[HÌNH HỌC 9] ĐƯỜNG THẲNG EULER

$\boxed{\text {Bài toán: }}$

Cho $O$, $H$, $G$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm của $\triangle ABC$. Chứng minh rằng $O$, $H$, $G$ cùng thuộc một đường thẳng (được gọi là đường thẳng Euler của $\triangle ABC$) và $GH = 2GO$.

Giải

Chứng minh.

Cách 1:

Vẽ $OM$ $\bot$ $BC$, $ON$ $\bot$ $AC$.

Ta có: $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $AC$ (đ/lí đường kính vuông góc dây cung).

$ \Rightarrow $ $MN$ là đường trung bình của $\triangle ABC$.

$ \Rightarrow $ $MN \parallel AB$.

$ \Rightarrow $ $\widehat {NMC} = \widehat {ABC}$, $\widehat {MNC} = \widehat {BAC}$.

$\widehat {OMN} + \widehat {NMC} = {90^\circ}$, $\widehat {HAB} + \widehat {ABC} = {90^\circ}$, $\widehat {NMC} = \widehat {ABC}$.

$ \Rightarrow $ $\widehat {OMN} = \widehat {HAB}$.

$\widehat {ONM} + \widehat {MNC} = {90^\circ}$, $\widehat {ABH} + \widehat {BAC} = {90^\circ}$, $\widehat {MNC} = \widehat {BAC}$.

$ \Rightarrow $ $\widehat {ONM} = \widehat {ABH}$.

$\triangle OMN$ và $\triangle HAB$ có $\widehat {OMN} = \widehat {HAB}$ (cmt), $\widehat {ONM} = \widehat {ABH}$ (cmt).

$ \Rightarrow $ $\triangle OMN$ $\sim$ $\triangle HAB$ (g – g).

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{OM}}{{HA}} = \dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{1}{2}$.

$ \Rightarrow $ $OM = \dfrac{1}{2}HA$.

Gọi $G’$ là giao điểm của $AM$ và $OH$.

$OM \parallel AH$ $ \Rightarrow $ $\dfrac{{G'M}}{{G'A}} = \dfrac{{OM}}{{HA}} = \dfrac{1}{2}$.

$ \Rightarrow $ $G’$ là trọng tâm của $\triangle ABC$.

$ \Rightarrow $ $G’$ $ \equiv $ $G$.

Vậy $H$, $G$, $O$ thẳng hàng và $\dfrac{{GO}}{{GH}} = \dfrac{{OM}}{{HA}} = \dfrac{1}{2}$.

Cách 2:

Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Kẻ đường kính $AD$.

Ta có $\widehat {ACD} = {90^\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

$ \Rightarrow $ $CD$ $\bot$ $AC$.

Mà $BH$ $\bot$ $AC$.

$\Rightarrow $ $BH$ $\parallel$ $CD$.

Tương tự, $CH \parallel BD$.

$BHCD$ là hình bình hành (hai cặp cạnh đối song song).

Mà $M$ là trung điểm của $BC$.

$ \Rightarrow $ $M$ là trung điểm $HD$.

$\triangle ABC$ có $AM$ là đường trung tuyến ($M$ là trung điểm $BC$), $G$ là trọng tâm.

$\Rightarrow$ $G$ $\in$ $AM$ và $AG = \dfrac{2}{3}AM$.

$\triangle AHD$ có $AM$ là đường trung tuyến ($M$ là trung điểm $HD$), $G$ $\in$ $AM$ và $AG = \dfrac{2}{3}AM$.

$\Rightarrow$ $G$ là trọng tâm của $\triangle AHD$.

Mà $HO$ là đường trung tuyến của $\triangle AHD$.

$\Rightarrow$ $G$ $\in$ $HO$ và $GH = 2GO$.

 Vậy $O$, $H$, $G$ cùng thuộc một đường thẳng và $GH = 2GO$.

* Lưu ý: Do không soạn được kí hiệu đồng dạng như trong SGK của VN nên tôi thay bằng kí hiệu đồng dạng "$\sim$" trong bài viết.