Processing math: 100%

Blog TOÁN-TIN của Thầy CHÂU HỮU SƠN

Tui là Giáo viên Chuyên Toán Trung học. Hãy xem thêm:
Vườn Toán học
Cảm ơn các bạn đã ghé thăm blog!

Wednesday, June 8, 2016

On 7:27 AM by MATH CHANNEL in ,    7 comments
\boxed{\text {Bài toán: }}
Cho O, H, G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm của \triangleABC. Chứng minh rằng O, H, G cùng thuộc một đường thẳng (được gọi là đường thẳng Euler của \triangleABC) và GH = 2GO.
Giải
Chứng minh.
Cách 1:
Vẽ OM \bot BC, ON \bot AC
Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC (đ/lí đường kính vuông góc dây cung)
\Rightarrow  MN là đường trung bình của \triangleABC
\Rightarrow  MN // AB
\Rightarrow  \widehat {NMC} = \widehat {ABC}\widehat {MNC} = \widehat {BAC}
\widehat {OMN} + \widehat {NMC} = {90^0}\widehat {HAB} + \widehat {ABC} = {90^0}\widehat {NMC} = \widehat {ABC}
\Rightarrow  \widehat {OMN} = \widehat {HAB}
\widehat {ONM} + \widehat {MNC} = {90^0}\widehat {ABH} + \widehat {BAC} = {90^0}\widehat {MNC} = \widehat {BAC}
\Rightarrow  \widehat {ONM} = \widehat {ABH}
\triangleOMN và \triangleHAB có: \widehat {OMN} = \widehat {HAB} (cmt), \widehat {ONM} = \widehat {ABH} (cmt)
\Rightarrow \triangleOMN \sim \triangleHAB (g – g)
\Rightarrow  \dfrac{{OM}}{{HA}} = \dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{1}{2}
\Rightarrow  OM = \dfrac{1}{2}HA
Gọi G’ là giao điểm của AM và OH
OM // AH  \Rightarrow  \dfrac{{G'M}}{{G'A}} = \dfrac{{OM}}{{HA}} = \dfrac{1}{2}
\Rightarrow  G’ là trọng tâm của \triangleABC
\Rightarrow  G’  \equiv  G
Vậy H, G, O thẳng hàng và \dfrac{{GO}}{{GH}} = \dfrac{{OM}}{{HA}} = \dfrac{1}{2}

Cách 2:
Gọi M là trung điểm BC. Kẻ đường kính AD.
Ta có: \widehat {ACD} = {90^0} (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\Rightarrow  CD \bot AC
mà BH \bot AC
\Rightarrow  BH // CD
Tương tự, CH // BD
BHCD là hình bình hành (hai cặp cạnh đối song song)
mà M là trung điểm của BC
\Rightarrow  M là trung điểm HD
\triangleABC có AM là đường trung tuyến (M là trung điểm BC), G là trọng tâm
\Rightarrow  G \in AM và AG = \dfrac{2}{3}AM
\triangleAHD có AM là đường trung tuyến (M là trung điểm HD), G \in AM và AG = \dfrac{2}{3}AM
\Rightarrow  G là trọng tâm của \triangleAHD
mà HO là đường trung tuyến của \triangleAHD
\Rightarrow  G \in HO và GH = 2GO
 Vậy O, H, G cùng thuộc một đường thẳng và GH = 2GO

* Lưu ý: Do không soạn được kí hiệu đồng dạng như trong SGK của VN nên tôi thay bằng kí hiệu đồng dạng "\sim" trong bài viết.

7 comments:

  1. em tìm mãi không biết cách chứng minh, em rất yếu chứng minh thăng hàng, cảm ơn tác giả nhiều ạ.

    ReplyDelete
  2. Bài toán này rất hay, các bạn trẻ nên tham khảo nhé

    ReplyDelete
  3. muốn cm 2 tg đồng dạng (cách 1),tôi nghĩ chỉ cần cm 4 góc ở trên có các căp cạnh song song.

    ReplyDelete