[ĐẠI SỐ 10] MỆNH ĐỀ

❄ MỆNH ĐỀ & MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN

✎ MỆNH ĐỀ:

_ Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.

_ Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

✎ MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH:

     Cho mệnh đề $P$.

_ Mệnh đề “không phải $P$” được gọi là mệnh đề phủ định của $P$ và kí hiệu là $\overline P$.

_ Nếu $P$ đúng thì $\overline P$ sai, nếu $P$ sai thì $\overline P$ đúng.

✎ MỆNH ĐỀ KÉO THEO:

     Cho mệnh đề P và Q.

_ Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là P $\Rightarrow$ Q

_ Mệnh đề P $\Rightarrow$ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.

Lưu ý: Các định lí toán học thường có dạng P $\Rightarrow$ Q. Khi đó:

           P là giả thiết, Q là kết luận.

           P là điều kiện đủ để có Q

           Q là điều kiện cần để có P

✎ MỆNH ĐỀ ĐẢO:

     Cho mệnh đề kéo theo P $\Rightarrow$ Q.

      Mệnh đề Q $\Rightarrow$ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P $\Rightarrow$ Q.

✎ MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG:

     Cho mệnh đề P và Q.

_ Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là $P \Leftrightarrow Q$.

_ Mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề P $\Rightarrow$ Q và Q $\Rightarrow$ P đều đúng.

Lưu ý: Nếu mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ là 1 định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q.

✎ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN:

     Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề.

✎ KÍ HIỆU $\forall$ và $\exists$:

_ Kí hiệu $\forall$ (với mọi): “$\forall x \in X,\;P(x)$” hoặc “$\forall x \in X:\;P(x)$”

_ Kí hiệu $\exists$ (tồn tại): “$\exists x \in X,\;P(x)$” hoặc “$\exists x \in X:\;P(x)$”

_ Phủ định của mệnh đề “$\forall x \in X,\;P(x)$” là mệnh đề “$\exists x \in X,\;\overline {P(x)}$”

_ Phủ định của mệnh đề “$\exists x \in X,\;P(x)$” là mệnh đề “$\forall x \in X,\;\overline {P(x)}$”

✎ BẢNG CHÂN TRỊ CỦA MỆNH ĐỀ:

$P$	$Q$	$\overline P$	$\overline Q$	P $\Rightarrow$ Q	Q $\Rightarrow$ P	$P \Leftrightarrow Q$	$\overline Q  \Rightarrow \overline P$
Đ	Đ	S	S	Đ	Đ	Đ	Đ
S	S	Đ	Đ	Đ	Đ	Đ	Đ
Đ	S	S	Đ	S	Đ	S	S
S	Đ	Đ	S	Đ	S	S	Đ

Nhận xét:

1) Nếu $P$ sai hoặc $Q$ đúng thì $\left( {P \Rightarrow Q} \right)$ luôn đúng.
2) $P \Leftrightarrow Q$ đúng khi $P$ và $Q$ cùng đúng hoặc cùng sai.

3) $\left( {P \Rightarrow Q} \right) \Leftrightarrow \left( {\overline Q  \Rightarrow \overline P } \right)$