[HÌNH HỌC 9] CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

$\boxed{\text {Bài toán 1: }}$ Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$, $AD$ là đường phân giác góc $A$. Biết $BH = 9$ cm, $AB = 15$ cm.

a) Tính độ dài $AH$, $AC$, $BC$.

b) Tính $\cos$$B$, $\tan\widehat {CAH}$.

c) Tính độ dài $BD$.

d) Qua $D$ kẻ đường thẳng vuông góc với $BC$ cắt cạnh $AC$ tại $E$. Chứng minh $BD = DE$. Suy ra $\sin\widehat{BED}$.

$\boxed{\text {Bài toán 2: }}$ Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$, $AD$ là trung tuyến. Biết $BC = 25$ cm, $AB = 20$ cm.

a) Tính độ dài $BH$, $AH$, $AC$.

b) Tính $\sin B$, $\cot C$.

c) Kẻ đường thẳng đi qua $H$ và song song với $AD$, đường thẳng này cắt cạnh $AC$ tại $I$ và cắt đường thẳng $AB$ tại $K$. Chứng minh $AK \cdot AC = AB \cdot AI$.

d) Chứng minh $HI + HK = 2AD$.

$\boxed{\text {Bài toán 3: }}$ Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$. Biết $AC = 16$ cm, $AB = 12$ cm.

a) Tính độ dài $BC$, $AH$, $CH$.

b) Tính $\sin B$, $\tan C$, $\cot \widehat {BAH}$.

c) Tia phân giác góc $B$ cắt $AC$ tại $D$. Tính độ dài $BD$.
d) Chứng minh $\tan \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2} = \dfrac{AC}{AB + BC}$.

$\boxed{\text {Bài toán 4: }}$ Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$. Biết $AC = 20$ cm, $AB = 15$ cm.

a) Tính độ dài $BC$, $AH$.

b) Gọi $M$ là trung điểm của $HC$. Tính $\sin B$, $\tan \widehat {HAM}$.

c) Vẽ tia phân giác $AD$ của $\triangle AHB$ ($D$ $\in$ $BH$). Chứng minh $\triangle ACD$ cân.

d) Gọi $I$ là trung điểm của $AH$, đường thẳng $BI$ cắt $AM$, $AC$ lần lượt tại $E$, $F$. Chứng minh $BE \cdot BF = BH \cdot BC$.

$\boxed{\text {Bài toán 5: }}$ Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ chia cạnh huyền $BC$ thành 2 đoạn $BH = 9$ cm, $HC = 16$ cm.

a) Tính độ dài $AH$ và $\tan C$.

b) Từ $H$ vẽ $HD$, $HE$ lần lượt vuông góc với $AB$, $AC$ ($D$ $\in$ $AB$, $E$ $\in$ $AC$). Chứng minh $ADHE$ là hình chữ nhật và $AB \cdot AD = AC \cdot AE$.

c) Tia $ED$ cắt $AH$ tại $O$ và cắt tia $CB$ tại $F$. Tính tỉ số $\dfrac{FD}{FC}$.

d) Đường thẳng vuông góc với $DE$ vẽ từ $D$ cắt $BC$ tại $M$. Chứng minh $AM$ $\bot$ $CO$.

$\boxed{\text {Bài toán 6: }}$ Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 15$ cm, $AC = 20$ cm, đường cao $AH$. Gọi $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của $AH$ và $BH$.

a) Tính độ dài $BC$, $AH$, $CH$.

b) Tính $\sin B$, $\tan \widehat{ECH}$. Từ đó tính số đo góc $ECH$ (làm tròn đến độ).

c) $CE$ cắt $AF$, $AB$ lần lượt tại $I$ và $K$, $EF$ cắt $AC$ tại $N$. Chứng minh tam giác $CIB$ đồng dạng tam giác $CHK$.

d) Tính độ dài $EN$.

$\boxed{\text {Bài toán 7: }}$ Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, trung tuyến $AM$. Biết $AB = 15$ cm, $AC = 20$ cm.

a) Tính độ dài $BC$, $AM$.

b) Tính $\sin \widehat {AMH}$, số đo $\widehat {HAM}$ (làm tròn đến độ).

c) Đường thẳng vuông góc với $AM$ vẽ từ $C$ cắt tia $AH$ tại $F$. Chứng minh rằng tia $FM$ đi qua trung điểm $N$ của $AC$.

d) Gọi $I$ là trực tâm của $\triangle ABM$. Chứng minh rằng điểm đối xứng với điểm $B$ qua $I$ nằm trên $AC$.

$\boxed{\text {Bài toán 8: }}$ Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 12$ cm, $BC = 5$ cm. Vẽ $BH$ vuông góc với đường chéo $AC$ ($H$ $\in$ $AC$).

a) Tính độ dài $AC$, $BH$.

b) Tính $\sin \widehat {HBC}$, $\dfrac{{\tan \widehat {ABH}}}{{\cot \widehat {ACB}}}$.

c) Gọi $M$, $N$, $K$ lần lượt là trung điểm của $AH$, $AB$, $CD$. $BK$ cắt $AC$ tại $I$. Chứng minh đường thẳng $DI$ đi qua trung điểm $F$ của $BC$.

d) Chứng minh $\widehat {BMK} = {90^\circ}$.

Read More