[HÌNH HỌC 9] BÀI TẬP TỔNG HỢP HKII (011)

$\boxed{\text {Bài toán:}}$ Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Lấy $C$, $D$ thuộc nửa đường tròn sao cho cung $AC$ nhỏ hơn ${90}^\circ$, $\widehat {COD} = {90^\circ}$, $M$ là điểm nằm trên đường tròn sao cho $C$ là điểm chính giữa của cung $AM$. Các dây $AM$ và $BM$ cắt $OC$, $OD$ lần lượt tại $E$ và $F$.

a) Tứ giác $OEMF$ là hình gì? Tại sao?

b) Chứng minh $D$ là điểm chính giữa của cung $BM$.

c) Một đường thẳng $d$ tiếp xúc với nửa đường tròn tại $M$ và cắt các tia $OC$ và $OD$ lần lượt tại $I$ và $K$. Chứng minh tứ giác $OBKM$ và tứ giác $OAIM$ nội tiếp được.

d) Giả sử tia $AM$ cắt tia $BD$ tại $S$. Hãy xác dịnh vị trí của $C$ và $D$ trên đường tròn ($O$) sao cho $5$ điểm $M$, $O$, $B$, $K$, $S$ cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn

a) Các em tự làm.

b) Các em tự làm.

c) Các em tự làm.

d) $M$, $O$, $B$, $K$, $S$ cùng thuộc một đường tròn.

$ \Leftrightarrow $ $S$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác $OBKM$.

$ \Leftrightarrow $ $\widehat {MSB} = \widehat {MKB}$.        (1)

Mà $\widehat {MSB} = \widehat {SDK} = \widehat {ODB} = \widehat {OBD}$, $\widehat {MKB} = 2\widehat {OKB} = 2\widehat {OBF}$.

(1) $ \Leftrightarrow $ $\widehat {OBD} = 2\widehat {OBF}$.

$ \Leftrightarrow $ $\widehat {FBD} = \widehat {OBF}$.

$ \Leftrightarrow $ $\triangle OBD$ cân tại $B$ (có $BF$ vừa là đường cao vừa là phân giác)

$ \Leftrightarrow $ $OB = BD$.               (2)

Mà $OB = OD$.

(2) $ \Leftrightarrow $ $OB = OD = BD$.

$ \Leftrightarrow $ $\triangle OBD$ đều.

$ \Leftrightarrow $ $\widehat {BOD} = {60^\circ}$.

$ \Leftrightarrow $ $\widehat {MOD} = {60^\circ}$.

$ \Leftrightarrow $ $\triangle MOD$ đều ($OM = OD$, $\widehat {MOD} = {60^\circ}$).

$ \Leftrightarrow $ $\widehat {MOC} = \widehat {AOC} = {30^\circ}$.

$ \Leftrightarrow $ $\widehat {CAB} = {75^\circ}$.

Xem đáp án