[HÌNH HỌC 9] BÀI TẬP TỔNG HỢP HKII (010)

$\boxed{\text {Bài toán:}}$ Cho $\triangle$ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia HB lấy điẻm D sao cho HD = HB. Từ C vẽ CE $\bot$ AD tại E.

a) Chứng minh: AHEC nội tiếp.

b) Chứng minh: $\triangle$AHE cân và ${HE^2}=HD.HC$.

c) Tia CE cắt tia AH tại K. Chứng minh: AB // DK và tứ giác ABKD là hinh thoi.

d) Gọi I là trung điểm của AC. HI cắt AE tại J. Chứng minh: DC.HJ = 2IJ.HB.

Hướng dẫn

a) $\widehat {AHC} = \widehat {AEC} = {90^0}$

$\Rightarrow$ AHEC nội tiếp đường tròn (hai đỉnh H, E liên tiếp cùng nhìn cạnh AC dưới góc bằng nhau)

b) $\widehat {HAE} = \widehat {HAB}$ ($\triangle$ABD cân tại A), $\widehat {HAB} = \widehat {HCA}$ (cùng phụ góc B), $\widehat {HCA} = \widehat {HEA}$ (góc nội tiếp chắn $\stackrel\frown{AH}$) $\Rightarrow$ $\widehat {HAE} = \widehat {HEA}$ $\Rightarrow$ $\triangle$AHE cân tại E

$\triangle$HED $\sim$ $\triangle$HCE (g – g) $\Rightarrow$ ${HE^2}=HD.HC$

c) DK $\bot$ AC (D là trực tâm $\triangle$ACK), AB $\bot$ AC $\Rightarrow$ AB // DK $\Rightarrow$ $\widehat {HBA} = \widehat {HDK}$

$\triangle$HBA = $\triangle$HDK (g – c – g) $\Rightarrow$ H là trung điểm AK, mà H là trung điểm BD $\Rightarrow$ ABKD là hình bình hành, mà AK $\bot$ BD $\Rightarrow$ ABKD là hình thoi

d) Các em tự làm

* Lưu ý: Do không soạn được kí hiệu đồng dạng như trong SGK của VN nên tôi thay bằng kí hiệu đồng dạng "$\sim$" trong bài viết.

Xem đáp án