[HÌNH HỌC 9] ĐƯỜNG THẲNG EULER

$\boxed{\text {Bài toán: }}$

Cho O, H, G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm của $\triangle$ABC. Chứng minh rằng O, H, G cùng thuộc một đường thẳng (được gọi là đường thẳng Euler của $\triangle$ABC) và GH = 2GO.

Giải

Chứng minh.

Cách 1:

Vẽ OM $\bot$ BC, ON $\bot$ AC

Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC (đ/lí đường kính vuông góc dây cung)

$ \Rightarrow $ MN là đường trung bình của $\triangle$ABC

$ \Rightarrow $ MN // AB

$ \Rightarrow $ $\widehat {NMC} = \widehat {ABC}$, $\widehat {MNC} = \widehat {BAC}$

$\widehat {OMN} + \widehat {NMC} = {90^0}$, $\widehat {HAB} + \widehat {ABC} = {90^0}$, $\widehat {NMC} = \widehat {ABC}$

$ \Rightarrow $ $\widehat {OMN} = \widehat {HAB}$

$\widehat {ONM} + \widehat {MNC} = {90^0}$, $\widehat {ABH} + \widehat {BAC} = {90^0}$, $\widehat {MNC} = \widehat {BAC}$

$ \Rightarrow $ $\widehat {ONM} = \widehat {ABH}$

$\triangle$OMN và $\triangle$HAB có: $\widehat {OMN} = \widehat {HAB}$ (cmt), $\widehat {ONM} = \widehat {ABH}$ (cmt)

$ \Rightarrow $ $\triangle$OMN $\sim$ $\triangle$HAB (g – g)

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{OM}}{{HA}} = \dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{1}{2}$

$ \Rightarrow $ $OM = \dfrac{1}{2}HA$

Gọi G’ là giao điểm của AM và OH

OM // AH $ \Rightarrow $ $\dfrac{{G'M}}{{G'A}} = \dfrac{{OM}}{{HA}} = \dfrac{1}{2}$

$ \Rightarrow $ G’ là trọng tâm của $\triangle$ABC

$ \Rightarrow $ G’ $ \equiv $ G

Vậy H, G, O thẳng hàng và $\dfrac{{GO}}{{GH}} = \dfrac{{OM}}{{HA}} = \dfrac{1}{2}$

Cách 2:

Gọi M là trung điểm BC. Kẻ đường kính AD.

Ta có: $\widehat {ACD} = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$ \Rightarrow $ CD $\bot$ AC

mà BH $\bot$ AC

$ \Rightarrow $ BH // CD

Tương tự, CH // BD

BHCD là hình bình hành (hai cặp cạnh đối song song)

mà M là trung điểm của BC

$ \Rightarrow $ M là trung điểm HD

$\triangle$ABC có AM là đường trung tuyến (M là trung điểm BC), G là trọng tâm

$ \Rightarrow $ G $\in$ AM và $AG = \dfrac{2}{3}AM$

$\triangle$AHD có AM là đường trung tuyến (M là trung điểm HD), G $\in$ AM và $AG = \dfrac{2}{3}AM$

$ \Rightarrow $ G là trọng tâm của $\triangle$AHD

mà HO là đường trung tuyến của $\triangle$AHD

$ \Rightarrow $ G $\in$ HO và GH = 2GO

 Vậy O, H, G cùng thuộc một đường thẳng và GH = 2GO

* Lưu ý: Do không soạn được kí hiệu đồng dạng như trong SGK của VN nên tôi thay bằng kí hiệu đồng dạng "$\sim$" trong bài viết.