ĐỀ THI TOÁN 8 HỌC KÌ II NĂM HỌC 2015−2016 QUẬN 11 TPHCM

ĐỀ THI TOÁN 8 HỌC KÌ II NĂM HỌC 2015$-$2016 QUẬN 11 TPHCM

Bài 1: (2 điểm) Giải các phương trình sau:

a) $3x - 4 = 5$

b) $2\left( {x + 7} \right) + 3\left( {x - 1} \right) = 16$

Bài 2: (2 điểm) Giải các phương trình sau:

a) $\left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right) = 0$

b) $\dfrac{{x + 2}}{{x - 2}} - \dfrac{{12}}{{{x^2} - 4}} = \dfrac{{x - 2}}{{x + 2}}$

c) $\left| {3x - 5} \right| = 1$

Bài 3: (2 điểm) Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

a) $7x - 3 \le 2\left( {2x + 3} \right)$

b) $\dfrac{{x - 3}}{4} > \dfrac{{7x - 1}}{{12}} - \dfrac{{x + 3}}{6}$

Bài 4: (0,5 điểm)

Có một bao gạo đựng $13$ kg gạo, người ta cần lấy ra $2{,}5$ kg gạo. Hỏi làm thế nào để lấy ra được số gạo đó với $2$ lần cân bằng một cái cân đĩa và chỉ có 1 quả cân loại $1$ kg?

Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ có ba đường cao $AD$, $BF$ và $CE$ giao nhau tại $H$.

a) Chứng minh: $\triangle AFB$ đồng dạng với $\triangle AEC$.

b) Chứng minh: $HB \cdot HF = HC \cdot HE$.

c) Từ $D$ vẽ $DM$ $\bot$ $AB$ ($M$ $\in$ $AB$), $DN$ $\bot$ $AC$ ($N$ $\in$ $AC$). Chứng minh: $\triangle AMN$ đồng dạng với $\triangle ACB$.

d) Gọi $P$, $Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ xuống $BF$, $CE$. Chứng minh: 2 điểm $P$, $Q$ nằm trên đường thẳng $MN$.

Read More

ĐỀ THI TOÁN 8 HỌC KÌ II NĂM HỌC 2008$-$2009 QUẬN 11 TPHCM

ĐỀ THI TOÁN 8 HỌC KÌ II NĂM HỌC 2008$-$2009 QUẬN 11 TPHCM

Bài 1. (2 điểm) Giải phương trình:

a) $4x - 3 = 3x + 2$
b) $5x - 9 + 2\left( x + 1 \right) = 0$

Bài 2. (1,5 điểm) Giải phương trình: 

a) $2x\left( {x - 2} \right) + 3\left( {x - 2} \right) = 0$
b) $\dfrac{{2x - 5}}{{x - 4}} = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 2}}$

Bài 3. (1,5 điểm) Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

a) $2x - 5 > 0$

b) $\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) \le x^2  - 8x + 12$

Bài 4. (1,5 điểm) Tìm nghiệm của các đa thức sau đây:

a) Số quyển sách ở tủ A gấp $3$ lần số quyển sách ở tủ B. Nếu lấy ở tủ A ra $127$ quyển và thêm $81$ quyển vào tủ B thì số sách ở 2 tủ bằng nhau. Tìm số quyển sách ở mỗi tủ.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $M = 12 + 8x - x^2 $.

Bài 5. (3,5 điểm) Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn. Các đường cao $AM$, $BN$, $CK$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh: $\normalsize \triangle AHK$ và $\normalsize \triangle CHM$ đồng dạng. 

b) Chứng minh: $\dfrac{{AN}}{{AK}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}$.

c) Chứng minh: $MH.MA = MB.MC$.

d) Cho biết $MB = 4$cm, $MC = 6$cm, $MH = 3$cm. Tính độ dài cạnh $AC$.

Read More

ĐỀ THI TOÁN 7 HỌC KÌ II NĂM HỌC 2015$−$2016 QUẬN 11 TPHCM

ĐỀ THI TOÁN 7 HỌC KÌ II NĂM HỌC 2015$-$2016 QUẬN 11 TPHCM

Bài 1: (2 điểm) Tuổi nghề của một số công nhân trong một công ty (tính theo năm) được người quản lý ghi lại theo bảng sau:
                    2    1    2    2    6    3    2    3    5    1
                    5    3    1    1    4    4    1    4    4    1

a) Lập bảng tần số.

b) Tính tuổi nghề trung bình của các công nhân.

Bài 2: (1,5 điểm) Cho đơn thức: $M = \dfrac{7}{5}{x^3}y{\left( { - 5x{y^2}} \right)^2}$

a) Thu gọn $M$ rồi cho biết hệ số và phần biến của đơn thức.

b) Tính giá trị của đơn thức tại $x = –1$, $y = 2$.

Bài 3: (2 điểm) Cho hai đa thức:

                    $A =  - 11{x^3} + 2{x^2} - 7x + \dfrac{1}{2}$ và $B = 5{x^3} - 2{x^2} + 5x + \dfrac{3}{2}$

a) Tính $A + B$.

b) Tìm đa thức $C$ sao cho $B – C = A$.

Bài 4: (1 điểm)

a) Tìm nghiệm của đa thức $f(x) = 8 - 2x$.

b) Kết quả học tập môn Toán của bạn Nam trong học kì 2 được ghi lại trong bảng sau:

MÔN HỌC	HỆ SỐ 1				HỆ SỐ 2		HỆ SỐ 3	Trung bình môn HK2
	Miệng	15 phút			1 tiết		Thi HK2
TOÁN	7	6	8	7	7	8	x	8.0

Em hãy tìm $x$ là điểm kiểm tra học kì 2 môn Toán của bạn Nam.

Bài 5: (3,5 điểm) Cho $\triangle ABC$ cân tại $A$ có $AB = 20$ cm, $AH = 16$ cm và $AH$ $ \bot $ $BC$ ($H$ $ \in $ $BC$).

a) Chứng minh: $\triangle BAH$ = $\triangle CAH$.

b) Tính độ dài cạnh $BC$.

c) Vẽ $M$ là trung điểm của $AC$, $BM$ cắt $AH$ tại $I$. Chứng minh: $I$ là trọng tâm của $\triangle ABC$ và tính $AI$ (làm tròn 1 chữ số thập phân).

d) Qua $C$ vẽ đường thẳng song song với $AB$, cắt tia $BM$ tại $E$. Từ $C$ vẽ đường thẳng vuông góc với $BC$, cắt $ME$ tại $K$. Chứng minh: $AB + BC > 3IK$.

Read More

ĐỀ THI TOÁN 7 HỌC KÌ II NĂM HỌC 2008−2009 QUẬN 11 TPHCM

ĐỀ THI TOÁN 7 HỌC KÌ II NĂM HỌC 2008$-$2009 QUẬN 11 TPHCM

Bài 1. (1,5 điểm) Điểm một bài kiểm tra môn toán của một nhóm học sinh được ghi lại như sau:

                         7     6     8     9     9     4     7     5     6     10
a) Lập bảng tần số.
b) Tính điểm trung bình bài kiểm tra môn toán của nhóm.

Bài 2. (2 điểm) Cho đơn thức: $A = 2( - 3)x^2 y^4 x^3 y^2 $
a) Thu gọn đơn thức $A$ và tìm bậc của $A$.
b) Tính giá trị của đơn thức $A$ tại $x = 2$; $y = 1$.

Bài 3. (2 điểm) Cho hai đa thức:
$M = 4x^3  - 3x^2  - 2x + 5$; $N = x^3  + 4x^2  - 6x - 3$
a) Tính $M + N$.

b) Tính $M - N$.

Bài 4. (1,5 điểm) Tìm nghiệm của các đa thức sau đây:

a) $B = 2x - 6$

b) $C = 3x + 5 + \left( {7 - x} \right)$

c) $D = 3\left( {2x - 8} \right) - 2\left( {4 - x} \right)$

Bài 5. (3 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 9$ cm, $AC = 12$ cm. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $D$ sao cho $BD = BA$. Kẻ đường thẳng qua $D$ vuông góc với $BC$, đường thẳng này cắt $AC$ ở $E$ và cắt $AB$ ở $K$.

a) Tính độ dài cạnh $BC$.

b) Chứng minh: $\triangle ABE$ = $\triangle DBE$. Suy ra $BE$ là phân giác của $\widehat{ABC}$.

c) Chứng minh: $AC = DK$.

d) Kẻ đường thẳng qua $A$ vuông góc với $BC$ tại H. Đường thẳng này cắt $BE$ ở $M$.

Chứng minh: $\triangle AME$ là tam giác cân.

Read More

[Geometry 6] Practice measuring angles

I. METHOD OF MEASURING ANGLE

To measure angle $xOy$, a protractor is placed so that its center coincides with vertex $O$ of the angle, one side of the angle (such $Ox$) passes through line 0 of the protractor. Assume that the other side of the angle (ray $Oy$) passes through line 33. Then we say measurement of angle $xOy$ is 33 degrees.

The measurement of angle $xOy$ is $33$ degrees, is denoted by $\widehat {xOy} = {33^\circ}$ or $\angle xOy = {33^\circ}$
(Tâm của thước: Center of a protractor)

II. PRACTICE MEASURING ANGLES

Find the measurement of the angles in below figures?

Both angles are $139^\circ$

You can practice more at website http://www.mathplayground.com/measuringangles.html

Read More

[SỐ HỌC 6] BÀI TẬP TOÁN NÂNG CAO - PHẦN 2 (CÓ ĐÁP ÁN)

Bài toán 9: Thực hiện phép tính:

1) $\left( {\dfrac{1}{{2011}} + \dfrac{2}{{2010}} + \dfrac{3}{{2009}} + 4} \right):\left( {\dfrac{1}{{2009}} + \dfrac{1}{{2010}} + \dfrac{1}{{2011}} + \dfrac{1}{{2012}}} \right)$
2) $ - \dfrac{1}{{90}} - \dfrac{1}{{72}} - \dfrac{1}{{56}} - \dfrac{1}{{42}} - \dfrac{1}{{30}} - \dfrac{1}{{20}} - \dfrac{1}{{12}} - \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{2}$
3) $\dfrac{3}{2} - \dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{{12}} - \dfrac{9}{{20}} + \dfrac{{11}}{{30}} - \dfrac{{13}}{{42}} + \dfrac{{15}}{{56}} - \dfrac{{17}}{{72}}$
4) $\left( {1 + \dfrac{1}{{1\cdot3}}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{2\cdot4}}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{3\cdot5}}} \right) \ldots \left( {1 + \dfrac{1}{{17\cdot19}}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{18\cdot20}}} \right)$

Giải.

1) $\left( {\dfrac{1}{{2011}} + \dfrac{2}{{2010}} + \dfrac{3}{{2009}} + 4} \right):\left( {\dfrac{1}{{2009}} + \dfrac{1}{{2010}} + \dfrac{1}{{2011}} + \dfrac{1}{{2012}}} \right)$
$ = \left( {\dfrac{1}{{2011}} + 1 + \dfrac{2}{{2010}} + 1 + \dfrac{3}{{2009}} + 1 + 1} \right):\left( {\dfrac{1}{{2009}} + \dfrac{1}{{2010}} + \dfrac{1}{{2011}} + \dfrac{1}{{2012}}} \right)$
= $\left( {\dfrac{1}{{2011}} + \dfrac{{2011}}{{2011}} + \dfrac{2}{{2010}} + \dfrac{{2010}}{{2010}} + \dfrac{3}{{2009}} + \dfrac{{2009}}{{2009}} + \dfrac{{2012}}{{2012}}} \right):$

$\left( {\dfrac{1}{{2009}} + \dfrac{1}{{2010}} + \dfrac{1}{{2011}} + \dfrac{1}{{2012}}} \right)$

= $\left( {\dfrac{{2012}}{{2011}} + \dfrac{{2012}}{{2010}} + \dfrac{{2012}}{{2009}} + \dfrac{{2012}}{{2012}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{2009}} + \dfrac{1}{{2010}} + \dfrac{1}{{2011}} + \dfrac{1}{{2012}}} \right)$
= $2012\left( {\dfrac{1}{{2011}} + \dfrac{1}{{2010}} + \dfrac{1}{{2009}} + \dfrac{1}{{2012}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{2009}} + \dfrac{1}{{2010}} + \dfrac{1}{{2011}} + \dfrac{1}{{2012}}} \right)$
= $2012$
2) $ - \dfrac{1}{{90}} - \dfrac{1}{{72}} - \dfrac{1}{{56}} - \dfrac{1}{{42}} - \dfrac{1}{{30}} - \dfrac{1}{{20}} - \dfrac{1}{{12}} - \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{2}$
= $ - \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{{12}} + \dfrac{1}{{20}} + \dfrac{1}{{30}} + \dfrac{1}{{42}} + \dfrac{1}{{56}} + \dfrac{1}{{72}} + \dfrac{1}{{90}}} \right)$
= $ - \left( {\dfrac{1}{{1\cdot2}} + \dfrac{1}{{2\cdot3}} + \dfrac{1}{{3\cdot4}} + \dfrac{1}{{4\cdot5}} + \dfrac{1}{{5\cdot6}} + \dfrac{1}{{6\cdot7}} + \dfrac{1}{{7\cdot8}} + \dfrac{1}{{8\cdot9}} + \dfrac{1}{{9\cdot10}}} \right)$
= $ - \left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} +  \cdots  + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{{10}}} \right)$
= $ - \left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{{10}}} \right)$
= $\dfrac{{ - 9}}{{10}}$
3) $\dfrac{3}{2} - \dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{{12}} - \dfrac{9}{{20}} + \dfrac{{11}}{{30}} - \dfrac{{13}}{{42}} + \dfrac{{15}}{{56}} - \dfrac{{17}}{{72}}$
$ = \left( {1 + \dfrac{1}{2}} \right) - \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}} \right) + \left( {\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}} \right) - \left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5}} \right) + \left( {\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6}} \right) - \left( {\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{7}} \right)+ $

$ + \left( {\dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{8}} \right) - \left( {\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{9}} \right)$

$ = 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{9}$
$ = 1 - \dfrac{1}{9}$
$ = \dfrac{8}{9}$
4) $\left( {1 + \dfrac{1}{{1\cdot3}}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{2\cdot4}}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{3\cdot5}}} \right) \ldots \left( {1 + \dfrac{1}{{17\cdot19}}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{18\cdot20}}} \right)$
= $\left( {\dfrac{{1\cdot3}}{{1\cdot3}} + \dfrac{1}{{1\cdot3}}} \right)\left( {\dfrac{{2\cdot4}}{{2\cdot4}} + \dfrac{1}{{2\cdot4}}} \right)\left( {\dfrac{{3\cdot5}}{{3\cdot5}} + \dfrac{1}{{3\cdot5}}} \right) \ldots \left( {\dfrac{{18\cdot20}}{{18\cdot20}} + \dfrac{1}{{18\cdot20}}} \right)$
= $\dfrac{4}{{1\cdot3}}\cdot\dfrac{9}{{2\cdot4}}\cdot\dfrac{{16}}{{3\cdot5}} \ldots \dfrac{{324}}{{17\cdot19}}\cdot\dfrac{{361}}{{18\cdot20}}$
= $\dfrac{{2\cdot2}}{{1\cdot3}}\cdot\dfrac{{3\cdot3}}{{2\cdot4}}\cdot\dfrac{{4\cdot4}}{{3\cdot5}} \ldots \dfrac{{18\cdot18}}{{17\cdot19}}\cdot\dfrac{{19\cdot19}}{{18\cdot20}}$
= $\left( {\dfrac{2}{1}\cdot\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{4}{3} \ldots \dfrac{{18}}{{17}}\cdot\dfrac{{19}}{{18}}} \right)\cdot\left( {\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{4}{5} \ldots \dfrac{{18}}{{19}}\cdot\dfrac{{19}}{{20}}} \right)$
= $19\cdot\dfrac{2}{{20}}$
= $\dfrac{{19}}{{10}}$
Bài toán 10: Cho ba số $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $abc = 105$ và $bc + b +1$ $ \ne $ $0$. Tính giá trị của biểu thức $S = \dfrac{{105}}{{abc + ab + a}} + \dfrac{b}{{bc + b + 1}} + \dfrac{a}{{ab + a + 105}}$.

Giải.

$S = \dfrac{{105}}{{abc + ab + a}} + \dfrac{b}{{bc + b + 1}} + \dfrac{a}{{ab + a + 105}}$
= $\dfrac{{abc}}{{abc + ab + a}} + \dfrac{b}{{bc + b + 1}} + \dfrac{a}{{ab + a + abc}}$
= $\dfrac{{abc}}{{a\left( {bc + b + 1} \right)}} + \dfrac{b}{{bc + b + 1}} + \dfrac{a}{{a\left( {b + 1 + bc} \right)}}$
= $\dfrac{{bc}}{{bc + b + 1}} + \dfrac{b}{{bc + b + 1}} + \dfrac{1}{{bc + b + 1}}$
= $\dfrac{{bc + b + 1}}{{bc + b + 1}}$
= $1$

Bài toán 11: Chứng tỏ rằng:

$\left( {1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} +  \ldots  + \dfrac{1}{{101}}} \right) - \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} +  \ldots  + \dfrac{1}{{100}} + \dfrac{1}{{102}}} \right) = $

$ = \dfrac{1}{{52}} + \dfrac{1}{{53}} + \dfrac{1}{{54}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{101}} + \dfrac{1}{{102}}$

Giải.

$\left( {1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} +  \ldots  + \dfrac{1}{{101}}} \right) - \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} +  \ldots  + \dfrac{1}{{100}} + \dfrac{1}{{102}}} \right) $
$ = \left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} +  \ldots  + \dfrac{1}{{101}} + \dfrac{1}{{102}}} \right) - 2\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} +  \ldots  + \dfrac{1}{{100}} + \dfrac{1}{{102}}} \right)$
= $\left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} +  \ldots  + \dfrac{1}{{101}} + \dfrac{1}{{102}}} \right) - \left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} +  \ldots  + \dfrac{1}{{50}} + \dfrac{1}{{51}}} \right)$
= $\dfrac{1}{{52}} + \dfrac{1}{{53}} + \dfrac{1}{{54}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{101}} + \dfrac{1}{{102}}$

Bài toán 12: Chứng tỏ rằng:
1) $\dfrac{1}{{1\cdot2}} + \dfrac{1}{{2\cdot3}} + \dfrac{1}{{3\cdot4}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{n(n + 1)}} < 1$ ($n$ $ \in $ $\mathbb{N}$$^*$)
2) $\dfrac{1}{{{1^2}}} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{{n^2}}} < 2$ ($n$ $ \in $ $\mathbb{N}$, $n \ge 2$)
3) $\dfrac{{{{10}^8} + 2}}{{{{10}^8} - 1}} < \dfrac{{{{10}^8}}}{{{{10}^8} - 3}}$
4) $\dfrac{{{{10}^{2004}} + 1}}{{{{10}^{2005}} + 1}} > \dfrac{{{{10}^{2005}} + 1}}{{{{10}^{2006}} + 1}}$
5) $\dfrac{{2000}}{{2001}} + \dfrac{{2001}}{{2002}} > \dfrac{{2000 + 2001}}{{2001 + 2002}}$
6) $\dfrac{1}{{11}} + \dfrac{1}{{12}} + \dfrac{1}{{13}} + \dfrac{1}{{14}} + \dfrac{1}{{15}} + \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{17}} + \dfrac{1}{{18}} + \dfrac{1}{{19}} + \dfrac{1}{{20}} > \dfrac{1}{2}$
7) $\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{{13}} + \dfrac{1}{{14}} + \dfrac{1}{{15}} + \dfrac{1}{{61}} + \dfrac{1}{{62}} + \dfrac{1}{{63}} < \dfrac{1}{2}$
8) $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} +  \ldots  + \dfrac{1}{{63}} > 2$

Giải.

1) $\dfrac{1}{{1\cdot2}} + \dfrac{1}{{2\cdot3}} + \dfrac{1}{{3\cdot4}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{n(n + 1)}} = \dfrac{n}{{n + 1}} < 1$ ($n$ $ \in $ $\mathbb{N}$$^*$)

2) Ta có: $\dfrac{1}{{{n^2}}} < \dfrac{1}{{(n - 1)n}} = \dfrac{1}{{n - 1}} - \dfrac{1}{n}$ ($n$ $ \in $ $\mathbb{N}$, $n \ge 2$)

$\dfrac{1}{{{1^2}}} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{{n^2}}} < 1 + \left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}} \right) +  \ldots  + $

$ + \left( {\dfrac{1}{{n - 1}} - \dfrac{1}{n}} \right) = 2 - \dfrac{1}{n} < 2$

$ \Rightarrow $ $\dfrac{1}{{{1^2}}} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{{n^2}}} < 2$

3) $\dfrac{{{{10}^8} + 2}}{{{{10}^8} - 1}} < \dfrac{{{{10}^8}}}{{{{10}^8} - 3}}$

Ta có:

$\dfrac{{{{10}^8} + 2}}{{{{10}^8} - 1}} = \dfrac{{{{10}^8} - 1 + 3}}{{{{10}^8} - 1}} = 1 + \dfrac{3}{{{{10}^8} - 1}} = 1\dfrac{3}{{{{10}^8} - 1}}$

$\dfrac{{{{10}^8}}}{{{{10}^8} - 3}} = \dfrac{{{{10}^8} - 3 + 3}}{{{{10}^8} - 3}} = 1 + \dfrac{3}{{{{10}^8} - 3}} = 1\dfrac{3}{{{{10}^8} - 3}}$

Vì $\dfrac{3}{{{{10}^8} - 1}} < \dfrac{3}{{{{10}^8} - 3}}$

nên $\dfrac{{{{10}^8} + 2}}{{{{10}^8} - 1}} < \dfrac{{{{10}^8}}}{{{{10}^8} - 3}}$

4) $\dfrac{{{{10}^{2004}} + 1}}{{{{10}^{2005}} + 1}} > \dfrac{{{{10}^{2005}} + 1}}{{{{10}^{2006}} + 1}}$

Đặt $A = \dfrac{{{{10}^{2004}} + 1}}{{{{10}^{2005}} + 1}}$, $B = \dfrac{{{{10}^{2005}} + 1}}{{{{10}^{2006}} + 1}}$

$10A = \dfrac{{{{10}^{2004}} + 1}}{{{{10}^{2005}} + 1}}\cdot10 = \dfrac{{{{10}^{2005}} + 10}}{{{{10}^{2005}} + 1}} = 1 + \dfrac{9}{{{{10}^{2005}} + 1}}$

$10B = \dfrac{{{{10}^{2005}} + 1}}{{{{10}^{2006}} + 1}}\cdot10 = \dfrac{{{{10}^{2006}} + 10}}{{{{10}^{2006}} + 1}} = 1 + \dfrac{9}{{{{10}^{2006}} + 1}}$

Vì $\dfrac{9}{{{{10}^{2005}} + 1}} > \dfrac{9}{{{{10}^{2006}} + 1}}$

nên $10A > 10B$ (hay $A > B$)

Vậy $\dfrac{{{{10}^{2004}} + 1}}{{{{10}^{2005}} + 1}} > \dfrac{{{{10}^{2005}} + 1}}{{{{10}^{2006}} + 1}}$

5) $\dfrac{{2000}}{{2001}} + \dfrac{{2001}}{{2002}} > \dfrac{{2000 + 2001}}{{2001 + 2002}}$

Ta có:

$\dfrac{{2000}}{{2001}} > \dfrac{{2000}}{{2001 + 2002}}$    (1)

$\dfrac{{2001}}{{2002}} > \dfrac{{2001}}{{2001 + 2002}}$    (2)

(1), (2) $ \Rightarrow $ $\dfrac{{2000}}{{2001}} + \dfrac{{2001}}{{2002}} > \dfrac{{2000 + 2001}}{{2001 + 2002}}$

6) $\dfrac{1}{{11}} + \dfrac{1}{{12}} + \dfrac{1}{{13}} + \dfrac{1}{{14}} + \dfrac{1}{{15}} + \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{17}} + \dfrac{1}{{18}} + \dfrac{1}{{19}} + \dfrac{1}{{20}} > \dfrac{1}{2}$

Ta có:

$\dfrac{1}{{11}} > \dfrac{1}{{20}}$

$\dfrac{1}{{12}} > \dfrac{1}{{20}}$

$.........$

$\dfrac{19}{{11}} > \dfrac{1}{{20}}$

Cộng theo vế ta được:

$\dfrac{1}{{11}} + \dfrac{1}{{12}} + \dfrac{1}{{13}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{19}} > \underbrace {\dfrac{1}{{20}} + \dfrac{1}{{20}} + \dfrac{1}{{20}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{20}}}_{{\rm{9 \text{ số} }}}$

$ \Rightarrow $ $\dfrac{1}{{11}} + \dfrac{1}{{12}} + \dfrac{1}{{13}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{19}} + \dfrac{1}{{20}} > \underbrace {\dfrac{1}{{20}} + \dfrac{1}{{20}} + \dfrac{1}{{20}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{20}} + \dfrac{1}{{20}}}_{{\rm{10 \text{ số}}}}$

$ \Rightarrow $ $\dfrac{1}{{11}} + \dfrac{1}{{12}} + \dfrac{1}{{13}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{19}} + \dfrac{1}{{20}} > \dfrac{{10}}{{20}}$

$ \Rightarrow $ $\dfrac{1}{{11}} + \dfrac{1}{{12}} + \dfrac{1}{{13}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{19}} + \dfrac{1}{{20}} > \dfrac{1}{2}$

7) $\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{{13}} + \dfrac{1}{{14}} + \dfrac{1}{{15}} + \dfrac{1}{{61}} + \dfrac{1}{{62}} + \dfrac{1}{{63}} < \dfrac{1}{2}$

Ta có:

$\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{{13}} + \dfrac{1}{{14}} + \dfrac{1}{{15}} + \dfrac{1}{{61}} + \dfrac{1}{{62}} + \dfrac{1}{{63}} < \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{{12}} + \dfrac{1}{{12}} + \dfrac{1}{{12}} + \dfrac{1}{{60}} + \dfrac{1}{{60}} + \dfrac{1}{{60}}$

$ \Rightarrow $ $S < \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{{12}}\cdot3 + \dfrac{1}{{60}}\cdot3 = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{20}} = \dfrac{4}{{20}} + \dfrac{5}{{20}} + \dfrac{1}{{20}} = \dfrac{{10}}{{20}}$

$ \Rightarrow $ $S < \dfrac{1}{2}$

8) $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} +  \ldots  + \dfrac{1}{{63}} > 2$

Đặt $H = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} +  \ldots  + \dfrac{1}{{63}}$

$ \Rightarrow $ $H + 1 = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} +  \ldots  + \dfrac{1}{{63}}$

= $\left( {1 + \dfrac{1}{2}} \right) + \left( {\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}} \right) + \left( {\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{8}} \right) + \left( {\dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{{10}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{16}}} \right) + $

$ + \left( {\dfrac{1}{{17}} + \dfrac{1}{{18}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{32}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{33}} + \dfrac{1}{{34}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{63}} + \dfrac{1}{{64}}} \right) - \dfrac{1}{{64}}$

$H + 1 > \dfrac{1}{2}\cdot2 + \dfrac{1}{4}\cdot2 + \dfrac{1}{8}\cdot4 + \dfrac{1}{{16}}\cdot8 + \dfrac{1}{{32}}\cdot16 + \dfrac{1}{{64}}\cdot32 - \dfrac{1}{{64}}$

$H + 1 > 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{64}}$

$H + 1 > 3 + \dfrac{{31}}{{64}}$

$H > 2 + \dfrac{{31}}{{64}} > 2$

Bài toán 13: Cho $a$, $b$, $c$, $d > 0$. Chứng tỏ rằng:

a) $\dfrac{{a + b}}{{1 + a + b}} \le \dfrac{a}{{1 + a}} + \dfrac{b}{{1 + b}}$

b) $1 < \dfrac{a}{{a + b + c}} + \dfrac{b}{{b + c + d}} + \dfrac{c}{{c + d + a}} + \dfrac{d}{{d + a + b}} < 2$

Giải.

a) Với $a, b > 0$ ta có:

$\dfrac{{a + b}}{{1 + a + b}} = \dfrac{a}{{1 + a + b}} + \dfrac{b}{{1 + a + b}} \le \dfrac{a}{{1 + a}} + \dfrac{b}{{1 + b}}$

b) Với $a$, $b$, $c$, $d$ ta có:

$\dfrac{a}{{a + b + c + d}} < \dfrac{a}{{a + b + c}} < \dfrac{a}{{a + c}}$    (1)

$\dfrac{b}{{b + c + d + a}} < \dfrac{b}{{b + c + d}} < \dfrac{b}{{b + d}}$    (2)

$\dfrac{c}{{c + d + a + b}} < \dfrac{c}{{c + d + a}} < \dfrac{c}{{c + a}}$    (3)

$\dfrac{d}{{d + a + b + c}} < \dfrac{d}{{d + a + b}} < \dfrac{d}{{d + b}}$    (4)

(1), (2), (3), (4) $ \Rightarrow $ đpcm

Bài toán 14: Chứng minh rằng tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó thì không nhỏ hơn 2.

Giải.

Gọi phân số dương là $\dfrac{a}{b}$.

Không mất tính tổng quát, giả sử:

$a > 0$, $b > 0$, $a \ge b$, $a = b + m$ ($m$ $ \in $ $\mathbb{Z}$, $m \ge 0$)

Ta có:

$\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} = \dfrac{{b + m}}{b} + \dfrac{b}{{b + m}} = 1 + \dfrac{m}{b} + \dfrac{b}{{b + m}} \ge $

$ \ge 1 + \dfrac{m}{{b + m}} + \dfrac{b}{{b + m}} = 1 + \dfrac{{m + b}}{{b + m}} = 2$

Vậy $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2$, dấu “=” xảy ra khi $a = b$ (hay $m = 0$).

Read More

[ĐẠI SỐ 9] MỘT VÀI BÀI TOÁN VỀ ĐỊNH LÍ VIÈTE

$\boxed{\text {Bài toán 1.}}$ Cho phương trình $3x^2 - 6x - 4 = 0$ có hai nghiệm $x_1$, $x_2$. Tính giá trị của các biểu thức sau:

1) $\left| {{x_1} - {x_2}} \right|$
2) $x_1^2 + x_2^2$
3) $x_1^3 + x_2^3$
4) $x_1^4 + x_2^4$
5) $x_1^2 + x_2^2 - 5{x_1}{x_2}$
6) $\left( {3{x_1} + {x_2}} \right)\left( {3{x_2} + {x_1}} \right)$
7) $\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}}$

8) $\dfrac{1}{{{x_1} - 1}} + \dfrac{1}{{{x_2} - 1}}$
9) $\dfrac{{2x_2^2}}{{{x_1} + {x_2}}} + 2{x_1}$
10) $\dfrac{{3x_1^2 - 6{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{3x_2^2 - 6{x_2}}}{{{x_1}}}$

$\boxed{\text {Bài toán 2.}}$ Cho phương trình ${x^2} - 2\left( {m + 3} \right)x + m - 1 = 0$ ($x$ là ẩn).

a) Giải phương trình khi $m = 1$.

b) Tìm $m$ để phương trình trên có một nghiệm bằng $2$ và tìm nghiệm kia.

$\boxed{\text {Bài toán 3. }}$ Cho phương trình ${x^2} - \left( {m - 3} \right)x + m - 5 = 0$ ($x$ là ẩn số).

a) Chứng minh: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$.

b) Tìm $m$ để phương trình trên có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ thỏa điều kiện $x_1^2 - 4{x_1} + x_2^2 - 4{x_2} = 11$.

$\boxed{\text {Bài toán 4.}}$ Cho phương trình ${x^2} + \left( {m - 2} \right)x - m = 0$ ($x$ là ẩn số).

a) Chứng minh: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$.

b) Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm $x_1$, $x_2$ thỏa ${x_1} - {x_2} =  - 2$.

$\boxed{\text {Bài toán 5.}}$ Cho phương trình ${x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + 4m + 2 = 0$ ($x$ là ẩn số).

a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của $m$.

b) Tìm $m$ sao cho phương trình có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ thỏa hệ thức $2{x_1} - 3{x_2} = 5$.

$\boxed{\text {Bài toán 6.}}$ Cho phương trình ${x^2} - mx - 1 = 0$ ($x$ là ẩn số).

a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu.

b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ thỏa $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3$.

$\boxed{\text {Bài toán 7.}}$ Cho phương trình ${x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m - 2 = 0$ ($x$ là ẩn số).

a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$.

b) Gọi $x_1$, $x_2$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm $m$ để biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2 - 6{x_1}{x_2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

$\boxed{\text {Bài toán 8.}}$ Cho phương trình ${x^2} - \left( {3m - 2} \right)x - 3m = 0$ ($x$ là ẩn số).

a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$.

b) Gọi $x_1$, $x_2$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm $m$ để biểu thức $A = x_1^2{x_2} + x_2^2{x_1}$ đạt giá trị lớn nhất.

$\boxed{\text {Bài toán 9.}}$ Cho phương trình ${x^2} + \left( {m + 2} \right)x + m + 1 = 0$ ($x$ là ẩn số).

a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của $m$.

b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm $x_1$, $x_2$ của phương trình không phụ thuộc vào $m$.

$\boxed{\text {Bài toán 10.}}$ Cho phương trình ${x^2} - 2x + m - 3 = 0$ ($x$ là ẩn số).

a) Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.

b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt

c) Tìm $m$ để phương trình có nghiệm kép.

$\boxed{\text {Bài toán 11.}}$ Cho phương trình ${x^2} - 2mx - 3{m^2} + 2m - 1 = 0$ ($x$ là ẩn số).

a) Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ với mọi giá trị của $m$.

b) Tìm giá trị của $m$ để biểu thức $A = \dfrac{{ - 5}}{{x_1^2 + x_2^2 + 3{x_1}{x_2} + 4}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

$\boxed{\text {Bài toán 12.}}$ Cho phương trình ${x^2} - 2mx + 2m - 2 = 0$ ($x$ là ẩn số).

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ với mọi giá trị của $m$.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = \dfrac{{6\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{x_1^2 + x_2^2 + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}$.

$\boxed{\text {Bài toán 13.}}$ Giải phương trình bậc hai bằng cách nhẩm nghiệm:

a) ${x^2} - \left( {\sqrt 2  + 1} \right)x + \sqrt 2  = 0$

b) ${x^2} - \left( {\sqrt 3  - 1} \right)x - \sqrt 3  = 0$

$\boxed{\text {Bài toán 14.}}$

a) Tìm hai số biết tổng của chúng bằng $5$ và tích bằng $-$24.

b) Tìm hai số dương biết hiệu của chúng bằng $12$ và tích của chúng bằng $64$.

Read More

[HÌNH HỌC 9] BÀI TẬP TỔNG HỢP HKII (011)

$\boxed{\text {Bài toán:}}$ Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Lấy $C$, $D$ thuộc nửa đường tròn sao cho cung $AC$ nhỏ hơn ${90}^\circ$, $\widehat {COD} = {90^\circ}$, $M$ là điểm nằm trên đường tròn sao cho $C$ là điểm chính giữa của cung $AM$. Các dây $AM$ và $BM$ cắt $OC$, $OD$ lần lượt tại $E$ và $F$.

a) Tứ giác $OEMF$ là hình gì? Tại sao?

b) Chứng minh $D$ là điểm chính giữa của cung $BM$.

c) Một đường thẳng $d$ tiếp xúc với nửa đường tròn tại $M$ và cắt các tia $OC$ và $OD$ lần lượt tại $I$ và $K$. Chứng minh tứ giác $OBKM$ và tứ giác $OAIM$ nội tiếp được.

d) Giả sử tia $AM$ cắt tia $BD$ tại $S$. Hãy xác dịnh vị trí của $C$ và $D$ trên đường tròn ($O$) sao cho $5$ điểm $M$, $O$, $B$, $K$, $S$ cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn

a) Các em tự làm.

b) Các em tự làm.

c) Các em tự làm.

d) $M$, $O$, $B$, $K$, $S$ cùng thuộc một đường tròn.

$ \Leftrightarrow $ $S$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác $OBKM$.

$ \Leftrightarrow $ $\widehat {MSB} = \widehat {MKB}$.        (1)

Mà $\widehat {MSB} = \widehat {SDK} = \widehat {ODB} = \widehat {OBD}$, $\widehat {MKB} = 2\widehat {OKB} = 2\widehat {OBF}$.

(1) $ \Leftrightarrow $ $\widehat {OBD} = 2\widehat {OBF}$.

$ \Leftrightarrow $ $\widehat {FBD} = \widehat {OBF}$.

$ \Leftrightarrow $ $\triangle OBD$ cân tại $B$ (có $BF$ vừa là đường cao vừa là phân giác)

$ \Leftrightarrow $ $OB = BD$.               (2)

Mà $OB = OD$.

(2) $ \Leftrightarrow $ $OB = OD = BD$.

$ \Leftrightarrow $ $\triangle OBD$ đều.

$ \Leftrightarrow $ $\widehat {BOD} = {60^\circ}$.

$ \Leftrightarrow $ $\widehat {MOD} = {60^\circ}$.

$ \Leftrightarrow $ $\triangle MOD$ đều ($OM = OD$, $\widehat {MOD} = {60^\circ}$).

$ \Leftrightarrow $ $\widehat {MOC} = \widehat {AOC} = {30^\circ}$.

$ \Leftrightarrow $ $\widehat {CAB} = {75^\circ}$.

Xem đáp án

Read More

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 1991$-$1992

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 1991$-$1992

Bài 1.

1) Giải phương trình ${\left( {2 - {x^2}} \right)^2} + 3\left( {2 - {x^2}} \right) + 2 = 0$.

2) Tính $\sqrt {15{a^2} - 8a\sqrt {15}  + 16} $  lúc $a = \sqrt {\dfrac{3}{5}}  + \sqrt {\dfrac{5}{3}} $.

Bài 2. Trong cùng hệ trục tọa độ, gọi ($P$) và ($D$) lần lượt là đồ thị của $y =  - \dfrac{{{x^2}}}{4}$ và $y = x + 1$.

1) Vẽ ($P$) và ($D$).

2) Dùng đồ thị để giải phương trình $x^2 + 4x + 4 = 0$ và kiểm tra lại bằng phép toán.

3) Viết phương trình đường thẳng ($d$) song song với ($D$) và cắt ($P$) tại điểm có tung độ là $–4$.

Bài 3. Theo cùng chiều trên đường tròn $(O; R)$ lấy dây cung $AB = R\sqrt 2 $, cung $BC$ có số đo ${30}^\circ$.
1) Tính số đo của cung $AB$ và độ dài dây cung $AC$ theo $R$.
2) Từ $A$ vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng $BC$ tại $D$. Tính độ dài $AD$, $DB$, $BC$ theo $R$.
3) $M$ là điểm di động trên cung lớn $AC$. Chứng tỏ tâm đường tròn nội tiếp trong tam giác $MAC$ di động trên đường cố định có giới hạn.

Read More

[Geometry 8] Exercises Chapter III - Similar triangles (001)

$\boxed{\text {Problem:}}$ In $\triangle ABC$, $M$ is the midpoint of the side $BC$. The bisector $ME$ of $\widehat {AMB}$ meets the side $AB$ at $E$, and the bisector $MF$ of $\widehat {AMC}$ meets the $AC$ at $F$. Prove that $\dfrac{{EA}}{{EB}} = \dfrac{{FA}}{{FC}}$. Hence $EF$ $\parallel$ $BC$.

Solution.

In $\triangle ABM$, $ME$ is the bisector of $\widehat {AMB}$.

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{EA}}{{EB}} = \dfrac{{MA}}{{MB}}$ (angle bisector theorem).   (1)

In $\triangle$ACM, MF is the bisector of $\widehat {AMC}$.

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{FA}}{{FC}} = \dfrac{{MA}}{{MC}}$ (angle bisector theorem).   (2)

But $MB = MC$ (M is the midpoint of BC).    (3)

(1), (2), (3) $ \Rightarrow $ $\dfrac{{EA}}{{EB}} = \dfrac{{FA}}{{FC}}$.

$ \Rightarrow $ $EF$ $\parallel$ $BC$ (converse of Thales theorem).

Read More