ĐỀ THI TOÁN 6 HỌC KÌ II NĂM HỌC 2015$-$2016 QUẬN 11 TPHCM

ĐỀ THI TOÁN 6 HỌC KÌ II NĂM HỌC 2015$-$2016 QUẬN 11 TPHCM

Bài 1. (3 điểm) Thực hiện phép tính:

a) $\dfrac{{ - 1}}{4} + \dfrac{7}{3} - \dfrac{5}{2}$

b) $\dfrac{{ - 23}}{5}\cdot\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{{13}}{5}$
c) $\dfrac{{ - 17}}{{19}} + \dfrac{{15}}{{23}} + \dfrac{{ - 2}}{{19}} + \dfrac{8}{{23}}$

d) $\left( { - 3{,}5} \right) + 1\dfrac{1}{2}:\left( {\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6}} \right)$

Bài 2. (2,5 điểm) Tìm $x$, biết:

a) $x + \dfrac{3}{4} = \dfrac{{ - 1}}{6}$
b) $\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{4}x = \dfrac{7}{{16}}$
c) $\left( {x + \dfrac{{11}}{2}} \right)\cdot\dfrac{7}{3} - 3 = \dfrac{1}{2}$

Bài 3. (1 điểm) Thẻ nhớ di động (USB) là một thiết bị nhỏ dùng để lưu trữ dữ liệu máy tính. Nam có một chiếc thẻ nhớ dung lượng $1$ GB (= $1000$ MB), Nam dùng $\dfrac{1}{4}$ dung lượng thẻ nhớ để lưu trữ nhạc và $50\%$ dung lượng thẻ nhớ để lưu trữ hình ảnh.

a) Em hãy tính dung lượng của thẻ nhớ theo đơn vị MB mà Nam dùng để lưu trữ nhạc.

b) Nam muốn chuyển một đoạn phim có dung lượng $350$ MB vào chiếc thẻ nhớ của bạn ấy. Theo em thẻ nhớ của bạn Nam có còn đủ dung lượng để lưu trữ đoạn phim không? Vì sao?

Bài 4. (3 điểm) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia $Ox$, vẽ hai tia $Oy$ và $Oz$ sao cho $\widehat {xOy} = {150^\circ}$ và $\widehat {xOz} = {75^\circ}$.

a) Trong ba tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ thì tia nào nằm giữa hai tia còn lại? Vì sao?

b) Tính số đo $\widehat {yOz}$.

c) Tia $Oz$ có là tia phân giác của $\widehat {xOy}$ không? Vì sao?

d) Vẽ tia $Om$ là tia đối của tia $Oy$, tia $Ot$ là tia phân giác của $\widehat {mOx}$. Tính số đo $\widehat {zOt}$.

Bài 5. (0,5 điểm) Tính hợp lý:

$M = \dfrac{2}{3} + \dfrac{9}{{10}} - \dfrac{{11}}{{15}} + \dfrac{{13}}{{21}} - \dfrac{{15}}{{28}} + \dfrac{{17}}{{36}} - \dfrac{{19}}{{45}} + \dfrac{{21}}{{55}} - \dfrac{{23}}{{66}}$

Read More

[Arithmetic 6] Ratio of two numbers

I. RATIO OF TWO NUMBERS

_ The quotient in the division of number $a$ by number $b$ ($b$ $ \ne $ 0) is called the ratio of $a$ to $b$.
_ The  ratio of $a$ to $b$ is denoted by $a$ : $b$ or $\dfrac{a}{b}$.
Example: $1.7 : 3.12$; $\dfrac{1}{5}:\dfrac{3}{4}$; $ - 3\dfrac{1}{4}:5$; ... are ratios.
* Note: When we say ratio $\dfrac{a}{b}$, then $a$ and $b$ can be integers, fractions, mixed numbers, …, on the other hand, for fraction $\dfrac{a}{b}$, both $a$ and $b$ must be integers.

II. PERCENTAGE
Rule: To find the percentage of $a$ to $b$, we compute $\dfrac{{a.100}}{b}\% $.

Example: Find the percentage of:

a) $5$ và $8$

The percentage of $5$ to $8$ is:

$\dfrac{5}{8} = \dfrac{{5 \times 100}}{8}\%  = 62.5\% $

b) $25$ kg và $\dfrac{3}{{10}}$ quintal

$\dfrac{3}{{10}}$ quintal = $\dfrac{3}{{10}}$ $\times$ $100$ kg = $30$ kg

The percentage of $25$ kg to $\dfrac{3}{{10}}$ quintal is:

$\dfrac{{25}}{{30}} = \dfrac{5}{6} = \dfrac{{5 \times 100}}{6}\%  = 83.3\% $ 

III. SCALE

Scale $T$ of a drawing (or a map) is the ratio of distance $a$ between two points on the drawing (or the map) to distance $b$ between two points in corresponding reality: $T = \dfrac{a}{b}$ (a, b have the same unit of measurement).

Example: If the distance $a$ on a map is 1cm, the actual distance $b$ is 1km, the map scale $T$ is 1 : 100000.

Read More

[SỐ HỌC 6] TỈ SỐ CỦA HAI SỐ

I. TỈ SỐ CỦA HAI SỐ

_ Thương trong phép chia số $a$ cho số $b$ ($b \ne $ 0) gọi là tỉ số của $a$ và $b$.

_ Tỉ số của $a$ và $b$ kí hiệu là $a : b$ hoặc $\dfrac{a}{b}$.

Ví dụ: $1{,}7 : 3{,}12$; $\dfrac{1}{5}:\dfrac{3}{4}$; $ - 3\dfrac{1}{4}:5$; ... là những tỉ số.

* Lưu ý: Khi ta nói tỉ số $\dfrac{a}{b}$ thì $a$ và $b$ có thể là các số nguyên, phân số, hỗn số, …, còn khi nói phân số $\dfrac{a}{b}$ thì cả $a$ và $b$ phải là các số nguyên.

II. TỈ SỐ PHẦN TRĂM

Qui tắc: Muốn tìm tỉ số phần trăm của $a$ và $b$, ta tính $\dfrac{{a \cdot 100}}{b}\% $.

Ví dụ: Tìm tỉ số phần trăm của:

a) $5$ và $8$

Tỉ số phần trăm của $5$ và $8$ là: $\dfrac{5}{8} = \dfrac{{5 \cdot 100}}{8}\%  = 62{,}5\% $

b) $25$ kg và $\dfrac{3}{{10}}$ tạ

$\dfrac{3}{{10}}$ tạ = $\dfrac{3}{{10}}$ $\cdot$ $100$ kg = $30$ kg

Tỉ số phần trăm của $25$ kg và $\dfrac{3}{{10}}$ tạ là: $\dfrac{{25}}{{30}} = \dfrac{5}{6} = \dfrac{{5 \cdot 100}}{6}\%  \approx 83{,}3\% $

III. TỈ LỆ XÍCH

Tỉ lệ xích $T$ của một bản vẽ (hoặc một bản đồ) là tỉ số khoảng cách $a$ giữa hai điểm trên bản vẽ (hoặc bản đồ) và khoảng cách $b$ giữa hai điểm tương ứng trên thực tế: $T = \dfrac{a}{b}$ ($a$, $b$ có cùng đơn vị đo)

Ví dụ: Nếu khoảng cách $a$ trên bản đồ là $1$ cm, khoảng cách $b$ trên thực tế là $1$ km thì tỉ lệ xích $T$ của bản đồ là 1 : 100000.

Read More

[Algebra 9] Advanced exercises

Question. Let $x$, $y$ and $z$ be positive numbers such that: $\begin{cases}x + y + xy = 8\\y + z + yz = 15\\z + x + zx = 35\end{cases}$
Find the value of $x + y + z + xy$.

Read More

ĐỀ THI TOÁN 6 HỌC KÌ II NĂM HỌC 2014$-$2015 QUẬN 11 TPHCM

ĐỀ THI TOÁN 6 HỌC KÌ II NĂM HỌC 2014$-$2015 QUẬN 11 TPHCM

Bài 1. (3 điểm) Thực hiện phép tính:

a) $\dfrac{1}{6} + \dfrac{7}{3} - \dfrac{1}{2}$
b) $\dfrac{{ - 3}}{8}\cdot\dfrac{2}{5} + \dfrac{{ - 3}}{8}\cdot\dfrac{{14}}{5}$
c) $\left| { - 1\dfrac{5}{8}} \right| + 1{,}25:\left( {1 - \dfrac{9}{4}} \right)$
d) $\left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{{11}}{9}} \right):\dfrac{{34}}{5} + \left( {\dfrac{{ - 2}}{9} + \dfrac{{29}}{4}} \right):\dfrac{{34}}{5}$

Bài 2. (2,5 điểm) Tìm $x$, biết:

a) $x + \dfrac{7}{12} = \dfrac{-5}{6}$
b) $\left( {\dfrac{2}{9} - x} \right):\dfrac{5}{6} = \dfrac{{ - 4}}{3}$
c) $\dfrac{{ - 1}}{2} = \dfrac{{x - 1}}{6}$

Bài 3. (1 điểm)

Một khu đất hình chữ nhật có chiều dài $18$ km và chiều rộng bằng $\dfrac{5}{9}$ của chiều dài. Tính chiều rộng và diện tích của khu đất.

Bài 4. (3 điểm) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia $Ox$, vẽ hai tia $Oy$ và $Om$ sao cho $\widehat {xOy} = {50^\circ}$ và $\widehat {xOm} = {100^\circ}$.

a) Trong ba tia $Ox$, $Oy$, $Om$ thì tia nào nằm giữa hai tia còn lại? Vì sao?

b) So sánh $\widehat {xOy}$ và $\widehat {yOm}$.

c) Tia $Oy$ có phải là tia phân giác của $\widehat {xOm}$ không? Vì sao?

d) Vẽ tia $Oh$ là tia đối của tia $Ox$. Tính $\widehat {yOh}$.

Bài 5. (0,5 điểm) Tính hợp lý:

$M = \dfrac{3}{2} - \dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{{12}} - \dfrac{9}{{20}} + \dfrac{{11}}{{30}} - \dfrac{{13}}{{42}} + \dfrac{{15}}{{56}} - \dfrac{{17}}{{72}}$

Read More

ĐỀ THI TOÁN 6 HỌC KÌ II NĂM HỌC 2013$-$2014 QUẬN 11 TPHCM

ĐỀ THI TOÁN 6 HỌC KÌ II NĂM HỌC 2013$-$2014 QUẬN 11 TPHCM

Bài 1. (3 điểm) Thực hiện phép tính:

a) $\dfrac{{ - 3}}{4} + \dfrac{7}{3} - \dfrac{1}{2}$
b) $\dfrac{{ - 3}}{4}\cdot\dfrac{7}{6} + \dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{{ - 3}}{4}$
c) $1\dfrac{1}{2}:\left( {\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{6}} \right) + 1{,}5$
d) $\dfrac{3}{4}:{\left( {\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{{ - 6}}{5} + \dfrac{{13}}{5}} \right)^2}$

Bài 2. (2,5 điểm) Tìm $x$, biết:

a) $x + \dfrac{7}{9} = \dfrac{5}{6}$
b) $\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{5}x = \dfrac{{ - 7}}{{10}}$
c) $\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)\cdot\dfrac{9}{2} - 4 = \dfrac{1}{2}$

Bài 3. (1 điểm)

Tính diện tích và chu vi một khu đất hình chữ nhật có chiều dài là  $\dfrac{1}{4}$ km và chiều rộng là $\dfrac{1}{8}$ km.

Bài 4. (3 điểm) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia $Ox$, vẽ hai tia $Oy$ và $Oz$ sao cho $\widehat {xOy} = {50^\circ}$, $\widehat {xOz} = {100^\circ}$.

a) Trong ba tia $Ox$, $Oy$, $Ox$ thì tia nào nằm giữa hai tia còn lại? Vì sao?

b) Tính số đo $\widehat {yOz}$.

c) Tia $Oy$ có là tia phân giác của $\widehat {xOz}$ không? Vì sao?

d) Vẽ tia $Om$ là tia đối của tia $Oy$, tia $Ot$ là tia phân giác của $\widehat {mOz}$. Tính số đo $\widehat {yOt}$.

Bài 5. (0,5 điểm) Tính hợp lý:

$M = \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{6} + \dfrac{{11}}{{12}} + \dfrac{{19}}{{20}} + \dfrac{{29}}{{30}} + \dfrac{{41}}{{42}} + \dfrac{{55}}{{56}} + \dfrac{{71}}{{72}} + \dfrac{{89}}{{90}}$

Read More

[SỐ HỌC 6] BÀI TẬP TOÁN NÂNG CAO - PHẦN 1 (CÓ ĐÁP ÁN)

Bài toán 1: Tìm $n$ $ \in $ $\mathbb{N}$ để ba phân số $\dfrac{{21}}{n}$, $\dfrac{{22}}{{n - 1}}$, $\dfrac{{24}}{{n + 1}}$ đều là số tự nhiên.

Giải.

Để $\dfrac{{21}}{a}$ là số tự nhiên thì $a = 3; 7; 21$.

Vậy để cả ba phân số $\dfrac{{21}}{a}$, $\dfrac{{22}}{{a - 1}}$, $\dfrac{{24}}{{a + 1}}$ đều là số tự nhiên thì $a$ chỉ có thể là $3$; $7$ hoặc $21$.

Khi $a = 3$ thì $\dfrac{{21}}{a} = \dfrac{{21}}{3} = 7$; $\dfrac{{22}}{{a - 1}} = \dfrac{{22}}{{3 - 1}} = \dfrac{{22}}{2} = 11$; $\dfrac{{24}}{{a + 1}} = \dfrac{{24}}{{3 + 1}} = \dfrac{{24}}{4} = 6$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Khi $a = 7$ thì $\dfrac{{21}}{a} = \dfrac{{21}}{7} = 3$; $\dfrac{{22}}{{a - 1}} = \dfrac{{22}}{{7 - 1}} = \dfrac{{22}}{6}$ không phải là số tự nhiên.

Khi $a = 21$ thì $\dfrac{{21}}{a} = \dfrac{{21}}{{21}} = 1$; $\dfrac{{22}}{{a - 1}} = \dfrac{{22}}{{21 - 1}} = \dfrac{{22}}{{20}}$ không phải là số tự nhiên.

Vậy $a = 3$ thì cả ba phân số đã cho là số tự nhiên.
Bài toán 2: Tìm $n$ $ \in $ $\mathbb{Z}$ để $A = \dfrac{{11}}{{n + 1}}$, $B = \dfrac{{17}}{{n - 3}}$ là số nguyên.

Giải.

Để $A$ là số nguyên thì $11\; \vdots \;\left( {n + 1} \right)$
$ \Rightarrow $ $n + 1 \in $ Ư(11)
$ \Rightarrow $ $n + 1 \in \left\{ {1;11; - 1; - 11} \right\}$
$ \Rightarrow $ $n \in \left\{ {0;10; - 2; - 12} \right\}$
Để $B$ là số nguyên thì $17\; \vdots \;\left( {n - 3} \right)$
$ \Rightarrow $ $n - 3 \in $ Ư(17)
$ \Rightarrow $ $n - 3 \in \left\{ {1;17; - 1; - 17} \right\}$
$ \Rightarrow $ $n \in \left\{ {4; 21; 2; - 14} \right\}$
Bài toán 3: Chứng tỏ rằng $\dfrac{{21n + 4}}{{14n + 3}}$ là phân số tối giản ($n$ $ \in $ $\mathbb{N}$).

Giải.

Đặt ƯCLN($12n + 4$, $14n + 3$) = $d$ ($d > 0$).
$ \Rightarrow $ $14n + 3\; \vdots \;d$, $21n + 4\; \vdots \;d$
$ \Rightarrow $ $3(14n + 3)\; \vdots \;d$, $2(21n + 4)\; \vdots \;d$
$ \Rightarrow $ $\left[ {3\left( {14n + 3} \right) - 2\left( {21n + 4} \right)} \right]\; \vdots \;d$
$ \Rightarrow $ $\left[ {\left( {42n + 9} \right) - \left( {42n + 8} \right)} \right]\; \vdots \;d$
$ \Rightarrow $ $1\; \vdots \;d$
$ \Rightarrow $ $d = 1$
$ \Rightarrow $ $21n + 4$ và $14n + 3$ là hai số nguyên tố cùng nhau.
$ \Rightarrow $ $\dfrac{{21n + 4}}{{14n + 3}}$ là phân số tối giản.
Bài toán 4: Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để $\dfrac{{5n + 6}}{{6n + 5}}$ có thể rút gọn được.

Giải.

Đặt ƯCLN($5n + 6$, $6n + 5$) = $d$ ($d > 0$).
$ \Rightarrow $ $5n + 6\; \vdots \;d$, $6n + 5\; \vdots \;d$
$ \Rightarrow $ $6(5n + 6)\; \vdots \;d$, $5(6n + 5)\; \vdots \;d$
$ \Rightarrow $ $\left[ {6\left( {5n + 6} \right) - 5\left( {6n + 5} \right)} \right]\; \vdots \;d$
$ \Rightarrow $ $\left[ {\left( {30n + 36} \right) - \left( {30n + 25} \right)} \right]\; \vdots \;d$
$ \Rightarrow $ $11\; \vdots \;d$
$ \Rightarrow $ $d \in \left\{ {1;11} \right\}$
Vì $\dfrac{{5n + 6}}{{6n + 5}}$ rút gọn được nên $d = 11$.
Ta có:
$5n + 6\; \vdots \;11$, $6n + 5\; \vdots \;11$
$ \Rightarrow $ $\left[ {\left( {6n + 5} \right) - \left( {5n + 6} \right)} \right]\; \vdots \;11$
$ \Rightarrow $ $n - 1\; \vdots \;11$
$ \Rightarrow $ $n - 1 = 11k$ $\left( {k \ge 0} \right)$
$ \Rightarrow $ $n = 11k + 1$ $\left( {k \ge 0} \right)$

Bài toán 5: Với $n$ $ \in $ $\mathbb{N}$$^*$, chứng tỏ rằng:

a) $\dfrac{1}{{n(n + 1)}} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{n + 1}}$

b) $\dfrac{2}{{n(n + 1)(n + 2)}} = \dfrac{1}{{n(n + 1)}} - \dfrac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}$

Giải.

a) $\dfrac{1}{{n(n + 1)}} = \dfrac{{(n + 1) - n}}{{n(n + 1)}} = \dfrac{{n + 1}}{{n(n + 1)}} - \dfrac{n}{{n(n + 1)}} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{n + 1}}$

b) $\dfrac{2}{{n(n + 1)(n + 2)}} = \dfrac{{(n + 2) - n}}{{n(n + 1)(n + 2)}} = \dfrac{1}{{n(n + 1)}} - \dfrac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}$

Bài toán 6: Chứng tỏ rằng:

a) $\dfrac{1}{{{n^2}}} < \dfrac{1}{{n - 1}} - \dfrac{1}{n}$ ($n$ $ \in $ $\mathbb{N}$, $n \ge 2$)

b) $\dfrac{1}{{{n^2}}} > \dfrac{1}{{n}} - \dfrac{1}{n + 1}$ ($n$ $ \in $ $\mathbb{N}$, $n \ge 1$)

Giải.

a) $\dfrac{1}{{{n^2}}} = \dfrac{1}{{n \cdot n}} < \dfrac{1}{{(n - 1)n}} = \dfrac{1}{{n - 1}} - \dfrac{1}{n}$ ($n$ $ \in $ $\mathbb{N}$, $n \ge 2$)

b) $\dfrac{1}{{{n^2}}} = \dfrac{1}{{n \cdot n}} > \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{n + 1}}$ ($n$ $ \in $ $\mathbb{N}$, $n \ge 1$)

Bài toán 7: Cho $a$, $b$, $m$ $ \in $ $\mathbb{N}$$^*$. Chứng tỏ rằng:

a) $\dfrac{a}{b} > \dfrac{{a + m}}{{b + m}}$ khi $a > b$
b) $\dfrac{a}{b} < \dfrac{{a + m}}{{b + m}}$ khi $a < b$

Giải.

a) $a > b$ $ \Rightarrow $ $a - b > 0$

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{{b + a - b}}{b} = 1 + \dfrac{{a - b}}{b}$

$\dfrac{{a + m}}{{b + m}} = \dfrac{{(b + m) + (a - b)}}{{b + m}} = 1 + \dfrac{{a - b}}{{b + m}}$

$\dfrac{{a - b}}{b} > \dfrac{{a - b}}{{b + m}}$ (do $a, b, m > 0$, $a - b > 0$)

$ \Rightarrow $ $1 + \dfrac{{a - b}}{b} > 1 + \dfrac{{a - b}}{{b + m}}$

$ \Rightarrow $ $\dfrac{a}{b} > \dfrac{{a + m}}{{b + m}}$

b) Tương tự

Bài toán 8: Tính các tổng sau đây:

1) $A = \dfrac{1}{{1\cdot2}} + \dfrac{1}{{2\cdot3}} + \dfrac{1}{{3\cdot4}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{99\cdot100}}$

2) $B = \dfrac{5}{{1\cdot6}} + \dfrac{5}{{6\cdot11}} + \dfrac{5}{{11\cdot16}} + ... + \dfrac{5}{{96\cdot101}}$

3) $C = \dfrac{1}{{1\cdot5}} + \dfrac{1}{{5\cdot9}} + \dfrac{1}{{9\cdot13}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{37\cdot41}}$

4) $D = \dfrac{{11}}{{1\cdot3}} + \dfrac{{11}}{{3\cdot5}} + \dfrac{{11}}{{5\cdot7}} +  \cdots  + \dfrac{{11}}{{97\cdot99}}$

5) $E = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{{10}} + \dfrac{1}{{15}} + \dfrac{1}{{21}} + \dfrac{1}{{28}} + \dfrac{1}{{36}} + \dfrac{1}{{45}} + \dfrac{1}{{55}} + \dfrac{1}{{66}} + \dfrac{1}{{78}} + \dfrac{1}{{91}} + \dfrac{1}{{105}}$

6) $F = \dfrac{1}{{1\cdot2\cdot3}} + \dfrac{1}{{2\cdot3\cdot4}} + \dfrac{1}{{3\cdot4\cdot5}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{98\cdot99\cdot100}}$

7) $G = \dfrac{1}{{2\cdot7\cdot12}} + \dfrac{1}{{7\cdot12\cdot17}} + \dfrac{1}{{12\cdot17\cdot22}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{1997\cdot2002\cdot2007}}$
8) $H = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{{2^{2004}}}}$
9) $I = \dfrac{7}{{10}} + \dfrac{7}{{{{10}^2}}} + \dfrac{7}{{{{10}^3}}} +  \ldots $

10) $J = 1 + \dfrac{1}{2}\left( {1 + 2} \right) + \dfrac{1}{3}\left( {1 + 2 + 3} \right) + \dfrac{1}{4}\left( {1 + 2 + 3 + 4} \right) +  \cdots  + $

$ + \dfrac{1}{{16}}\left( {1 + 2 + 3 +  \cdots  + 16} \right)$

Giải.

1) $A = \dfrac{1}{{1\cdot2}} + \dfrac{1}{{2\cdot3}} + \dfrac{1}{{3\cdot4}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{99\cdot100}}$

= $\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} +  \cdots  + \dfrac{1}{{99}} - \dfrac{1}{{100}}$

= $\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{{100}}$

= $\dfrac{{99}}{{100}}$

2) $B = \dfrac{5}{{1\cdot6}} + \dfrac{5}{{6\cdot11}} + \dfrac{5}{{11\cdot16}} + ... + \dfrac{5}{{96\cdot101}}$

= $\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{{11}} + \dfrac{1}{{11}} - \dfrac{1}{{16}} + ... + \dfrac{1}{{96}} - \dfrac{1}{{101}}$

= $\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{{101}}$

= $\dfrac{{100}}{{101}}$

3) $C = \dfrac{1}{{1\cdot5}} + \dfrac{1}{{5\cdot9}} + \dfrac{1}{{9\cdot13}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{37\cdot41}}$

= $\dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{4}{{1 \cdot 5}} + \dfrac{4}{{5 \cdot 9}} + \dfrac{4}{{9 \cdot 13}} +  \cdots  + \dfrac{4}{{37 \cdot 41}}} \right)$

= $\dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{{13}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{37}} - \dfrac{1}{{41}}} \right)$

= $\dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{{41}}} \right)$

= $\dfrac{{10}}{{41}}$

4) $D = \dfrac{{11}}{{1 \cdot 3}} + \dfrac{{11}}{{3 \cdot 5}} + \dfrac{{11}}{{5 \cdot 7}} +  \cdots  + \dfrac{{11}}{{97 \cdot 99}}$

= $\dfrac{{11}}{2}\left( {\dfrac{2}{{1 \cdot 3}} + \dfrac{2}{{3 \cdot 5}} + \dfrac{2}{{5 \cdot 7}} +  \cdots  + \dfrac{2}{{97 \cdot 99}}} \right)$

= $\dfrac{{11}}{2}\left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} +  \cdots  + \dfrac{1}{{97}} - \dfrac{1}{{99}}} \right)$

= $\dfrac{{11}}{2}\left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{{99}}} \right)$

= $\dfrac{{49}}{9}$

5) $E = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{{10}} + \dfrac{1}{{15}} + \dfrac{1}{{21}} + \dfrac{1}{{28}} + \dfrac{1}{{36}} + \dfrac{1}{{45}} + \dfrac{1}{{55}} + \dfrac{1}{{66}} + \dfrac{1}{{78}} + \dfrac{1}{{91}} + \dfrac{1}{{105}}$

= $\dfrac{2}{{12}} + \dfrac{2}{{20}} + \dfrac{2}{{30}} + \dfrac{2}{{42}} + \dfrac{2}{{56}} + \dfrac{2}{{72}} + \dfrac{2}{{90}} + \dfrac{2}{{110}} + \dfrac{2}{{132}} + \dfrac{2}{{156}} + \dfrac{2}{{182}} + \dfrac{2}{{210}}$

= $2\left( {\dfrac{1}{{3 \cdot 4}} + \dfrac{1}{{4 \cdot 5}} + \dfrac{1}{{5 \cdot 6}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{13 \cdot 14}} + \dfrac{1}{{14 \cdot 15}}} \right)$

= (làm tương tự như các câu trên)

= $\dfrac{{8}}{{15}}$

6) $F = \dfrac{1}{{1 \cdot 2 \cdot 3}} + \dfrac{1}{{2 \cdot 3 \cdot 4}} + \dfrac{1}{{3 \cdot 4 \cdot 5}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{98 \cdot 99 \cdot 100}}$

= $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{{1 \cdot 2 \cdot 3}} + \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{{2 \cdot 3 \cdot 4}} + \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{{3 \cdot 4 \cdot 5}} +  \cdots  + \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{{98 \cdot 99 \cdot 100}}$
= $\dfrac{1}{2}\cdot\left( {\dfrac{2}{{1 \cdot 2 \cdot 3}} + \dfrac{2}{{2 \cdot 3 \cdot 4}} + \dfrac{2}{{3 \cdot 4 \cdot 5}} +  \cdots  + \dfrac{2}{{98 \cdot 99 \cdot 100}}} \right)$
= $\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{1 \cdot 2}} - \dfrac{1}{{2 \cdot 3}} + \dfrac{1}{{2 \cdot 3}} - \dfrac{1}{{3 \cdot 4}} + \dfrac{1}{{3 \cdot 4}} - \dfrac{1}{{4 \cdot 5}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{98 \cdot 99}} - \dfrac{1}{{99 \cdot 100}}} \right)$
= $\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{1 \cdot 2}} - \dfrac{1}{{99 \cdot 100}}} \right)$
= $\dfrac{{4949}}{{19800}}$

7) $G = \dfrac{1}{{2 \cdot 7 \cdot 12}} + \dfrac{1}{{7 \cdot 12 \cdot 17}} + \dfrac{1}{{12 \cdot 17 \cdot 22}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{1997 \cdot 2002 \cdot 2007}}$

= $\dfrac{1}{{10}}\left( {\dfrac{{12 - 2}}{{2 \cdot 7 \cdot 12}} + \dfrac{{17 - 7}}{{7 \cdot 12 \cdot 17}} + \dfrac{{22 - 12}}{{12 \cdot 17 \cdot 22}} +  \cdots  + \dfrac{{2007 - 1997}}{{1997 \cdot 2002 \cdot 2007}}} \right)$

= $\dfrac{1}{{10}}\left( {\dfrac{1}{{2 \cdot 7}} - \dfrac{1}{{7 \cdot 12}} + \dfrac{1}{{7 \cdot 12}} - \dfrac{1}{{12 \cdot 17}} + \dfrac{1}{{12 \cdot 17}} - \dfrac{1}{{17 \cdot 22}} +  \cdots } \right. + \dfrac{1}{{1997 \cdot 2002}}$

$\left. { - \dfrac{1}{{2002 \cdot 2007}}} \right)$

= $\dfrac{1}{{10}}\left( {\dfrac{1}{{2 \cdot 7}} - \dfrac{1}{{2002 \cdot 2007}}} \right)$

= $\dfrac{{71}}{{20090070}}$

8) $H = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{{2^{2004}}}}$

$ \Rightarrow $ $H + \dfrac{1}{{{2^{2004}}}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{{2^{2004}}}} + \dfrac{1}{{{2^{2004}}}}$

$ \Rightarrow $ $H + \dfrac{1}{{{2^{2004}}}} = 1$

$ \Rightarrow $ $H = 1 - \dfrac{1}{{{2^{2004}}}} = \dfrac{{{2^{2004}} - 1}}{{{2^{2004}}}}$

9) $I = \dfrac{7}{{10}} + \dfrac{7}{{{{10}^2}}} + \dfrac{7}{{{{10}^3}}} +  \ldots $

$I - \dfrac{7}{{10}} = \dfrac{7}{{{{10}^2}}} + \dfrac{7}{{{{10}^3}}} +  \ldots $
$10\left( {I - \dfrac{7}{{10}}} \right) = 10\left( {\dfrac{7}{{{{10}^2}}} + \dfrac{7}{{{{10}^3}}} +  \ldots } \right) = \dfrac{7}{{10}} + \dfrac{7}{{{{10}^2}}} +  \ldots  = I$
$10I - 7 = I$
$9I = 7$
$I = \dfrac{7}{9}$

10) $J = 1 + \dfrac{1}{2}\left( {1 + 2} \right) + \dfrac{1}{3}\left( {1 + 2 + 3} \right) + \dfrac{1}{4}\left( {1 + 2 + 3 + 4} \right) +  \cdots  + $

$ + \dfrac{1}{{16}}\left( {1 + 2 + 3 +  \cdots  + 16} \right)$

= $1 + \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{{2 \cdot 3}}{2} + \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{{3 \cdot 4}}{2} + \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{{4 \cdot 5}}{2} +  \cdots  + \dfrac{1}{{16}}\cdot\dfrac{{16 \cdot 17}}{2}$
= $1 + \dfrac{3}{2} + \dfrac{4}{2} + \dfrac{5}{2} +  \cdots  + \dfrac{{17}}{2}$
= $\dfrac{1}{2}\left( {2 + 3 + 4 + 5 +  \cdots  + 17} \right)$
= $\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{17 \cdot 18}}{2} - 1} \right)$
= $\dfrac{1}{2}\cdot152$
= $76$

Read More

ĐỀ THI TOÁN 6 HỌC KÌ II NĂM HỌC 2011$-$2012 QUẬN 11 TPHCM

ĐỀ THI TOÁN 6 HỌC KÌ II NĂM HỌC 2011$-$2012 QUẬN 11 TPHCM

Bài 1. (3 điểm) Thực hiện phép tính:

a) $\dfrac{5}{{12}} - \dfrac{1}{6} + \dfrac{7}{{12}}$
b) $\dfrac{1}{4}:\dfrac{3}{2} - 25\% $
c) $\dfrac{{ - 2}}{7}\cdot\dfrac{3}{{11}} + \dfrac{{ - 2}}{7}\cdot\dfrac{{19}}{{11}} + \dfrac{{11}}{7}$
d) $2\dfrac{2}{9} - 3\dfrac{1}{8} + 1\dfrac{7}{9}$

Bài 2. (2,5 điểm) Tìm $x$, biết:

a) $x - \dfrac{7}{{10}} = \dfrac{{ - 1}}{5}$
b) $\dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$
c) $\left( {x - \dfrac{3}{4}} \right):7 + \dfrac{5}{4} = 1$

Bài 3. (1 điểm)

a) So sánh: $\dfrac{7}{4}$ và $\dfrac{-3}{5}$
b) Người ta đóng $333$ lít nước khoáng vào loại chai $\dfrac{1}{3}$ lít. Hỏi đóng được tất cả bao nhiêu chai?

Bài 4. (3 điểm) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia $OA$, vẽ các tia $OB$, $OC$ sao cho $\widehat {AOB} = {50^\circ}$, $\widehat {AOC} = {100^\circ}$.

a) Trong ba tia $OA$, $OB$, $OC$ tia nào nằm giữa hai tia còn lại? Vì sao?

b) Tính số đo $\widehat {BOC}$.

c) Chứng tỏ tia $OB$ là tia phân giác của $\widehat {AOC}$.

d) Vẽ tia $OD$ là tia đối của tia $OA$, $Ox$ là tia phân giác của $\widehat {DOC}$. Tính số đo $\widehat {xOB}$.

Bài 5. (0,5 điểm) Tính hợp lý:

$A = \left( {\dfrac{1}{{2011}} + \dfrac{2}{{2010}} + \dfrac{3}{{2009}} + 4} \right):\left( {\dfrac{1}{{2009}} + \dfrac{1}{{2010}} + \dfrac{1}{{2011}} + \dfrac{1}{{2012}}} \right)$

Read More

ĐỀ THI TOÁN 6 HỌC KÌ II NĂM HỌC 2010$-$2011 QUẬN 11 TPHCM

ĐỀ THI TOÁN 6 HỌC KÌ II NĂM HỌC 2010$-$2011 QUẬN 11 TPHCM

Bài 1. (3 điểm) Thực hiện phép tính:

a) $\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{2}$
b) $\left( {0{,}75 - \dfrac{1}{4}} \right):\dfrac{5}{8}$
c) $\dfrac{{ - 7}}{8}\cdot\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{{ - 7}}{8}$
d) $\dfrac{1}{5} + \dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{{ - 5}}{3} + \dfrac{2}{3}$

Bài 2. (2,5 điểm) Tìm x, biết:

a) $x - \dfrac{4}{3} = \dfrac{{ - 5}}{4}$
b) $\dfrac{1}{4} + \dfrac{5}{4}x = \dfrac{3}{8}$
c) $\left( {\dfrac{7}{2} - 3x} \right)\cdot\dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3}$

Bài 3. (2 điểm)

a) So sánh: $\dfrac{-3}{8}$ và $\dfrac{2}{-5}$

b) Tổng kết cuối năm, lớp 6B có $35$ học sinh gồm 3 loại: giỏi, khá, trung bình. Trong đó, số học sinh giỏi bằng $40\%$ số học sinh của lớp, số học sinh khá bằng $\dfrac{9}{7}$ số học sinh giỏi. Tính số học sinh trung bình của lớp 6B.

Bài 4. (2 điểm) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia $Ox$, vẽ hai tia $Oy$, $Oz$ sao cho $\widehat {xOy} = {70^\circ}$, $\widehat {xOz} = {125^\circ}$.

a) Trong ba tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ tia nào nằm giữa hai tia còn lại? Vì sao?

b) Tính số đo góc $yOz$.

c) Vẽ tia $Ot$ là tia đối của tia $Ox$. Tính số đo góc $zOt$.

d) Tia $Oz$ có là tia phân giác của góc $tOy$ không? Vì sao?

Bài 5. (0,5 điểm) Thực hiện phép tính sau:

$A = \left( {1 + \dfrac{1}{{1\cdot3}}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{2\cdot4}}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{3\cdot5}}} \right) \ldots \left( {1 + \dfrac{1}{{17\cdot19}}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{18\cdot20}}} \right)$

Read More

ĐỀ THI TOÁN 6 HỌC KÌ II NĂM HỌC 2009$-$2010 QUẬN 11 TPHCM

ĐỀ THI TOÁN 6 HỌC KÌ II NĂM HỌC 2009$-$2010 QUẬN 11 TPHCM

Bài 1. (2,5 điểm) Thực hiện phép tính:

$A = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{5}$
$B = 1\dfrac{1}{4} \cdot \left( {\dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{5}} \right)$
$C = \dfrac{{ - 4}}{5}:\dfrac{8}{{15}}$

Bài 2. (2,5 điểm) Tìm $x$, cho biết:

a) $x + \dfrac{7}{{10}} = \dfrac{2}{5}$
b) $\dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{5}$
c) $2x - 5 = x - 3$

Bài 3. (2 điểm)

a) Sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn các phân số: $\dfrac{3}{4}$, $-\dfrac{4}{5}$, $\dfrac{5}{6}$, $-\dfrac{2}{3}$.

b) Một lớp 6 có $40$ học sinh. Cuối năm học, số học sinh giỏi chiếm $\dfrac{1}{5}$ số học sinh của lớp, số học sinh khá chiếm $\dfrac{5}{8}$ số học sinh của lớp, còn lại là học sinh trung bình. Tìm số học sinh xếp loại trung bình của lớp.

Bài 4. (1 điểm) Tính giá trị biểu thức:

$C = \left( {1 - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{3}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{4}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{5}} \right) \ldots \left( {1 - \dfrac{1}{{99}}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{100}}} \right)$

$D = \dfrac{{{2^{18}}{3^{16}} - {2^{16}}{3^{15}}}}{{{2^{17}}{3^{17}} + {2^{16}}{3^{15}}}}$

Bài 5. (2 điểm) Cho điểm $O$ trên đường thẳng $xy$. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $xy$, vẽ các tia $Om$, $On$ sao cho $\widehat {xOm} = {58^\circ}$, $\widehat {xOn} = {119^\circ}$.

a) Tính số đo $\widehat {mOn}$, $\widehat {nOy}$

b) Kẻ tia $Ot$ là tia đối của tia $Om$. Tính số đo $\widehat {tOy}$, $\widehat {tOn}$.

Read More

ĐỀ THI TOÁN 6 HỌC KÌ II NĂM HỌC 2008$-$2009 QUẬN 11 TPHCM

ĐỀ THI TOÁN 6 HỌC KÌ II NĂM HỌC 2008$-$2009 QUẬN 11 TPHCM

Bài 1. (3 điểm) Thực hiện phép tính:

$A = \dfrac{2}{3} \cdot \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{7}{4}} \right)$
$B = 6\dfrac{2}{5} - \left( {3\dfrac{1}{2} + 2\dfrac{2}{5}} \right)$
$C = \dfrac{{9 \cdot 13 + 63}}{{9 \cdot 19 - 36}}$

Bài 2. (2 điểm) Tìm $x$, cho biết:

a) $x - \dfrac{3}{{20}} = \dfrac{1}{4}$
b) $\dfrac{5}{6}x + \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{3}$

Bài 3. (2 điểm)

a) So sánh hai phân số: $\dfrac{2}{3}$ và $\dfrac{5}{7}$

b) An có $24$ viên bi, số bi của Hòa bằng $\dfrac{7}{8}$ số bi của An. Hỏi Hòa có bao nhiêu viên bi?

Bài 4. (1 điểm) Tính giá trị biểu thức:

$D = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{{10}} + \dfrac{1}{{15}} + \dfrac{1}{{21}} + \dfrac{1}{{28}} + \dfrac{1}{{36}} + \dfrac{1}{{45}}$

Bài 5. (2 điểm) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia $Ox$, vẽ hai tia $Oy$, $Oz$ sao cho $\widehat {xOy} = {36^\circ}$, $\widehat {xOz} = {144^\circ}$.

a) Tính số đo $\widehat {yOz}$.

b) Kẻ tia $Ot$ là tia đối của tia $Oz$. Hỏi tia $Ox$ có là tia phân giác của $\widehat {yOt}$ không? Vì sao?

Read More

[Algebra 9] Quadratic equation in one variable

❄ QUADRATIC EQUATION IN ONE VARIABLE

The standard form

${a{x^2} + bx + c = 0}$

where x is unknown; a, b and c are real numbers with $a \ne 0$.

General quadratic equation

Calculate $\Delta  = {b^2} - 4ac$

$\Delta  < 0$ $ \Rightarrow $ the equation has no solution

$\Delta  = 0$ $ \Rightarrow $ the equation has a double solution: ${x_{1,2}} = \dfrac{{ - b}}{{2a}}$

$\Delta  > 0$ $ \Rightarrow $ the equation has two distinct solutions: ${x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}}$

+ In the cases when the coefficient b is an even number

* In special cases:

If $b = 0$ or $c = 0$, we convert the quadratic equation in to the product equation.
$a + b + c = 0$ $ \Rightarrow $ ${x_1} = 1$, ${x_2} = \dfrac{c}{a}$
$a - b + c = 0$ $ \Rightarrow $ ${x_1} = -1$, ${x_2} = \dfrac{-c}{a}$

Example. Solve the following equations:
1) ${x^2} + 4x = 0$
eqn $ \Leftrightarrow x\left( {x + 4} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow x = 0\;or\;x + 4 = 0$
$ \Leftrightarrow x = 0\;or\;x = -4$
The equation has two solutions $x = 0,\;x =  -4$.
2) ${x^2} - 9 = 0$
eqn $ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow x - 3 = 0\;or\;x + 3 = 0$
$ \Leftrightarrow x = 3\;or\;x = -3$
The equation has two solutions $x = 3,\;x =  -3$.
3) ${x^2} +1 = 0$
We have:
${x^2} \ge 0$ for all $x \in$ $\mathbb{R}$
$ \Rightarrow {x^2} + 1 \ge 1 > 0$
Therefore, the equation has no solution.
4) ${{x^2} - 5x + 6 = 0}$

$\left( {a = 1,\;b =  - 5,\;c = 6} \right)$

$\Delta  = {\left( { - 5} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0$

The equation has two distinct solutions:

${x_1} = \dfrac{{ - \left( { - 5} \right) - \sqrt 1 }}{{2 \cdot 1}} = 2$, ${x_2} = \dfrac{{ - \left( { - 5} \right) + \sqrt 1 }}{{2 \cdot 1}} = 3$.

5) ${x^2} - \sqrt 5 x + \dfrac{5}{4} = 0$

$\left( {a = 1,\;b =  - \sqrt 5 ,\;c = \dfrac{5}{4}} \right)$

$\Delta  = {\left( { - \sqrt 5 } \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \dfrac{5}{4} = 5 - 5 = 0$

The equation has a double solution: $x = \dfrac{{ - \left( { - \sqrt 5 } \right)}}{{2 \cdot 1}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}$.

6) ${2{x^2} + 3x + 2 = 0}$

$\left( {a = 2,\;b =  3,\;c = 2} \right)$

$\Delta  = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 =  - 7 < 0$
The equation has no solution.
7) ${{x^2} - 3x + 2 = 0}$
$\left( {a = 1,\;b =  -3,\;c = 2} \right)$
The equation of the form $a + b + c = 0$
$ \Rightarrow $ The equation has two solutions ${x_1} = 1$, ${x_2} = \dfrac{2}{1} = 2$
8) ${{x^2} - 4x - 5 = 0}$
$\left( {a = 1,\;b =  -4,\;c = -5} \right)$
The equation of the form $a - b + c = 0$
$ \Rightarrow $ The equation has two solutions ${x_1} = -1$, ${x_2} = \dfrac{{ - \left( { - 5} \right)}}{1} = 5$

Read More