[HÌNH HỌC 8] BỔ ĐỀ HÌNH THANG

$\boxed{\text {Bổ đề hình thang: }}$

Trong hình thang hai đáy không bằng nhau, giao điểm của hai đường thẳng chứa hai cạnh bên, giao điểm của hai đường chéo và trung điểm của hai đáy cùng nằm trên một đường thẳng.

Chứng minh.

Cách 1: Gọi giao điểm của AD và BC là M, giao điểm của AC và BD là O, trung điểm của AB và CD lần lượt là E và F.

$\triangle$OAB $\sim$ $\triangle$OCD (g – g)

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{{AO}}{{CO}}$

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{2AE}}{{2CF}} = \dfrac{{AO}}{{CO}}$

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{AE}}{{CF}} = \dfrac{{AO}}{{CO}}$

$\triangle$OAE $\sim$ $\triangle$OCF (c – g – c)

$ \Rightarrow $ $\widehat {AOE} = \widehat {COF}$

mà $\widehat {AOE} + \widehat {EOC} = {180^0}$

$ \Rightarrow $ $\widehat {COF} + \widehat {EOC} = {180^0}$

$ \Rightarrow $ $\widehat {EOF} = {180^0}$

$ \Rightarrow $ E, O, F thẳng hàng (1)

Mặt khác, $\triangle$MAB $\sim$ $\triangle$MDC (g – g)

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{{MA}}{{MD}}$

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{2AE}}{{2DF}} = \dfrac{{MA}}{{MD}}$

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{AE}}{{DF}} = \dfrac{{AM}}{{DM}}$

$\triangle$MAE $\sim$ $\triangle$MDF (c – g – c)

$ \Rightarrow $ $\widehat {AME} = \widehat {DMF}$

$ \Rightarrow $ M, E, F thẳng hàng     (2)

(1), (2) $ \Rightarrow $M, E, O, F thẳng hàng

Cách 2:

Gọi giao điểm của AD và BC là M, giao điểm của AC và BD là O, giao điểm của MO và AB là E, giao điểm của MO và CD là F.

Ta có:

EB // DF $ \Rightarrow $ $\dfrac{{EB}}{{DF}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}$    (1)

AE // DF $ \Rightarrow $ $\dfrac{{AE}}{{DF}} = \dfrac{{MA}}{{MD}}$    (2)

AB // CD $ \Rightarrow $ $\dfrac{{OB}}{{OD}} = \dfrac{{AB}}{{CD}}$ và $\dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{{AB}}{{CD}}$    (3)

(1), (2), (3) $ \Rightarrow $ $\dfrac{{AE}}{{DF}} = \dfrac{{EB}}{{DF}}$

$ \Rightarrow $ AE = EB

$ \Rightarrow $ E là trung điểm AB

Ta lại có:

$\dfrac{{AE}}{{DF}} = \dfrac{{EB}}{{FC}}\left( { = \dfrac{{ME}}{{MF}}} \right)$ (theo bài toán Chùm đường thẳng)

mà AE = EB (cmt)

$ \Rightarrow $ DF = FC

$ \Rightarrow $ F là trung điểm CD

* Lưu ý: Do không soạn được kí hiệu đồng dạng như trong SGK của VN nên tôi thay bằng kí hiệu đồng dạng "$\sim$" trong bài viết.

Read More

[HÌNH HỌC 8] TÓM TẮT CHƯƠNG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

TÓM TẮT CHƯƠNG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Read More

[HÌNH HỌC 8] BÀI TOÁN TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG (001)

$\boxed{\text {Bài toán:}}$ Cho $\triangle ABC$, $M$ là trung điểm của $BC$. Đường phân giác của $\widehat {AMB}$ cắt $AB$ ở $E$, đường phân giác của $\widehat {AMC}$ cắt $AC$ ở $F$. Chứng minh $\dfrac{{EA}}{{EB}} = \dfrac{{FA}}{{FC}}$. Suy ra $EF // BC$.

Giải

$\triangle ABM$ có $ME$ là đường phân giác của $\widehat {AMB}$.

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{EA}}{{EB}} = \dfrac{{MA}}{{MB}}$ (tính chất đường phân giác).   (1)

$\triangle ACM$ có $MF$ là đường phân giác của $\widehat {AMC}$.

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{FA}}{{FC}} = \dfrac{{MA}}{{MC}}$ (tính chất đường phân giác).   (2)

Mà $MB = MC$ ($M$ là trung điểm của $BC$).         (3)

(1), (2), (3) $ \Rightarrow $ $\dfrac{{EA}}{{EB}} = \dfrac{{FA}}{{FC}}$.

$ \Rightarrow $ $DE \parallel BC$ (định lí Thales đảo).

Read More

[HÌNH HỌC 8] DẤU HIỆU NHẬN BIẾT CÁC TỨ GIÁC ĐẶC BIỆT

SƠ ĐỒ NHẬN BIẾT CÁC LOẠI TỨ GIÁC

DẤU HIỆU NHẬN BIẾT CÁC HÌNH

Hình thang cân

1. Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.

2. Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Hình bình hành

1. Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

2. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

3. Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

4. Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.

5. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

Hình chữ nhật

1. Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

2. Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.

3. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

4. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Hình thoi

1. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.

2. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

3. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

4. Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

Hình vuông

1. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

2. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

3. Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

4. Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

5. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Read More