[ĐẠI SỐ 9] PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

❄ PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG

Dạng: ${a{x^4} + b{x^2} + c = 0\;\left( {a \ne 0} \right)}$

Cách giải:

Đặt $t = {x^2} \ge 0$.

Phương trình trở thành: ${a{t^2} + bt + c = 0}$ $\Rightarrow$ t $\Rightarrow$ x.

VD: Giải phương trình $2x^4  - 7x^2  - 4 = 0$.

Đặt $t = {x^2} \ge 0$.

Phương trình trở thành: $2t^2  - 7t - 4 = 0$ (1)

$\Delta  = \left( { - 7} \right)^2  - 4 \cdot 2 \cdot \left( { - 4} \right) = 49 + 32 = 81 > 0$

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: 

$t_1  = \dfrac{{ - \left( { - 7} \right) - \sqrt {81} }}{{2 \cdot 2}} = \dfrac{{ - 1}}{2}$ (loại), $t_2  = \dfrac{{ - \left( { - 7} \right) + \sqrt {81} }}{{2 \cdot 2}} = 4$ (nhận).

$t = 4 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x =  \pm 2$

Phương trình đã cho có hai nghiệm $x =  \pm 2$.

❄ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC

Cách giải:

_ Tìm điều kiện xác định của phương trình.

_ Qui đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

_ Giải phương trình vừa nhận được.

_ Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

VD: Giải phương trình $\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} + \dfrac{2}{{x - 2}} = \dfrac{{12}}{{x^2  - 4}}$.

pt $ \Leftrightarrow $ $\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} + \dfrac{2}{{x - 2}} = \dfrac{{12}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$
ĐKXĐ:$\begin{cases}x - 2 \ne 0\\x + 2 \ne 0\end{cases}$ $ \Leftrightarrow $ $\begin{cases}x \ne 2\\x \ne -2\end{cases}$
pt $ \Leftrightarrow $ $\dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} + \dfrac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{12}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$
$ \Leftrightarrow $ $\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) + 2\left( {x + 2} \right) = 12$
$ \Leftrightarrow $ $x^2  - 3x + 2 + 2x + 4 = 12$
$ \Leftrightarrow $ $x^2  - x - 6 = 0$ (1)
$\Delta  = \left( { - 1} \right)^2  - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 6} \right) = 25 > 0$
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

$x_1  = \dfrac{{ - \left( { - 1} \right) - \sqrt {25} }}{{2 \cdot 1}} =  - 2$ (loại), $x_1  = \dfrac{{ - \left( { - 1} \right) + \sqrt {25} }}{{2 \cdot 1}} = 3$ (nhận).

Phương trình đã cho có 1 nghiệm $x = 3$.

❄ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Cách giải: A(x)$\times$B(x)$\times$...$\times$C(x) = 0 $\Leftrightarrow$ A(x) = 0 hay B(x) = 0 hay ... hay C(x) = 0

VD: Giải phương trình ${x^3} + 3{x^2} + 2x = 0$.

pt $ \Leftrightarrow $ $x\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow $ $x = 0$ hay ${x^2} + 3x + 2 = 0$ (có dạng $a - b + c = 1 - 3 + 2 = 0$)

$ \Leftrightarrow $ $x = 0$ hay $x = -1$ hay $x = -2$

Phương trình đã cho có 3 nghiệm $x_1 = 0$, $x_2 = -1$, $x_3 = -2$.