[HÌNH HỌC 9] CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

$\boxed{\text {Bài toán 1: }}$ Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$, $AD$ là đường phân giác góc $A$. Biết $BH = 9$ cm, $AB = 15$ cm.

a) Tính độ dài $AH$, $AC$, $BC$.

b) Tính $\cos$$B$, $\tan\widehat {CAH}$.

c) Tính độ dài $BD$.

d) Qua $D$ kẻ đường thẳng vuông góc với $BC$ cắt cạnh $AC$ tại $E$. Chứng minh $BD = DE$. Suy ra $\sin\widehat{BED}$.

$\boxed{\text {Bài toán 2: }}$ Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$, $AD$ là trung tuyến. Biết $BC = 25$ cm, $AB = 20$ cm.

a) Tính độ dài $BH$, $AH$, $AC$.

b) Tính $\sin B$, $\cot C$.

c) Kẻ đường thẳng đi qua $H$ và song song với $AD$, đường thẳng này cắt cạnh $AC$ tại $I$ và cắt đường thẳng $AB$ tại $K$. Chứng minh $AK \cdot AC = AB \cdot AI$.

d) Chứng minh $HI + HK = 2AD$.

$\boxed{\text {Bài toán 3: }}$ Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$. Biết $AC = 16$ cm, $AB = 12$ cm.

a) Tính độ dài $BC$, $AH$, $CH$.

b) Tính $\sin B$, $\tan C$, $\cot \widehat {BAH}$.

c) Tia phân giác góc $B$ cắt $AC$ tại $D$. Tính độ dài $BD$.
d) Chứng minh $\tan \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2} = \dfrac{AC}{AB + BC}$.

$\boxed{\text {Bài toán 4: }}$ Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$. Biết $AC = 20$ cm, $AB = 15$ cm.

a) Tính độ dài $BC$, $AH$.

b) Gọi $M$ là trung điểm của $HC$. Tính $\sin B$, $\tan \widehat {HAM}$.

c) Vẽ tia phân giác $AD$ của $\triangle AHB$ ($D$ $\in$ $BH$). Chứng minh $\triangle ACD$ cân.

d) Gọi $I$ là trung điểm của $AH$, đường thẳng $BI$ cắt $AM$, $AC$ lần lượt tại $E$, $F$. Chứng minh $BE \cdot BF = BH \cdot BC$.

$\boxed{\text {Bài toán 5: }}$ Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ chia cạnh huyền $BC$ thành 2 đoạn $BH = 9$ cm, $HC = 16$ cm.

a) Tính độ dài $AH$ và $\tan C$.

b) Từ $H$ vẽ $HD$, $HE$ lần lượt vuông góc với $AB$, $AC$ ($D$ $\in$ $AB$, $E$ $\in$ $AC$). Chứng minh $ADHE$ là hình chữ nhật và $AB \cdot AD = AC \cdot AE$.

c) Tia $ED$ cắt $AH$ tại $O$ và cắt tia $CB$ tại $F$. Tính tỉ số $\dfrac{FD}{FC}$.

d) Đường thẳng vuông góc với $DE$ vẽ từ $D$ cắt $BC$ tại $M$. Chứng minh $AM$ $\bot$ $CO$.

$\boxed{\text {Bài toán 6: }}$ Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 15$ cm, $AC = 20$ cm, đường cao $AH$. Gọi $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của $AH$ và $BH$.

a) Tính độ dài $BC$, $AH$, $CH$.

b) Tính $\sin B$, $\tan \widehat{ECH}$. Từ đó tính số đo góc $ECH$ (làm tròn đến độ).

c) $CE$ cắt $AF$, $AB$ lần lượt tại $I$ và $K$, $EF$ cắt $AC$ tại $N$. Chứng minh tam giác $CIB$ đồng dạng tam giác $CHK$.

d) Tính độ dài $EN$.

$\boxed{\text {Bài toán 7: }}$ Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, trung tuyến $AM$. Biết $AB = 15$ cm, $AC = 20$ cm.

a) Tính độ dài $BC$, $AM$.

b) Tính $\sin \widehat {AMH}$, số đo $\widehat {HAM}$ (làm tròn đến độ).

c) Đường thẳng vuông góc với $AM$ vẽ từ $C$ cắt tia $AH$ tại $F$. Chứng minh rằng tia $FM$ đi qua trung điểm $N$ của $AC$.

d) Gọi $I$ là trực tâm của $\triangle ABM$. Chứng minh rằng điểm đối xứng với điểm $B$ qua $I$ nằm trên $AC$.

$\boxed{\text {Bài toán 8: }}$ Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 12$ cm, $BC = 5$ cm. Vẽ $BH$ vuông góc với đường chéo $AC$ ($H$ $\in$ $AC$).

a) Tính độ dài $AC$, $BH$.

b) Tính $\sin \widehat {HBC}$, $\dfrac{{\tan \widehat {ABH}}}{{\cot \widehat {ACB}}}$.

c) Gọi $M$, $N$, $K$ lần lượt là trung điểm của $AH$, $AB$, $CD$. $BK$ cắt $AC$ tại $I$. Chứng minh đường thẳng $DI$ đi qua trung điểm $F$ của $BC$.

d) Chứng minh $\widehat {BMK} = {90^\circ}$.

Read More

[Arithmetic 6] The number of elements in a set. Subset

I. THE NUMBER OF ELEMENTS IN A SET

$A = \left\{ 2 \right\}$ has 1 element.

$B = \left\{ {a,b} \right\}$ has 2 elements.

$C = \left\{ {1;2;3; \ldots ;100} \right\}$ has 100 elements.

$\mathbb{N} = \left\{ {0;1;2;3; \ldots } \right\}$ has infinite elements.

* Note: The set which has no elements is called the emty set and is denoted by $\large\varnothing$.

   Example: $M=\left\{ x\in\mathbb{N} \big| x + 5 = 2 \right\} = \large\varnothing$.

* Comment: A set may have one element, many elements, infinite elements, and may be no elements.

II. SUBSET

If every element in set $E$ belongs to set $F$, then set $E$ is called the subset of set $F$, and is denoted by $E$ $\subset$ $F$ (hay $F$ $\supset$ $E$).

Example 1: Given $E = \left\{ {a,b} \right\}$, $F = \left\{ {a,b,c,d} \right\}$.

            We have $E$ $\subset$ $F$ (or $F$ $\supset$ $E$).

Example 2: 

        $M = \left\{ {1;5} \right\}$,

        $A = \left\{ {1;3;5} \right\}$,

        $B = \left\{ {5;1;3} \right\}$.

We have $M$ $\subset$ $A$, $M$ $\subset$ $B$

              $A$ $\subset$ $B$, $B$ $\subset$ $A$.

* Note: $A$ $\subset$ $B$, $B$ $\subset$ $A$ hence $A = B$.

Read More

[SỐ HỌC 6] SỐ PHẦN TỬ CỦA MỘT TẬP HỢP. TẬP HỢP CON

I. SỐ PHẦN TỬ CỦA MỘT TẬP HỢP
$A = \left\{ 2 \right\}$ có 1 phần tử.

$B = \left\{ {a,b} \right\}$ có 2 phần tử.

$C = \left\{ {1;2;3; \ldots ;100} \right\}$ có 100 phần tử.

$\mathbb{N} = \left\{ {0;1;2;3; \ldots } \right\}$ có vô số phần tử.

* Chú ý: Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập hợp rỗng, kí hiệu: $\large\varnothing$.

   Ví dụ: $M=\left\{ x\in\mathbb{N} \big| x + 5 = 2 \right\} = \large\varnothing$.

* Nhận xét: Một tập hợp có thể có một phần tử, có nhiều phần tử, có vô số phần tử, cũng có thể không có phần tử nào.

II. TẬP HỢP CON

Nếu mọi phần tử của tập hợp $E$ đều thuộc tập hợp $F$ thì tập hợp $E$ gọi là tập hợp con của tập hợp $F$, kí hiệu: $E$ $\subset$ $F$ (hay $F$ $\supset$ $E$).

Ví dụ 1: Cho $E = \left\{ {a,b} \right\}$, $F = \left\{ {a,b,c,d} \right\}$.

            Ta có: $E$ $\subset$ $F$ (hay $F$ $\supset$ $E$).

Ví dụ 2: 

        $M = \left\{ {1;5} \right\}$; $A = \left\{ {1;3;5} \right\}$; $B = \left\{ {5;1;3} \right\}$.

Ta có: $M$ $\subset$ $A$, $M$ $\subset$ $B$.

          $A$ $\subset$ $B$, $B$ $\subset$ $A$.

* Chú ý: $A$ $\subset$ $B$, $B$ $\subset$ $A$ suy ra $A = B$.

Read More

[Arithmetic 6] Set of natural numbers

I. SET $\mathbb{N}$ AND SET $\mathbb{N}^*$

_ The set of natural numbers is denoted by $\mathbb{N}$.

$\mathbb{N}$ = {0; 1; 2; 3; 4; 5; ...}

_ Every naturral number is represented by a point on the number ray. The point representing the natural number $a$ on the number ray is called point $a$.

_ The set of non-zero natural number is denoted by $\mathbb{N}^*$.

$\mathbb{N}^*$ = $\left\{1; 2; 3; 4; 5; ...\right\}$ or $\mathbb{N}^*$ = $\left\{ x\in\mathbb{N} / x \ne 0 \right\}$

II. THE ORDER IN THE NATURAL NUMBER SET

_ Of two point on a number ray (number ray is horizontal with the direction of the arrow going from left to right), left point represents the smaller number.

_ Write $a \le b$ to show that $a < b$ or $a = b$. And write $a \ge b$ to show that $a > b$ or $a = b$.

_ If $a < b$ và $b < c$ then $a < c$.

_ Two consecutive natural numbers have a difference by one unit.

_ Number $0$ is the smallest natural number. There is no greatest natural number.

_ The set of natural numbers has an infinite number of elements.

III. WRITING NATURAL NUMBERS

_ A natural number can have one, two, three, etc digit(s).

Example:  Number $5$ has one digit.

                Number $1\,005$ has four digits.

_ In the decimal number system, ten units in one place make one unit in the preceding place.

Example: $555 = 5 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 5$;

           $\overline {ab}  = a \cdot 10 + b$  ($a$ $\ne$ $0$);

           $\overline {abc}  = a \cdot 100 + b \cdot 10 + c$ ($a$ $\ne$ $0$).

Read More

[SỐ HỌC 6] TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN

I. TẬP HỢP $\mathbb{N}$ VÀ TẬP HỢP $\mathbb{N}^*$

_ Tập hợp các số tự nhiên, kí hiệu $\mathbb{N}$.

$\mathbb{N}$ = {0; 1; 2; 3; 4; 5; ...}

_ Mỗi số tự nhiên được biểu diễn bởi 1 điểm trên tia số. Điểm biểu diễn số tự nhiên $a$ trên tia số gọi là điểm $a$.

_ Tập hợp các số tự nhiên khác $0$, kí hiệu $\mathbb{N}^*$.

$\mathbb{N}^*$ = $\left\{1; 2; 3; 4; 5; ...\right\}$ hay $\mathbb{N}^*$ = $\left\{ x\in\mathbb{N} / x \ne 0 \right\}$

II. THỨ TỰ TRONG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN

_ Trong 2 điểm trên tia số (tia số nằm ngang, chiều mũi tên đi từ trái sang phải) điểm ở bên trái biểu diễn số nhỏ hơn.

_ Viết $a$ $\le$ $b$ tức là $a < b$ hay $a = b$. Viết $a \ge b$ tức là $a > b$ hay $a = b$.

_ Nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$.

_ Hai số tự nhiên liên tiếp hơn kém nhau $1$ đơn vị.

_ Số $0$ là số tự nhiên nhỏ nhất, không có số tự nhiên lớn nhất.

_ Tập hợp các số tự nhiên có vô số phần tử.

III. GHI SỐ TỰ NHIÊN
_ Một số tự nhiên có thể có một, hai, ba,... hay nhiều chữ số.

Ví dụ:  Số $5$ có $1$ chữ số

            Số $1\,005$ có $4$ chữ số

_ Trong hệ thập phân, cứ $10$ đơn vị ở $1$ hàng làm thành $1$ đơn vị ở hàng liền trước nó.

Ví dụ: $555 = 5 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 5$;

           $\overline {ab}  = a \cdot 10 + b$  ($a$ $\ne$ $0$);

           $\overline {abc}  = a \cdot 100 + b \cdot 10 + c$ ($a$ $\ne$ $0$).

Read More

[Arithmetic 6] Sets. Elements of a set

I. EXAMPLES

_ Set of students of class 6A.

_ Set of letters $a$, $b$, $c$.

_ Set of one digit even numbers.

…………

II. WRITING METHOD. NOTATIONS

Sets are usually named with capital letters.

Example: Set of one digit even numbers.

$A = \left\{ {0;2;4;6;8} \right\}$.

Set of words cam and chanh.

$B = \left\{ \text{cam}, \;\text{chanh} \right\}$.

$0$; $2$; $4$; $6$; $8$  are elements of set $A$;

$\text{cam}$, $\text{chanh}$ are elements of set $B$.

Notations: $2$ $\in$ $A$ ($2$ belongs to $A$), ổi $\notin$ $B$ (ổi does not belong to $B$).

►Note:

_ Elements of a set are written in two braces { } which are separated by “;” (if its elements are numbers) or by “,”.

_ Each element is listed once, with arbitrary oder of listing.

To write a set, we usually use two ways:

_ Listing elements of the set.

_ Showing characteristic properties of the set.

Example: Write down the set $A$ of natural numbers greater than $8$ and less than $14$ by two ways, the fill each square with a suitable notation.

Way 1: $A = \left\{ {9;10;11;12;13} \right\}$.

Way 2: $A=\left\{ x\in\mathbb{N} / 8<x<14 \right\}$.

$12$ $\boxed{\in}$ $A$, $16$ $\boxed{\notin}$ $A$

The set is illustracted by a Venn diagram.

Read More

[SỐ HỌC 6] TOÁN NÂNG CAO VỀ SỐ TỰ NHIÊN

Bài toán 1. Cần dùng bao nhiêu chữ số để đánh số các trang của một quyển sách có 475 trang.

Bài toán 2. Để đánh số các trang của một quyển sách người ta phải dùng tất cả $900$ chữ số, hỏi quyển sách có bao nhiêu trang?

Bài toán 3. Phải dùng bao nhiêu chữ số $3$ để viết tất cả các số tự nhiên từ $1$ đến $99$?

Bài toán 4. Người ta viết liền nhau dãy các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ $1$. Hỏi chữ số thứ $629$ là chữ số nào?

Bài toán 5. Người ta viết liền nhau dãy các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ $1$. Hỏi chữ số $4$ của số $243$ là chữ số thứ bao nhiêu?

Bài toán 6. Chứng tỏ rằng trong $\mathbb{N}$, tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu bao giờ cũng là một số chẵn.

Bài toán 7. Một con chó đuổi một con thỏ cách nó $150$ dm. Một bước nhảy của chó dài $9$ dm, một bước nhảy của thỏ dài $7$ dm và khi chó nhảy một bước thì thỏ cũng nhảy một bước. Hỏi chó phải nhảy bao nhiêu bước mới đuổi kịp thỏ?

Bài toán 8. Ngày 01-05-2005 rơi vào ngày chủ nhật. Hỏi ngày 01-05-2017 rơi vào thứ mấy?

Bài toán 9. Chia $166$ cho một số ta được số dư là $5$. Chia $51$ cho số đó ta cũng được số dư là $5$. Tìm số chia.

Bài toán 10. Trong một phép chia có số bị chia là $235$ số dư là $14$. Tìm số chia và thương.

Bài toán 11. Chia một số cho $60$ thì được số dư là $37$. Nếu chia số đó cho $15$ thì số dư là bao nhiêu? Thương thay đổi thế nào?

Bài toán 12. Lan và Cúc có tất cả $80$ quyển sách. Sau khi Lan cho Cúc $3$ quyển thì Lan còn hơn Cúc $10$ quyển sách. Hỏi lúc đầu mỗi người có bao nhiêu quyển sách?

Bài toán 13. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là $130$ m. Nếu bớt chiều dài đi $4$ m và tăng chiều rộng thêm $5$ m thì chiều dài vẫn hơn chiều rộng là $6$ m. Tính diện tích của mảnh đất lúc ban đầu.

Bài toán 14. Tổng của hai số là $2\,756$. Nếu thêm chữ số $2$ vào bên trái số nhỏ thì được số lớn. Biết số nhỏ là một số có $3$ chữ số, tìm hai số đó.

Bài toán 15. Tổng hai chữ số của một số có hai chữ số bằng $8$. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được một số mới nhỏ hơn số cũ là $18$. Tìm số đó.

Bài toán 16. Một phép trừ có tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu bằng $1\,890$. Hiệu lớn hơn số trừ là $633$. Tìm số bị trừ và số trừ.

Bài toán 17. Quãng đường AB dài $110$ km. Lúc $7$ giờ, người thứ nhất đi từ A để đến B, người thứ hai đi từ B để đến A. Họ gặp nhau lúc $9$ giờ. Biết vận tốc người thứ nhất lớn hơn vận tốc người thứ hai là $5$ km/h. Tính vận tốc mỗi người.

Bài toán 18. Một phép chia có tổng số chia và số bị chia bằng $160$. Biết rằng thương là $3$ và số dư là $12$. Tìm số bị chia và số chia.

Bài toán 19. Đường sắt từ Hà Nội qua Nha Trang tới TP Hồ Chí Minh dài $1\,726$ km. Biết $3$ lần khoảng cách Nha Trang – TP Hồ Chí Minh cộng thêm $82$ km nữa thì bằng khoảng cách Nha Trang – Hà Nội. Hỏi đường sắt từ Hà Nội tới Nha Trang dài bao nhiêu?

Bài toán 20. Hiệu của hai số là $283$. Nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là $5$ và dư $3$. Tìm hai số đó.

Bài toán 21. Thương của hai số là $15$. Số lớn hơn số nhỏ là $532$. Tìm số bị chia và số chia.

Bài toán 22. Hiện nay bà hơn cháu $52$ tuổi. Sau $14$ năm nữa thì bà gấp $3$ lần tuổi cháu. Tính tuổi bà, tuổi cháu hiện nay.

Bài toán 23. Tôi có một tờ giấy to và xé nó ra làm $9$ mảnh. Sau đó, lấy một số mảnh, xé mỗi mảnh thành $9$ mảnh nhỏ, rồi trộn vào với các mảnh cũ. Tôi lại lấy một số mảnh trong đống giấy ấy, xé mỗi mảnh làm $9$ mảnh rồi lại trộn vào với các mảnh cũ và cứ thế tiếp tục. Lúc sau tôi dừng lại và nhờ bạn tôi đếm số mảnh giấy có được, anh nói: $1\,968$. Hãy chứng minh rằng anh ấy đếm... sai!

Bài toán 24. Hai người bộ hành nghỉ chân bên vệ đường, giở gói bánh bao ra ăn. Một người có năm chiếc, một người có ba chiếc. Họ cắt tàu lá chuối trải lên bãi cỏ, bỏ chung bánh vào cùng ăn. Bỗng có một người lái buôn vừa đi tới. Hai người mời người lái buôn cùng ăn với mình. Đang đói và thấy hai người mời niềm nở, khách không từ chối. Ba người cùng lần lượt ăn hết tám cái bánh. Cứ mỗi cái bánh được bẻ ra ba phần. Họ ăn xong cái này lại cắt tiếp cái khác. Ăn xong, người lái buôn vội đi, xin gởi lại tám đồng bạc. Hai người có bánh đem tiền ra chia. Người có năm cái bánh nhất quyết phải lấy năm đồng. Người có ba chiếc bánh đòi phải chia đôi số tiền. Hai người cãi nhau, bất phân thắng bại, đành đưa nhau đến cho quan sở tại phân xử.

    Nếu em là quan sở tại em sẽ chia số tiền trên cho hai người như thế nào?

Bài toán 25. Chứng tỏ $\left( {a + {a^2} + {a^3} + {a^4} +  \ldots  + {a^{2n}}} \right)\; \vdots \;\left( {a + 1} \right)$ với $a$, $n$ $\in$ $\mathbb{N}$

Bài toán 26. Chứng tỏ $H = {5^1} + {5^2} + {5^3} +  \ldots  + {5^{60}}$ chia hết cho $31$.

Bài toán 27. Tìm số dư khi chia $A = 4 + {4^2} + {4^3} +  \ldots  + {4^{16}} + {4^{17}}$ cho $17$.

Bài toán 28. So sánh $A = 2 + {2^2} + {2^3} +  \ldots  + {2^{59}} + {2^{60}}$ và $B = {2^{61}}$

Bài toán 29. Có số tự nhiên nào chia cho $12$ dư $9$, chia cho $15$ dư $1$ không?

Bài toán 30. Điền vào dấu * các chữ số thích hợp để được phép tính đúng:
                                  * * * *
                              $\times$          $9$
                              -------------
                                $2$ $1$ $1$ $8$ *

Bài toán 31. Tìm hai số tự nhiên chia hết cho $9$ biết tổng bằng $\overline {*730} $ và hiệu của chúng bằng $\overline {*638}$.

Bài toán 32. Tìm số tự nhiên $n$, biết:
1) $42\; \vdots \;2n$
2) $14\; \vdots \;\left( {2n + 3} \right)$
3) $\left( {4n + 5} \right)\; \vdots \;n$
4) $\left( {n + 5} \right)\; \vdots \;\left( {n + 1} \right)$
5) $\left( {3n + 4} \right)\; \vdots \;\left( {n - 1} \right)$

Bài toán 33. Hương đến quầy văn phòng phẩm mua $3$ bút chì, $6$ bút bi và $9$ quyển vở (giá mỗi loại là số tự nhiên). Hương đưa chị bán hàng $24$ tờ giấy bạc loại $20\,000$ đồng. Chị bán hàng thối lại $5\,000$ đồng. Hương nhận tiền và nói “Chị xem lại, chị đã tính nhầm rồi!” và đúng là chị bán hàng đã tính nhầm. Hương dựa vào đâu mà phát hiện nhanh quá vậy?

Bài toán 34. Chứng tỏ rằng các số sau là hợp số:
1) $191 \cdot 1912 \cdot 19123 \cdot 191234 + 1$
2) $751 \cdot 751752 \cdot 751752753 - 11$
3) ${2^6} \cdot {6^{101}} + 1$
4) ${10^{100}} - 7$
5) $\underbrace {111 \ldots 11}_{{\text{2007 chữ số 1}}}$
6) $\underbrace {111 \ldots 11}_{{\text{2006 chữ số 1}}}$

Bài toán 35. Tính độ dài cạnh của một hình vuông, biết diện tích của nó bằng $1\,794$ $m^2$.

Bài toán 36. Mỗi số sau có bao nhiêu ước: $12\,345\,432\,100\,000$; $4\,225\,000\,000\,000$.

Bài toán 37. Chứng minh các số sau đây nguyên tố cùng nhau:

a) Hai số tự nhiên liên tiếp.

b) Hai số lẻ liên tiếp.

c) Số $3n + 1$ và $4n + 1$ ($n \in$ $\mathbb{N}$)

Bài toán 38. Cho $a$ và $b$ là hai số nguyên tố cùng nhau và $a > b$. Chứng minh rằng ƯCLN($a$, $a + b$) = $1$.

Bài toán 39. Khu vườn hình chữ nhật có chiều dài $300$ m, rộng $80$ m. Người ta trồng cây xung quanh vườn sao cho mỗi góc đều trồng $1$ cây và khoảng cách hai cây liên tiếp bằng nhau và lớn nhất. Tính số cây phải trồng.

Bài toán 40. Một miếng bìa hình chữ nhật có chiều dài là $162$ cm và chiều rộng $108$ cm. Người ta tính cắt hết miếng bìa thành những hình vuông bằng nhau (độ dài cạnh là số tự nhiên). Hỏi cạnh của hình vuông lớn nhất là bao nhiêu và miếng bìa được cắt thành bao nhiêu hình vuông như thế?

Bài toán 41. Một căn phòng hình chữ nhật có chiều dài $7$ m, chiều rộng $5$ m được lát gạch hình vuông. Hàng cuối cùng sát chân hai bức tường liền nhau không thể để nguyên kích thước của viên gạch mà phải cắt xén bớt đi vì chiều dài còn dư ra $10$ cm, chiều rộng còn dư ra $20$ cm. Tính độ dài mỗi cạnh của viên gạch.

Bài toán 42. Khối 6, 7, 8 của một trường học lần lượt có $300$, $276$, $252$ học sinh. Khi chào cờ, học sinh của $3$ khối xếp số hàng dọc như nhau.

a) Có thể xếp được nhiều nhất bao nhiêu hàng dọc mà mỗi khối không lẻ hàng?

b) Lúc đó mỗi khối có bao nhiêu hàng ngang?

Bài toán 43. Có 3 chồng sách là Văn, Âm nhạc, Toán và mỗi chồng sách chỉ gồm một loại sách. Mỗi cuốn sách Văn dày $15$ mm, mỗi cuốn Âm nhạc dày $6$ mm, mỗi cuốn Toán dày $8$ mm. Người ta xếp cho $3$ chồng sách cao bằng nhau. Tính chiều cao nhỏ nhất của ba chồng sách đó.

Bài toán 44. Số học sinh khối 6 của một trường trong khoảng từ $500$ đến $600$ học sinh. Cho biết nếu học sinh xếp hàng $8$ thì dư $7$, hàng $12$ dư $11$, hàng $15$ dư $14$ học sinh. Tính số học sinh đó.

Bài toán 45. Tại một bến xe, cứ $10$ phút lại có một chuyến taxi rời bến, cứ $12$ phút lại có một chuyến xe buýt rời bến. Lúc $6$ giờ, một xe taxi và một xe buýt cùng rời bến một lúc. Hỏi lúc mấy giờ lại có một taxi và một xe buýt cùng rời bến lần tiếp theo?

Bài toán 46. Hai anh em cùng đo khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng bước chân. Mỗi bước của anh dài $54$ cm, của em dài $42$ cm. Họ cùng bước đi từ A và khi bước chân cuối cùng vừa đến B thì có đúng $50$ lần bước chân của hai anh em trùng nhau. Tính khoảng cách AB.

Bài toán 47. Một bà mang một rổ trứng ra chợ. Dọc đường gặp một bà khác vô ý đụng phải, rổ trứng rơi xuống đất vỡ không còn một quả. Bà kia tỏ ý muốn đền lại số trứng bèn hỏi:

- Bà cho biết trong rổ có bao nhiêu trứng?

Bà có rổ trứng trả lời:

- Tôi chỉ nhớ rằng số trứng đó chia cho $2$, cho $3$, cho $4$, cho $5$, cho $6$ lần nào cũng còn thừa một quả nhưng chia cho $7$ thì không thừa quả nào. À, mà số trứng chưa đến $400$ quả.

Tính xem trong rổ có bao nhiêu trứng?

Read More

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2016$-$2017

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2016$-$2017

Bài 1. Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) $x^2 - 2\sqrt 5 x + 5 = 0$

b) $4x^4 - 5x^2 - 9 = 0$

c) $\begin{cases}2x + 5y = -1\\3x - 2y = 8\end{cases}$

d) $x\left( {x + 3} \right) = 15 - \left( {3x - 1} \right)$

Bài 2.

a) Vẽ đồ thị $(P)$ của hàm số $y =  - {\dfrac{x}{4}^2}$ và đường thẳng $(D)$: $y = \dfrac{x}{2} - 2$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ các giao điểm của $(P)$ và $(D)$ ở câu trên bằng phép tính.

Bài 3.

a) Thu gọn biểu thức $A = \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{1 + \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } }} + \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{1 - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } }}$.

b) Ông Sáu gửi một số tiền vào ngân hàng theo mức lãi suất tiết kiệm với kỳ hạn $1$ năm là $6\%$. Tuy nhiên, sau thời hạn một năm ông Sáu không đến nhận tiền lãi mà để thêm một năm nữa mới lãnh. Khi đó, số tiền lãi có được sau năm đầu tiên sẽ được ngân hàng cộng dồn vào số tiền gửi ban đầu để thành số tiền gửi cho năm kế tiếp với mức lãi suất cũ. Sau $2$ năm ông Sáu nhận được số tiền là $112\,360\,000$ đồng (kể cả gốc lẫn lãi). Hỏi ban đầu ông Sáu đã gửi bao nhiêu tiền?

Bài 4. Cho phương trình $x^2 - 2mx + m - 2 = 0$ (1) ($x$ là ẩn số).

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị $m$.

b) Định $m$ để hai nghiệm $x_1$, $x_2$ của phương trình (1) thỏa mãn

$\left( {1 + {x_1}} \right)\left( {2 - {x_2}} \right) + \left( {1 + {x_2}} \right)\left( {2 - {x_1}} \right) = x_1^2 + x_2^2 + 2$.

Bài 5. Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ cắt các cạnh $AC$, $AB$ lần lượt tại $D$, $E$. Gọi $H$ là giao điểm của $BD$ và $CE$; $F$ là giao điểm của $AH$ và $BC$.

a) Chứng minh $AF$ $\bot$ $BC$ và $\widehat {AFD} = \widehat {ACE}$.

b) Gọi $M$ là trung điểm của $AH$. Chứng minh $MD$ $\bot$ $OD$ và 5 điểm $M$, $D$, $O$, $F$, $E$ cùng thuộc một đường tròn.

c) Gọi $K$ là giao điểm của $AH$ và $DE$. Chứng minh $MD^2$ = $MK \cdot MF$ và $K$ là trực tâm của tam giác $MBC$.

d) Chứng minh: $\dfrac{2}{{FK}} = \dfrac{1}{{FH}} + \dfrac{1}{{FA}}$.

Read More

[SỐ HỌC 6] TẬP HỢP - PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP

I. CÁC VÍ DỤ

_ Tập hợp các học sinh của lớp 6A.

_ Tập hợp chữ cái $a$, $b$, $c$.

_ Tập hợp các số chẵn có một chữ số.

…………

II. CÁCH VIẾT. CÁC KÍ HIỆU

    Tên tập hợp được đặt bằng chữ cái in hoa.

Ví dụ: Tập hợp các số chẵn có 1 chữ số.

$A = \left\{ {0;2;4;6;8} \right\}$.

Tập hợp các chữ cam, chanh.

$B = \left\{ \text{cam}, \;\text{chanh} \right\}$.

$0$; $2$; $4$; $6$; $8$  là các phần tử của $A$;

$\text{cam}$, $\text{chanh}$ là các phần tử của $B$.

Kí hiệu: $2$ $\in$ $A$ ($2$ thuộc tập $A$), ổi $\notin$ $B$ (ổi không thuộc tập $B$).

Ví dụ: Viết tập hợp các chữ cái trong từ "GOOGLE".

$C = \left\{ {G;O;L;E} \right\}$

►Chú ý:

_ Các phần tử của một tập hợp được viết trong cặp dấu { } cách nhau bởi dấu “;” (nếu các phần tử là số) hoặc “,”.

_ Mỗi phần tử được liệt kê 1 lần theo thứ tự tùy ý.

Để viết tập hợp, thường có hai cách:

_ Liệt kê các phần tử của tập hợp.

_ Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó.

Ví dụ: Viết tập hợp $A$ các số tự nhiên lớn hơn $8$ và nhỏ hơn $14$ bằng hai cách, sau đó điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông.

Cách 1: $A = \left\{ {9;10;11;12;13} \right\}$.

Cách 2: $A=\left\{ x\in\mathbb{N} / 8<x<14 \right\}$.

$12$ $\boxed{\in}$ $A$, $16$ $\boxed{\notin}$ $A$

Minh họa tập hợp bằng biểu đồ Venn:

Read More

[HÌNH HỌC 9] ĐƯỜNG THẲNG EULER

$\boxed{\text {Bài toán: }}$

Cho $O$, $H$, $G$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm của $\triangle ABC$. Chứng minh rằng $O$, $H$, $G$ cùng thuộc một đường thẳng (được gọi là đường thẳng Euler của $\triangle ABC$) và $GH = 2GO$.

Giải

Chứng minh.

Cách 1:

Vẽ $OM$ $\bot$ $BC$, $ON$ $\bot$ $AC$.

Ta có: $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $AC$ (đ/lí đường kính vuông góc dây cung).

$ \Rightarrow $ $MN$ là đường trung bình của $\triangle ABC$.

$ \Rightarrow $ $MN \parallel AB$.

$ \Rightarrow $ $\widehat {NMC} = \widehat {ABC}$, $\widehat {MNC} = \widehat {BAC}$.

$\widehat {OMN} + \widehat {NMC} = {90^\circ}$, $\widehat {HAB} + \widehat {ABC} = {90^\circ}$, $\widehat {NMC} = \widehat {ABC}$.

$ \Rightarrow $ $\widehat {OMN} = \widehat {HAB}$.

$\widehat {ONM} + \widehat {MNC} = {90^\circ}$, $\widehat {ABH} + \widehat {BAC} = {90^\circ}$, $\widehat {MNC} = \widehat {BAC}$.

$ \Rightarrow $ $\widehat {ONM} = \widehat {ABH}$.

$\triangle OMN$ và $\triangle HAB$ có $\widehat {OMN} = \widehat {HAB}$ (cmt), $\widehat {ONM} = \widehat {ABH}$ (cmt).

$ \Rightarrow $ $\triangle OMN$ $\sim$ $\triangle HAB$ (g – g).

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{OM}}{{HA}} = \dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{1}{2}$.

$ \Rightarrow $ $OM = \dfrac{1}{2}HA$.

Gọi $G’$ là giao điểm của $AM$ và $OH$.

$OM \parallel AH$ $ \Rightarrow $ $\dfrac{{G'M}}{{G'A}} = \dfrac{{OM}}{{HA}} = \dfrac{1}{2}$.

$ \Rightarrow $ $G’$ là trọng tâm của $\triangle ABC$.

$ \Rightarrow $ $G’$ $ \equiv $ $G$.

Vậy $H$, $G$, $O$ thẳng hàng và $\dfrac{{GO}}{{GH}} = \dfrac{{OM}}{{HA}} = \dfrac{1}{2}$.

Cách 2:

Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Kẻ đường kính $AD$.

Ta có $\widehat {ACD} = {90^\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

$ \Rightarrow $ $CD$ $\bot$ $AC$.

Mà $BH$ $\bot$ $AC$.

$\Rightarrow $ $BH$ $\parallel$ $CD$.

Tương tự, $CH \parallel BD$.

$BHCD$ là hình bình hành (hai cặp cạnh đối song song).

Mà $M$ là trung điểm của $BC$.

$ \Rightarrow $ $M$ là trung điểm $HD$.

$\triangle ABC$ có $AM$ là đường trung tuyến ($M$ là trung điểm $BC$), $G$ là trọng tâm.

$\Rightarrow$ $G$ $\in$ $AM$ và $AG = \dfrac{2}{3}AM$.

$\triangle AHD$ có $AM$ là đường trung tuyến ($M$ là trung điểm $HD$), $G$ $\in$ $AM$ và $AG = \dfrac{2}{3}AM$.

$\Rightarrow$ $G$ là trọng tâm của $\triangle AHD$.

Mà $HO$ là đường trung tuyến của $\triangle AHD$.

$\Rightarrow$ $G$ $\in$ $HO$ và $GH = 2GO$.

 Vậy $O$, $H$, $G$ cùng thuộc một đường thẳng và $GH = 2GO$.

* Lưu ý: Do không soạn được kí hiệu đồng dạng như trong SGK của VN nên tôi thay bằng kí hiệu đồng dạng "$\sim$" trong bài viết.

Read More