H$ và $AB^2$ $= AK.AI$.

c) Vẽ đường kính $BQ$ và $F$ là trung điểm của $HA$. Chứng minh: $\widehat {BFO} = \widehat {CHQ}$.

d) Tia  $AO$ cắt $(O)$ tại hai điểm $M$, $N$ ($M$ nằm giữa $A$, $N$). Gọi $P$ là trung điểm của $HN$, đường vuông góc với $BP$ vẽ từ $H$ cắt tia $BM$ tại $S$. Chứng minh: $MB = MS$.

$\boxed{\text {Bài toán 11: }}$

Cho $\triangle ABC$ nhọn $(AB < AC)$ có hai đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$. Vẽ đường tròn tâm $O$ đường kính $CH$. Gọi $I$ là trung điểm $AH$.

a) Chứng minh: 4 điểm $A$, $E$, $H$, $D$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$ và $AH$ $\bot$ $BC$.

b) Gọi $M$ là trung điểm $AB$. Chứng minh: $MD$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

c) Gọi $K$ là giao điểm của $AH$ và $BC$ ($K$ $\in$ $BC$). Chứng minh: $H$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle EDK$ bán kính $r$.

d) Chứng minh: $2{S_{\Delta EDK}} = \text{chu vi}\Delta EDK \cdot r$.

$\boxed{\text {Bài toán 12: }}$

Cho đường tròn $(O)$ đường kính $BC = 2R$. Gọi $A$ là điểm trên đường tròn $(O)$. Tia phân giác góc $BAC$ cắt $BC$ tại $D$ và cắt đường tròn $(O)$ tại $M$.

a) Chứng minh: $MB = MC$ và tính $MB$ theo $R$.

b) Gọi $E$, $F$ là hình chiếu của $D$ trên $AB$, $AC$. Tứ giác $AEDF$ có dạng đặc biệt gì? Vì sao?

c) Cho $\widehat {ABC} = {60^\circ}$. Tính $DB$, $DC$ theo $R$.

d) Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh: $R + r \ge \sqrt {2S} $ ($S$ là diện tích tam giác $ABC$).

$\boxed{\text {Bài toán 13: }}$

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB > AC$). Vẽ đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. $BC$ cắt đường tròn $(O)$ tại $H$.

a) Gọi $K$ là trung điểm $AC$. Chứng minh: $\triangle AHB$ vuông, từ đó suy ra $KO$ $ \bot $ $AH$.

b) Chứng minh: $\triangle AOK$ = $\triangle HOK$. Từ đó suy ra $KH$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

c) Gọi $D$ là điểm đối xứng của $A$ qua $H$, vẽ $DN$ $ \bot $ $AB$ tại $N$. Chứng minh: bốn điểm $D$, $H$, $N$, $B$ cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm $J$ của đường tròn đó.

d) Vẽ $HI$ $ \bot $ $AB$ tại $I$, $KB$ cắt đường tròn $(J)$ tại $T$. Chứng minh: $D$, $T$, $I$ thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 14: }}$

Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$). Vẽ đường tròn tâm $O$ đường kính $AC$ cắt cạnh $BC$ tại $D$. Gọi $H$, $K$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh $AD$ và $DC$. Tia $OH$ cắt cạnh $AB$ tại $E$, tia $OK$ cắt đường thẳng $ED$ tại $N$ và cắt đường tròn tâm $O$ tại $I$.

a) Chứng minh: $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

b) Chứng minh: Tứ giác $OHDK$ là hình chữ nhật.

c) Chứng minh: Tia $DI$ là tia phân giác của $\widehat {NDC}$.

d) Gọi $S$ là giao điểm của $OB$ với $AD$. Từ $S$ vẽ đường thẳng vuông góc với $AO$ cắt tia $OH$ tại $Q$. Chứng minh: ba điểm $A$, $Q$, $N$ thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 15: }}$

Cho đường tròn $(O)$ đường kính $BD = 2R$. Trên tiếp tuyến tại $B$ của đường tròn $(O)$ lấy điểm $A$ sao cho $BA = R$. Từ $A$ vẽ tiếp tuyến $AC$ của $(O)$ ($C$ là tiếp điểm và $C$ khác $B$).

a) Tính độ dài $OA$ theo $R$ và $OA // DC$.

b) Gọi $I$ là giao điểm của $OA$ và $BC$. Chứng minh: $A$, $B$, $O$, $C$ cùng thuộc một đường tròn và $DC$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $I$ bán kính $IA$.

c) Gọi $K$ là giao điểm của $BC$ và $ON$, $H$ là giao điểm của $KM$ và $OC$. Chứng minh: $H$ là trung điểm của $OC$.

d) Một đường thẳng qua $C$ lần lượt cắt tia $BA$ và tia $BO$ tại $N$ và $M$. Tính độ dài $AN$ và $OM$ theo $R$, biết diện tích tam giác $MBN$ bằng $\dfrac{{9{R^2}}}{4}$ .

$\boxed{\text {Bài toán 16: }}$

Cho đường tròn ($O$; $R$) đường kính $AB$. Vẽ tiếp tuyến $Ax$ và $By$ với đường tròn. Trên đường tròn lấy điểm $C$ sao cho $BC = R$. Tiếp tuyến tại $C$ với đường tròn cắt $Ax$, $By$ và đường thẳng $AB$ lần lượt tại $E$, $F$ và $K$.

a) Chứng minh: $CB$ $\bot$ $AC$.

b) Chứng minh: $AE + BF = EF$ và $\widehat {EOF} = {90^\circ}$.

c) Gọi $D$ là giao điểm của $AC$ và $By$. Tính tích $CD \cdot AD$ theo $R$.

d) Chứng minh: $FC \cdot EK = EC \cdot FK$.

$\boxed{\text {Bài toán 17: }}$

Cho đường tròn $(O)$ có đường kính $AB = 2R$. Lấy một điểm $M$ bất kì trên đường tròn $(O)$ ($M$ $ \ne $ $A$, $M$ $ \ne $ $B$). Tiếp tuyến tại $M$ cắt hai tiếp tuyến tại $A$ và $B$ theo thứ tự tại $C$ và $D$.

a) Chứng minh: $CD = CA + DB$ và $\widehat {COD} = {90^\circ}$.

b) Tính tích $CA \cdot DB$ theo $R$.

c) Đường tròn đường kính $OM$ cắt $OC$, $OD$ lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh: $E$ là trung điểm của đoạn thẳng $MA$.

d) Gọi $N$ là giao điểm của $AF$ và $BE$. Cho $\widehat {MAB} = 3\widehat {MBA}$, tính diện tích của $\triangle NAB$ theo $R$.

$\boxed{\text {Bài toán 18: }}$

Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB = 2R$. Lấy điểm $M$ thuộc nửa đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến tại $M$ cắt hai tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của nửa đường tròn $(O)$ lần lượt tại $C$ và $D$.

a) Chứng minh rằng: $\widehat {COD} = {90^\circ}$, $CD = AC + BD$.

b) Tính tích $AC \cdot BD$ theo $R$.

c) Gọi $N$ là giao điểm của $AD$ và $BC$. Chứng minh rằng: $MN$ $\bot$ $AB$.

d) Tính độ dài $MN$, $CD$ theo $R$ với trường hợp $64M{N^2} + C{D^2} = 16{R^2}$.

$\boxed{\text {Bài toán 19: }}$

Cho đường tròn $(O)$ có đường kính $AB$. Trên $(O)$ lấy điểm $C$ ($AC < BC$). Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt tia $BC$ tại $D$. Kẻ $OH$ vuông góc với $AC$ tại $H$.

a) Chứng minh: $AC = 2AH$ và $DA^2$ $=$ $DB \cdot DC$.

b) Chứng minh: $\widehat {ODB} = \widehat {ADH}$.

c) $OD$ cắt $AC$ tại $I$, tia $DH$ cắt $AB$ tại $K$. Chứng minh: $IK // AD$.

d) $IK$ cắt $OH$ tại $M$, các tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của $(O)$ cắt nhau ở $N$. Chứng minh: ba điểm $A$, $M$, $N$ thẳng hàng .

$\boxed{\text {Bài toán 20: }}$

Cho nửa đường tròn $(O)$, đường kính $AB = 2R$ và dây cung $AC = R$. Gọi $K$ là trung điểm của $BC$. Qua $B$ vẽ tiếp tuyến $Bx$ với đường tròn $(O)$ cắt tia $OK$ tại $D$.

a) Chứng minh: $\triangle ABC$ vuông. Tính số đo góc $CAB$ và độ dài cạnh $CB$ theo $R$.

b) Chứng minh: $DC$ là tiếp tuyến của $(O)$.

c) Tia $OD$ cắt $(O)$ tại $M$. Chứng minh: tứ giác $OBMC$ là hình thoi.

d) Vẽ $CH$ vuông góc với $AB$ tại $H$. Gọi $I$ là trung điểm của $CH$. Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O)$ cắt tia $BI$ tại $E$. Chứng minh: ba điểm $E$, $C$, $D$ thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 21: }}$

Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ ($AB > AC$). Vẽ đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$ cắt cạnh $BC$ tại $D$. Vẽ $DH$ $ \bot $ $AB$ ($H$ $\in$ $AB$).

a) Chứng minh: $\widehat {ADB} = {90^\circ}$ và $DB \cdot DC = AH \cdot AB$.

b) Gọi $I$ là trung điểm của $DH$, $BI$ cắt $AC$ tại $E$. Chứng minh: $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

c) $DE$ cắt tiếp tuyến tại $B$ của đường tròn $(O)$ ở $F$. Chứng minh: $AF$ $\bot$ $OC$.

d) Giả sử $\widehat {ABC} = \alpha $. Tính $\alpha$ biết $\sin \alpha .\cos \alpha  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}$

$\boxed{\text {Bài toán 22: }}$

Cho đường tròn ($O$; $R$), đường kính $AB$. Vẽ các tiếp tuyến $Ax$, $By$ của $(O)$. Trên $(O)$ lấy một điểm $E$ bất kì ($E$ không trùng $A$, $B$). Tiếp tuyến tại $E$ cắt $Ax$ và $By$ lần lượt tại $C$, $D$.

a) Chứng minh: $CD = AC + BD$.

b) Vẽ $EF$ $\bot$ $AB$ tại $F$, $BE$ cắt $AC$ tại $K$. Chứng minh: $AF \cdot AB = EK \cdot EB$.

c) $EF$ cắt $CB$ tại $I$. Chứng minh: $FE$ là tia phân giác của $\widehat {CFD}$.

d) $EA$ cắt $CF$ tại $M$, $EB$ cắt $DF$ tại $N$. Chứng minh: $M$, $I$, $N$ thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 23: }}$

Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Điểm $M$ di chuyển trên nửa đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến tại $M$ và $B$ của nửa đường tròn $(O)$ cắt nhau ở $D$. Qua $O$ kẻ đường thẳng song song với $MB$, cắt tiếp tuyến tại $M$ ở $C$ và cắt tiếp tuyến tại $B$ ở $N$.

a) Chứng minh: $\triangle CDN$ là tam giác cân.

b) Chứng minh: $AC$ là tiếp tuyến của nửa đường tròn $(O)$.

c) Chứng minh: $AC \cdot BD$ không đổi.

d) Tìm vị trí của $M$ trên nửa đường tròn $(O)$ để diện tích $\triangle CDN$ đạt giá trị nhỏ nhất.

$\boxed{\text {Bài toán 24: }}$

Cho đoạn thẳng $AB$ có trung điểm $O$. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ $AB$ kẻ 2 tia $Ax$ và $By$ vuông góc với $AB$. Trên tia $Ax$ và $By$ lấy hai điểm $C$ và $D$ sao cho $\widehat {COD} = {90^\circ}$. $OD$ cắt tia đối của tia $Ax$ tại $I$.

a) Chứng minh: $\triangle AOC$ đồng dạng $\triangle BDO$.

b) Chứng minh: $CD = AC + BD$.

c) Chứng minh: $CD$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $AB$.

d) Chứng minh: $AC \cdot BD = \dfrac{{A{B^2}}}{4}$.

$\boxed{\text {Bài toán 25: }}$

Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao. Vẽ ($A$; $AH$), từ $H$ vẽ dây cung $HE$ vuông góc với $AC$ tại $K$. Từ $B$ vẽ tiếp tuyến $BD$ của đường tròn $(A)$ ($D$ là tiếp điểm).

a) Chứng minh: $CE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(A)$.

b) Chứng minh: $BD + CE = BC$.

c) Đường thẳng $CD$ cắt đường tròn $(A)$ tại $F$ ($F$ khác $D$). Chứng minh: $D$, $A$, $E$ thẳng hàng và $CK \cdot CA = CF \cdot CD$.

d) Đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ cắt đường tròn $(A)$ tại $M$ và $N$. Gọi $I$ là trung điểm của $AH$. Chứng minh: $OA$ vuông góc với $MN$ và $M$, $I$, $N$ thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 26: }}$

Cho đường tròn $(O; R)$ và một điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ sao cho $OA = 2R$. Từ $A$ vẽ tiếp tuyến $AB$ của đường tròn $(O)$ ($B$ là tiếp điểm).

a) Chứng minh: $\triangle ABO$ vuông tại $B$ và tính độ dài $AB$ theo $R$.

b) Từ $B$ vẽ dây cung $BC$ của $(O)$ vuông góc với cạnh $OA$ tại $H$. Chứng minh: $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

c) Chứng minh: $\triangle ABC$ đều.

d) Từ $H$ vẽ đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $D$. Đường tròn đường kính $AC$ cắt cạnh $DC$ tại $E$. Gọi $F$ là trung điểm của cạnh $OB$. Chứng minh: 3 điểm $A$, $E$, $F$ thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 27: }}$

Từ một điểm $A$ ở ngoài đường tròn $(O; R)$, vẽ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ với đường tròn ($B$, $C$ là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh: đường thẳng $OA$ là đường trung trực của đoạn $BC$.

b) Gọi $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$. Chứng minh: $HA \cdot HO = HB \cdot HC$.

c) Đoạn $AO$ cắt $(O)$ tại $I$. Chứng minh: $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$.

d) Chứng minh: $\tan \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2} = \dfrac{{AH}}{p}$ ($p$ là nửa chu vi tam giác $ABC$).

$\boxed{\text {Bài toán 28: }}$

Cho điểm $A$ nằm ngoài đường tròn ($O$; $R$), vẽ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ với đường tròn $(O)$ ($B$, $C$ là các tiếp điểm). Kẻ dây $BD$ của đường tròn $(O)$ và $BD$ song song với $OA$.

a) Chứng minh: $A$, $B$, $O$, $C$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh: $OA$ $\bot$ $BC$.

c) Chứng minh: $C$, $O$, $D$ thẳng hàng.

d) Gọi $E$ là giao điểm của $AD$ và đường tròn $(O)$ ($E$ khác $D$), $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$. Chứng minh: $\widehat {AHE} = \widehat {OED}$ rồi suy ra $BC$ là đường phân giác $\widehat {DHE}$.

$\boxed{\text {Bài toán 29: }}$

Cho $\triangle ABC$ nội tiếp ($O$; $R$) và $O$ là trung điểm của $AC$.

a) Chứng minh: $\triangle ABC$ vuông.

b) Tiếp tuyến tại $B$ của ($O$; $R$) cắt tia $CA$ ở $N$. Vẽ dây $BD$ vuông góc với $AC$ tại $H$. Chứng minh: $BA$ là tia phân giác của góc $NBD$.

c) Vẽ đường kính $BE$ của đường tròn $(O)$, $ED$ cắt tia $BN$ tại $K$. Chứng minh: $N$ là trung điểm của $BK$.

d) Vẽ $DM$ vuông góc với $BE$ tại $M$ và $NE$ cắt $DM$ tại $I$. Chứng minh: $ID = IM$.

$\boxed{\text {Bài toán 30: }}$

Cho điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Từ $A$ kẻ tiếp tuyến $AB$ đến đường tròn $(O)$ ($B$ là tiếp điểm). Kẻ dây $BC$ vuông góc $OA$ tại $H$.

a) Chứng minh: $AC$ là tiếp tuyến của $(O)$.

b) Từ $B$ kẻ $Bx // OA$ cắt $(O)$ tại $D$ ($D$ khác $B$). Chứng minh: $CD$ là đường kính của $(O)$.

c) Kẻ $BI$ $\bot$ $CD$ tại $I$. Chứng minh: $4HO \cdot HA = CI \cdot CD$.

d) Gọi $K$ là giao điểm của $AD$ và $BI$. Chứng minh: $K$ là trung điểm $BI$.

$\boxed{\text {Bài toán 31: }}$

Cho đường tròn ($O$; $R$), dây cung $AB$ không qua tâm. Vẽ các tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của $(O)$ cắt nhau tại $C$.

a) Chứng minh: $OC$ vuông góc với $AB$.

b) Vẽ đường kính $AD$ của $(O)$. Chứng minh: $DB // OC$.

c) Vẽ $BH$ $\bot$ $AD$ tại $H$, $CD$ cắt $BH$ tại $I$. Chứng minh: $BH = 2IH$.

d) Biết $\widehat {AOB} = {120^\circ}$, tính diện tích tam giác $ABC$ theo $R$.

$\boxed{\text {Bài toán 32: }}$

Cho điểm $A$ nằm ngoài đường tròn ($O$; $R$).Vẽ tiếp tuyến $AB$ với đường tròn $(O)$ ($B$ là tiếp điểm). Vẽ dây cung $BC$ vuông góc với $AO$ tại $N$.

a) Chứng minh: $\widehat {OCA} = {90^\circ}$, rồi suy ra $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

b) Vẽ đường kính $CD$ của đường tròn $(O)$. Vẽ $BK$ vuông góc $CD$ tại $K$. Chứng minh: $BD^2 = DK.DC$.

c) Giả sử $OA = 2R$. Tính $\sin \widehat {BAO}$ và chứng minh tam giác $ABC$ đều.

d) Gọi $M$ là giao điểm của $BK$ và $AD$. Chứng minh: $CK = 2MN$, rồi suy ra $MN < OB$.

$\boxed{\text {Bài toán 33: }}$

Cho đường tròn ($O$; $R$). Lấy điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Từ $A$ kẻ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ ($B$ và $C$ là hai tiếp điểm). $AO$ cắt $BC$ tại $H$.

a) Chứng minh: $AO$ là đường trung trực của $BC$.

b) Qua $B$ kẻ đường thẳng song song với $OA$ cắt $(O)$ tại $D$. $AD$ cắt $(O)$ tại $E$. Chứng minh: $AE \cdot AD = AH \cdot AO$.

c) Qua $O$ kẻ $OK$ $\bot$ $EC$ tại $K$, $OK$ cắt $(O)$ tại $I$. Chứng minh: $DI$ là tia phân giác của $\widehat {CDE}$.

d) Gọi $F$ là giao điểm của $AO$ và $CE$. Gọi $N$ là giao điểm của $DI$ và $AC$. Chứng minh: $AE = 2R$ khi ba điểm $D$, $F$, $N$ thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 34: }}$

Cho đường tròn ($O$; $R$) và dây $AB$ bất kì không qua tâm. Vẽ tia $OH$ vuông góc với $AB$ tại $H$ và cắt tiếp tuyến tại $A$ với đường tròn $(O)$ ở $M$.

a) Chứng minh: $MB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

b) Chứng minh: $AB^2$$ = 4HO \cdot HM$.

c) Gọi $C$ là giao điểm của tia $OH$ với đường tròn $(O)$. Chứng minh: $C$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle MAB$ và $CH \cdot DM = DH \cdot CM$ (với $D$ là điểm đối xứng của $C$ qua $O$).

d) Giả sử $\widehat {AOB} = {120^\circ}$, chứng minh: diện tích tứ giác $AOBC$ bằng diện tích tứ giác $MACB$.

$\boxed{\text {Bài toán 35: }}$

Cho điểm $A$ nằm ngoài đường tròn ($O$; $R$), vẽ $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ ($B$ là tiếp điểm). Kẻ dây $BC$ vuông góc với $OA$ tại $H$.

a) Chứng minh: $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

b) Kẻ đường kính $CD$ của đường tròn $(O)$. Chứng minh: $BD \parallel OA$.

c) Tính tích $OA \cdot OH$ theo $R$.

d) Giả sử $OH < \dfrac{R}{2}$. Cho $M$ là điểm di động trên đoạn thẳng $BC$, qua $A$ vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng $OM$ tại $N$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $4OM +ON$.

$\boxed{\text {Bài toán 36: }}$

Cho đường tròn $(O)$ và một điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Từ $A$ vẽ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ của đường tròn $(O)$ ($B$ và $C$ là hai tiếp điểm). Gọi $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$.

a) Chứng minh: $OA$ $\bot$ $BC$ tại $H$.

b) Từ $B$ vẽ đường kính $BD$ của $(O)$, đường thẳng $AD$ cắt đường tròn $(O)$ tại $E$ ($E$ khác $D$). Chứng minh: $AE \cdot AD = AH \cdot AO$.

c) Qua $O$ vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh $AD$ tại $K$ và cắt đường thẳng $BC$ tại $F$. Chứng minh: $FD$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

d) Gọi $I$ là trung điểm cạnh $AB$, qua $I$ vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh $AO$ tại $M$ và đường thẳng này cắt đường thẳng $DF$ tại $N$. Chứng minh: $ND = NA$.

$\boxed{\text {Bài toán 37: }}$

Từ điểm $M$ ở ngoài ($O$; $R$) sao cho $OM = 2R$, vẽ 2 tiếp tuyến $MA$ và $MB$ đến đường tròn ($A$, $B$ là tiếp điểm). Gọi $E$, $F$ theo thứ tự là trung điểm của $MA$, $MB$.

a) Chứng minh $\triangle ABM$ đều và tính độ dài cạnh $AB$ theo $R$.

b) Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $OM$. Chứng minh tứ giác $HEMF$ là hình thoi và tính diện tích $HEMF$ theo $R$.

c) $OM$ cắt $(O)$ tại $C$. Chứng minh ba điểm $A$, $C$, $F$ thẳng hàng.

d) Gọi $I$ là điểm thuộc đoạn $EF$ ($I$ khác giao điểm hai đường chéo hình thoi). Từ $I$ vẽ tiếp tuyến $IK$ đến đường tròn $(O)$. Chứng minh $IK = IM$.