[SỐ HỌC 6] ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT - BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

Để tìm ƯCLN, BCNN của các số tự nhiên, người ta thường dùng những cách sau:

Cách 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố 

Vd: Tìm ƯCLN(30,18) và BCNN(30,18)
                               Giải:
$30 = 2.3.5$
$18 = {2.3^2}$
ƯCLN$\left( {18,30} \right) = 2.3 = 6$
BCNN$\left( {18,30} \right) = {2.3^2}.5 = 90$
Cách 2: Thuật toán Euclid

ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, r) = ƯCLN(a – b, b) (với a > b, a = bq + r)
ƯCLN(a, b) $\times$ BCNN(a, b) = ab
Vd:

ƯCLN(30, 18) 
= ƯCLN(18, 12)     // ƯCLN(số nhỏ nhất trong hai số 30 và 18, số dư của phép chia 30:18)
= ƯCLN(12, 6)       // ƯCLN(số nhỏ nhất trong hai số 18 và 12, số dư của phép chia 18:12)
= ƯCLN(6, 0)         // ƯCLN(số nhỏ nhất trong hai số 12 và 6, số dư của phép chia 12:6)
= 6
Hoặc
ƯCLN(30, 18) 
= ƯCLN(18, 12)     // ƯCLN(số nhỏ nhất trong hai số 30 và 18, hiệu 30 $-$ 18)
= ƯCLN(12, 6)       // ƯCLN(số nhỏ nhất trong hai số 18 và 12, hiệu 18 $-$ 12)
= ƯCLN(6, 6)         // ƯCLN(số nhỏ nhất trong hai số 12 và 6, hiệu 12 $-$ 6)
= ƯCLN(6, 0)         // Tương tự như trên (dòng này không cần thiết lắm)
= 6

ƯCLN(30, 18) $\times$ BCNN(30, 18) = 30 $\times$ 18      (*)

$\Rightarrow$ BCNN(30, 18) = 540 : 6 = 90
Chú ý rằng tính chất (*) chỉ đúng trong trường hợp 2 số. Hơn 3 số thì không đúng, ví dụ với 3 số 6, 18, 30.
Lưu ý:
1) ƯCLN(1, a, b) = 1                        BCNN(1, a, b) = BCNN(a, b)
2) ƯCLN(0, a, b) = ƯCLN(a, b)       BCNN(0, a, b) = 0
3) Các số đã cho đều chia hết cho số nhỏ nhất thì số nhỏ nhất đó chính là ước chung lớn nhất.

    Vd: ƯCLN(6, 18, 30) = 6 .
4) Số lớn nhất trong các số đã cho chia hết cho các số còn lại thì số lớn nhất đó chính là bội chung nhỏ nhất.

    Vd: BCNN(6, 5, 30) = 30, BCNN(6, 18, 30) = 90 (90 = 3.30)
Ở đây tôi sẽ không nêu phương pháp sử dụng thuật toán Euclid để tìm ƯCLN, BCNN của dãy từ ba số trở lên, xem nó như vấn đề nhỏ để các bạn tự tìm tòi giải quyết.