[ĐẠI SỐ 9] MỘT VÀI BÀI TOÁN VỀ ĐỊNH LÍ VIÈTE

$\boxed{\text {Bài toán 1.}}$ Cho phương trình: $3{x^2} - 6x - 4 = 0$ có hai nghiệm $x_1$, $x_2$. Tính giá trị của các biểu thức sau:

1) $\left| {{x_1} - {x_2}} \right|$
2) $x_1^2 + x_2^2$
3) $x_1^3 + x_2^3$
4) $x_1^4 + x_2^4$
5) $x_1^2 + x_2^2 - 5{x_1}{x_2}$
6) $\left( {3{x_1} + {x_2}} \right)\left( {3{x_2} + {x_1}} \right)$
7) $\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}}$

8) $\dfrac{1}{{{x_1} - 1}} + \dfrac{1}{{{x_2} - 1}}$
9) $\dfrac{{2x_2^2}}{{{x_1} + {x_2}}} + 2{x_1}$
10) $\dfrac{{3x_1^2 - 6{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{3x_2^2 - 6{x_2}}}{{{x_1}}}$

$\boxed{\text {Bài toán 2.}}$ Cho phương trình ${x^2} - 2\left( {m + 3} \right)x + m - 1 = 0$ ($x$ là ẩn)

a) Giải phương trình khi $m = 1$.

b) Tìm $m$ để phương trình trên có một nghiệm bằng 2 và tìm nghiệm kia.

$\boxed{\text {Bài toán 3. }}$ Cho phương trình: ${x^2} - \left( {m - 3} \right)x + m - 5 = 0$ ($x$ là ẩn số)

a) Chứng minh: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$.

b) Tìm $m$ để phương trình trên có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ thỏa điều kiện: $x_1^2 - 4{x_1} + x_2^2 - 4{x_2} = 11$

$\boxed{\text {Bài toán 4.}}$ Cho phương trình: ${x^2} + \left( {m - 2} \right)x - m = 0$ ($x$ là ẩn số)

a) Chứng minh: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$.

b) Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm $x_1$, $x_2$ thỏa ${x_1} - {x_2} =  - 2$

$\boxed{\text {Bài toán 5.}}$ Cho phương trình: ${x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + 4m + 2 = 0$ ($x$ là ẩn số).

a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của $m$.

b) Tìm $m$ sao cho phương trình có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ thỏa hệ thức $2{x_1} - 3{x_2} = 5$

$\boxed{\text {Bài toán 6.}}$ Cho phương trình: ${x^2} - mx - 1 = 0$ ($x$ là ẩn số)

a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu.

b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ thỏa $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3$

$\boxed{\text {Bài toán 7.}}$ Cho phương trình: ${x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m - 2 = 0$ ($x$ là ẩn số)

a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$.

b) Gọi $x_1$, $x_2$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm $m$ để biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2 - 6{x_1}{x_2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

$\boxed{\text {Bài toán 8.}}$ Cho phương trình: ${x^2} - \left( {3m - 2} \right)x - 3m = 0$ ($x$ là ẩn số)

a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$.

b) Gọi $x_1$, $x_2$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm $m$ để biểu thức $A = x_1^2{x_2} + x_2^2{x_1}$ đạt giá trị lớn nhất.

$\boxed{\text {Bài toán 9.}}$ Cho phương trình: ${x^2} + \left( {m + 2} \right)x + m + 1 = 0$ ($x$ là ẩn số)

a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của $m$.

b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm $x_1$, $x_2$ của phương trình không phụ thuộc vào $m$.

$\boxed{\text {Bài toán 10.}}$ Cho phương trình: ${x^2} - 2x + m - 3 = 0$ ($x$ là ẩn số)

a) Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.

b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt

c) Tìm $m$ để phương trình có nghiệm kép.

$\boxed{\text {Bài toán 11.}}$ Cho phương trình: ${x^2} - 2mx - 3{m^2} + 2m - 1 = 0$ ($x$ là ẩn số)

a) Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ với mọi giá trị của $m$.

b) Tìm giá trị của $m$ để biểu thức $A = \dfrac{{ - 5}}{{x_1^2 + x_2^2 + 3{x_1}{x_2} + 4}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

$\boxed{\text {Bài toán 12.}}$ Cho phương trình: ${x^2} - 2mx + 2m - 2 = 0$ ($x$ là ẩn số)

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ với mọi giá trị của $m$.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = \dfrac{{6\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{x_1^2 + x_2^2 + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}$

$\boxed{\text {Bài toán 13.}}$ Giải phương trình bậc hai bằng cách nhẩm nghiệm:

a) ${x^2} - \left( {\sqrt 2  + 1} \right)x + \sqrt 2  = 0$

b) ${x^2} - \left( {\sqrt 3  - 1} \right)x - \sqrt 3  = 0$

$\boxed{\text {Bài toán 14.}}$

a) Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 5 và tích bằng $-$24.

b) Tìm hai số dương biết hiệu của chúng bằng 12 và tích của chúng bằng 64.