[HÌNH HỌC 9] CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP HỌC KÌ II VÀ TUYỂN SINH 10 (CT CŨ)

$\boxed{\text {Bài toán 1: }}$ (Đề thi HKII 2008-2009 Q11 TpHCM)

Cho tam giác $ABC$ có các góc đều nhọn và có ba đường cao là $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh các tứ giác $BCEF$, $AEHF$ là các tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh $EH \cdot EB = EA \cdot EC$.

c) Chứng minh $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $DEF$.

d) Cho $AD = 5$, $BD = 3$, $CD = 4$. Tính diện tích tam giác $BHC$.

$\boxed{\text {Bài toán 2: }}$ (Đề thi HKII 2009-2010 Q11 TpHCM)

Cho đường tròn tâm $O$, đường kính $AB = 8$ cm. Gọi $Ax$, $By$ lần lượt là các tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của đường tròn $(O)$. Qua điểm $M$ thuộc $(O)$ vẽ tiếp tuyến thứ ba của đường tròn $(O)$ ($M$ là tiếp điểm, $M$ khác $A$ và $B$). Tiếp tuyến này cắt $Ax$ tại $C$, cắt $By$ tại $D$ ($AC > BD$).

a) Chứng minh các tứ giác $OACM$, $OBDM$ là các tứ giác nội tiếp.

b) $OC$ cắt $AM$ tại $E$, $OD$ cắt $BM$ tại $F$. Tứ giác $OEMF$ là hình gì?

c) Gọi $I$ là trung điểm của $OC$ và $K$ là trung điểm của $OD$. Chứng minh tứ giác $OIMK$ là tứ giác nội tiếp.

d) Cho $AC + BD = 10$ cm. Tính diện tích tứ giác $OIMK$.

$\boxed{\text {Bài toán 3: }}$ (Đề thi HKII 2010-2011 Q11 TpHCM)

Cho đường tròn tâm $O$, bán kính $R$ và một điểm $A$ ở ngoài đường tròn $(O)$ cách tâm $O$ một khoảng bằng $2R$. Vẽ đường thẳng $(d)$ vuông góc với $OA$ tại $A$. Từ một điểm $M$ trên $(d)$ vẽ hai tiếp tuyến $MD$, $ME$ đến đường tròn $(O)$ với $D$, $E$ là hai tiếp điểm.

a) Chứng minh tứ giác $MDOE$ là tứ giác nội tiếp và 5 điểm $M$, $A$, $D$, $E$, $O$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng $DE$ cắt $MO$ tại $N$ và cắt $OA$ tại $B$. Chứng minh $OB \cdot OA = ON \cdot OM$. Suy ra độ dài $OB$ không đổi khi $M$ lưu động trên đường thẳng $(d)$.

c) Cho $MA = \dfrac{{3R}}{2}$. Tính diện tích tứ giác $ABNM$ theo $R$.

$\boxed{\text {Bài toán 4: }}$ (Đề thi HKII 2011-2012 Q11 TpHCM)

Cho $\triangle ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp trong đường tròn tâm $O$. Kẻ đường cao $AH$ và đường kính $AD$. Gọi $E$ là chân đường vuông góc hạ từ $B$ xuống $AD$ ($BE$ $ \bot $ $AD$).

a) Chứng minh tứ giác $AEHB$ nội tiếp được trong đường tròn, xác định tâm $I$ của đường tròn này.

b) Chứng minh: $HB \cdot AC = AH \cdot DC$.

c) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh: $HE$ $ \bot $ $AC$ và $ME = MH$.

d) Đường tròn tâm $M$, bán kính $ME$ cắt $AD$ tại điểm thứ hai là $F$. Chứng minh: $CF$ $ \bot $ $AD$.

$\boxed{\text {Bài toán 5: }}$ (Đề thi HKII 2012-2013 Q11 TpHCM)

Cho $\triangle ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp trong đường tròn tâm $O$. Các đường cao $AD$, $BE$, $CF$ giao nhau tại $H$.

a) Chứng minh tứ giác $BFEC$ nội tiếp được trong đường tròn, xác định tâm $I$ của đường tròn này.

b) Chứng minh: $AE \cdot BC = AB \cdot EF$.

c) Gọi $M$ là trung điểm của $EF$, $N$ là giao điểm của $OA$ và $EF$. Chứng minh: $\triangle ANM$ và $\triangle ADI$ đồng dạng.

d) Chứng minh các đường thẳng $AI$, $OH$ và trung tuyến $BK$ của $\triangle ABC$ đồng qui.

$\boxed{\text {Bài toán 6: }}$ (Đề thi HKII 2013-2014 Q11 TpHCM)

Cho $\triangle ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp trong đường tròn tâm $O$. Các đường cao $BE$, $CF$ giao nhau tại $H$.

a) Chứng minh tứ giác $BCEF$ nội tiếp được trong đường tròn, xác định tâm $I$ của đường tròn này.

b) Hai đường thẳng $EF$ và $BC$ cắt nhau tại $M$. Chứng minh $MF \cdot ME = MB \cdot MC$.

c) AM cắt đường tròn $(O)$ tại $K$. Chứng minh tứ giác $KFEA$ nội tiếp.

d) Chứng minh 3 điểm $K$, $H$, $I$ thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 7: }}$ (Đề thi HKII 2014-2015 Q11 TpHCM)

Cho $\triangle ABC$ nhọn ($AB < AC$). Đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ cắt $AC$, $AB$ lần lượt tại $E$, $F$. Gọi $H$ là giao điểm của $BE$ và $CF$.

a) Tính số đo các góc $BFC$, $BEC$ và chứng minh tứ giác $AEHF$ nội tiếp.

b) Tia $AH$ cắt $BC$ tại $D$ và cắt $(O)$ tại $2$ điểm $M$, $N$ ($M$ nằm giữa $A$, $H$). Chứng minh $\triangle BDH$ và $\triangle BEC$ đồng dạng, từ đó suy ra $BH \cdot BE = BN^2$.

c) Tiếp tuyến tại $F$ của $(O)$ cắt $AH$ tại $I$. Chứng minh tứ giác $IEOD$ nội tiếp.

d) Chứng minh: $\dfrac{HM}{AM} = \dfrac{HD}{ND}$.

$\boxed{\text {Bài toán 8: }}$ (Đề thi HKII 2015-2016 Q11 TpHCM)

Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp trong đường tròn tâm $O$, đường cao $AH$. Từ $H$ vẽ $HE$, $HF$ lần lượt vuông góc với $AB$, $AC$.

a) Chứng minh: tứ giác $AEHF$ nội tiếp.

b) Chứng minh: $\widehat {AEF} = \widehat {ACB}$ rồi suy ra tứ giác $BEFC$ nội tiếp.

c) Chứng minh rằng đường thẳng $(d)$ qua $A$ và vuông góc với $EF$ đi qua $1$ điểm cố định.

d) Đường thẳng $(d)$ cắt $BC$ tại $I$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $I$ xuống $AB$, $AC$. Chứng minh ba đường thẳng $AH$, $EF$, $MN$ đồng quy.

$\boxed{\text {Bài toán 9: }}$ (Đề thi HKII 2016-2017 Q11 TpHCM)

Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB = BC$). Đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $E$, $F$. Gọi $H$ là giao điểm của $BF$ và $CE$; $AH$ cắt $BC$ tại $D$.

a) Chứng minh tứ giác $BEFC$ nội tiếp và $AD$ $\bot$ $BC$.

b) Chứng minh tứ giác $BEHD$ nội tiếp và $DA$ là tia phân giác của góc $EDF$.

c) Gọi $AI$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ ($I$ là tiếp điểm). Chứng minh $\widehat {AHI} = \widehat {AID}$.

d) Đường tròn đường kính $EC$ cắt $AC$ tại $M$. Gọi $K$ là giao điểm của $BM$ và đường tròn $(O)$. Chứng minh: $KC$ đi qua trung điểm của $HF$.

$\boxed{\text {Bài toán 10: }}$

Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$). Kẻ đường cao $AH$. Trên tia đối của tia $HB$ lấy điểm $D$ sao cho $HD = HB$. Từ $C$ vẽ $CE$ $\bot$ $AD$ tại $E$.

a) Chứng minh $AHEC$ nội tiếp.

b) Chứng minh $\triangle AHE$ cân và $HE^2=HD \cdot HC$.

c) Tia $CE$ cắt tia $AH$ tại $K$. Chứng minh $AB \parallel DK$ và tứ giác $ABKD$ là hinh thoi.

d) Gọi $I$ là trung điểm của $AC$. $HI$ cắt $AE$ tại $J$. Chứng minh $DC \cdot HJ = 2IJ \cdot HB$.

$\boxed{\text {Bài toán 11: }}$

Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Lấy $C$, $D$ thuộc nửa đường tròn sao cho cung $AC$ nhỏ hơn $90^\circ$, $\widehat {COD} = 90^\circ$, $M$ là điểm nằm trên đường tròn sao cho $C$ là điểm chính giữa của cung $AM$. Các dây $AM$ và $BM$ cắt $OC$, $OD$ lần lượt tại $E$ và $F$.

a) Tứ giác $OEMF$ là hình gì? Tại sao?

b) Chứng minh $D$ là điểm chính giữa của cung $BM$.

c) Một đường thẳng $d$ tiếp xúc với nửa đường tròn tại $M$ và cắt các tia $OC$ và $OD$ lần lượt tại $I$ và $K$. Chứng minh tứ giác $OBKM$ và tứ giác $OAIM$ nội tiếp được.

d) Giả sử tia $AM$ cắt tia $BD$ tại $S$. Hãy xác dịnh vị trí của $C$ và $D$ trên đường tròn $(O)$ sao cho $5$ điểm $M$, $O$, $B$, $K$, $S$ cùng thuộc một đường tròn.

$\boxed{\text {Bài toán 12: }}$

Cho đường tròn $(O)$ có hai đường kính $AB$, $CD$ không vuông góc với nhau.

a) Chứng minh tứ giác $ACBD$ là hình chữ nhật.

b) Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O)$ cắt các đường thẳng $BC$, $BD$ lần lượt tại $E$, $F$. Chứng minh tứ giác $ECDF$ nội tiếp.

c) Từ $C$ và $D$ vẽ các tiếp tuyến với đường tròn $(O)$ cắt $EF$ theo thứ tự tại $M$ và $N$. Chứng minh $MN = \dfrac{1}{2}EF$.

d) Gọi $I$ là chân đường vuông góc hạ từ $M$ xuống $BN$; $H$ là giao điểm của $AB$ và $MI$. Chứng minh $HA = HO$.

$\boxed{\text {Bài toán 13: }}$

Trên nửa đường tròn $(O; R)$, đường kính $AB$, lấy điểm $M$ sao cho $AM < BM$. Tiếp tuyến tại $M$ của nửa đường tròn $(O)$ cắt hai tiếp tuyến $Ax$, $By$ ($A$, $B$ là tiếp điểm) của nửa đường tròn $(O)$ lần lượt tại $C$ và $D$.

a) Chứng minh $AC + BD = CD$ và $\widehat {COD} = {90^\circ}$

b) Các tia $AM$, $BM$ cắt hai tiếp tuyến $By$ và $Ax$ lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh $CD = \dfrac{{AF + BE}}{2}$

c) Gọi $N$ là giao điểm của $OF$ và $AD$. Chứng minh: 5 điểm $M$, $N$, $O$, $B$, $D$ cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn này.

d) Gọi $K$ là hình chiếu của $M$ lên tiếp tuyến $By$ $(K \in BD)$, biết $AB = DB = 10$ cm. Tính ${S_{\triangle MKB}}$.

$\boxed{\text {Bài toán 14: }}$

Cho $\triangle ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $D$, $E$ theo thứ tự là điểm chính giữa của các cung $AB$, $AC$ và giao điểm của $DE$ với $AB$, $AC$ theo thứ tự là $H$, $K$.

a) Chứng minh $\triangle AHK$ cân.

b) Gọi $I$ là giao điểm của $BE$ với $CD$. Chứng minh $AI$ $\bot$ $DE$.

c) Chứng minh tứ giác $CEKI$ nội tiếp đường tròn.

d) Chứng minh $IK \parallel AB$.

$\boxed{\text {Bài toán 15: }}$

Cho $\triangle ABC$ có 3 góc nhọn, ba đường cao $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh tứ giác $BFEC$ nội tiếp. Xác định tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BFEC$.

b) Chứng minh $AB \cdot AF = AC \cdot AE$.

c) Tiếp tuyến tại $F$ của $(O)$ cắt $AH$ tại $S$. Chứng minh $S$ là trung điểm của $AH$ và $SE$ là tiếp tuyến của $(O)$.

d) Kẻ tiếp tuyến $AM$ của $(O)$ ($M$ là tiếp điểm). Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle MHD$. Chứng minh $M$, $I$, $O$ thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 16: }}$

Cho $\triangle ABC$ nhọn ($AB > AC$), vẽ đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ cắt $BC$ tại $D$ và $AC$ tại $E$. Gọi $H$ là giao điểm của $AD$ và $BE$.

a) Chứng minh $CE \cdot CA = CD \cdot CB$.

b) Chứng minh tứ giác $HDCE$ nội tiếp.

c) Đường thẳng $CH$ cắt $AB$ tại $F$. Cho $FA = 6$ cm, $FB = 15$ cm, $FH = 5$ cm. Tính diện tích $\triangle ABC$.

d) Từ $C$ vẽ đường thẳng song song $AD$ cắt $BE$ tại $M$, từ $C$ vẽ đường thẳng song song $BE$ cắt $AD$ tại $N$. Chứng minh $MN$ $\bot$ $CO$.

$\boxed{\text {Bài toán 17: }}$

Cho $\triangle ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt đường thẳng $BC$ tại $M$. Vẽ đường cao $BF$ của $\triangle ABC$. Từ $F$ vẽ đường thẳng song song với $MA$ cắt $AB$ tại $E$.

a) Chứng minh $MA^2 = MB \cdot MC$. Suy ra $\dfrac{MC}{MB} = \dfrac{AC^2}{AB^2}$.

b) $CE$ cắt $BF$ tại $H$. Chứng minh tứ giác $BEFC$ nội tiếp. Suy ra $AH$ vuông góc $BC$ tại $D$.

c) Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh 4 điểm $E$, $F$, $D$, $I$ cùng nằm trên một đường tròn.

d) Từ $H$ vẽ đường thẳng vuông góc với $HI$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $P$ và $Q$. Chứng minh $H$ là trung điểm của $PQ$.

$\boxed{\text {Bài toán 18: }}$

Cho $\triangle ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$, tia phân giác của $\widehat {BAC}$ cắt $BC$ tại $M$, cắt $(O)$ tại $N$. Từ $M$ kẻ $MK$ $\bot$ $AB$ và $ME$ $\bot$ $AC$.

a) Chứng minh tứ giác $AKME$ nội tiếp và $\triangle AKE$ cân.

b) Chứng minh $AB \cdot AC = AM \cdot AN$ suy ra $AM^2 = AB \cdot AC - MB \cdot MC$.

c) Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt đường thẳng $BC$ tại $F$. Từ $F$ kẻ tiếp tuyến $FD$ với $(O)$ ($D$ khác $A$). Chứng minh $DM$ là tia phân giác của $\widehat {BDC}$.

d) Chứng minh diện tích tứ giác $AKNE$ và diện tích tam giác $ABC$ bằng nhau.

$\boxed{\text {Bài toán 19: }}$

Cho $\triangle ABC$ nhọn ($AB > AC$), vẽ đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $F$ và $E$. Gọi $H$ là giao điểm của $BE$ và $CF$, $S$ là giao điểm của $EF$ và $BC$. Kéo dài $AH$ cắt $BC$ tại $I$.

a) Chứng minh tứ giác $CEFB$ và tứ giác $AEIB$ nội tiếp.

b) Chứng minh $H$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle IEF$ và tứ giác $EFOI$ nội tiếp.

c) Gọi $M$ là giao điểm của $AH$ với $(O)$ ($M$ nằm giữa $A$ và $H$). Chứng minh $SM$ là tiếp tuyến của $(O)$.

d) Đường thẳng $BE$ cắt đường tròn đường kính $AC$ tại $Q$ ($E$ nằm giữa $B$, $Q$). Chứng minh $CM = CQ$.

$\boxed{\text {Bài toán 20: }}$

Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$) có đường cao $AH$. Vẽ đường tròn tâm $I$ đường kính $AH$ lần lượt cắt các cạnh $AB$, $AC$ và đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ theo thứ tự tại $K$, $S$, $E$ ($E$ khác $A$).

a) Chứng minh tứ giác $AKHS$ là hình chữ nhật. Từ đó suy ra ba điểm $K$, $I$, $S$ thẳng hàng.

b) Chứng minh $KS$ $\bot$ $AO$.

c) Gọi $P$ là giao điểm của hai đường thẳng $KS$ và $BC$. Chứng minh $PK \cdot PS = PO^2 - OA^2$.

d) Chứng minh ba điểm $A$, $E$, $P$ thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 21: }}$

Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB = 2R$ và điểm $C$ trên nửa đường tròn sao cho $CA > CB$. Kẻ $CH$ vuông góc với $AB$ tại $H$. Đường tròn tâm $K$ đường kính $CH$ cắt $CA$, $CB$ lần lượt tại $D$, $E$ và cắt nửa đường tròn $(O)$ ở điểm thứ hai là $F$.

a) Chứng minh $CH = DE$ và $CA \cdot CD = CB \cdot CE$.

b) Chứng minh tứ giác $ADEB$ nội tiếp và $OC$ vuông góc với $DE$.

c) Hai đường thẳng $CF$ và $AB$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh $Q$ là giao điểm của đường thẳng $DE$ với đường tròn ngoại tiếp $\triangle OKF$.

d) Trường hợp $AC = R\sqrt 3 $, hãy tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ADEB$ theo $R$.

$\boxed{\text {Bài toán 22: }}$

Cho $\triangle ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ có $\widehat A = {60^\circ}$ và $AB < AC$. Vẽ các đường cao $BE$ và $CF$ của $\triangle ABC$.

a) Chứng minh rằng tứ giác $BFEC$ nội tiếp. Xác định tâm $I$ của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BFEC$.

b) Chứng minh $\triangle IEF$ đều.

c) Gọi $K$ là trung điểm của $EF$. Chứng minh $IK \parallel OA$.

d) Tính tỉ số $\dfrac{AK}{AI}$.

$\boxed{\text {Bài toán 23: }}$

Cho $\triangle ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Vẽ ba đường cao $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là điểm đối xứng của $H$ qua $BC$.

a) Chứng minh tứ giác $CDHE$ và tứ giác $ABMC$ nội tiếp.

b) Chứng minh $CM \cdot CF + BM \cdot BE = BC^2$.

c) Gọi $Q$ là trung điểm của $AB$. Chứng minh $QE$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\triangle EHC$.

d) Hai tia $BE$ và $CF$ cắt đường tròn $(O)$ lần lượt tại $N$ và $P$. Tính giá trị biểu thức $T = \dfrac{AM}{AD} + \dfrac{BN}{BE} + \dfrac{CP}{CF}$.

$\boxed{\text {Bài toán 24: }}$

Cho $\triangle ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD$, $BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh tứ giác $BFEC$ nội tiếp, xác định tâm $M$ của đường tròn này.

b) Gọi $N$ là điểm đối xứng của $H$ qua $D$. Chứng minh $N$ $\in$ $(O; R)$.

c) Kẻ $CI$ vuông góc với $OA$ tại $I$. Chứng minh: $\triangle AFI$ đồng dạng $\triangle AHC$.

d) Chứng minh $F$, $I$, $M$ thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 25: }}$

Cho $\triangle ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ ($AB < AC$), các đường cao $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. Đường trung trực của đoạn $BC$ cắt tia phân giác của $\widehat {BAC}$ tại $I$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

a) Chứng minh $I$ thuộc đường tròn $(O)$ và $AH = 2OM$.

b) Chứng minh tứ giác $FDME$ nội tiếp.

c) Đường thẳng kẻ từ $H$ và vuông góc với $EF$ cắt $OM$ tại $K$. Chứng minh $M$ là trung điểm của $OK$.

d) Gọi $Q$ là hình chiếu của $I$ lên $AC$, $N$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $MQ$ và $AB$. Chứng minh $\widehat {INP} = {90^\circ}$.

$\boxed{\text {Bài toán 26: }}$

Cho $\triangle ABC$ nhọn nội tiếp trong đường tròn $(O)$ ($AB < AC$). Hai đường cao $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh tứ giác $BCEF$ nội tiếp, xác định tâm $I$ của đường tròn này.

b) Tia $BE$ cắt $(O)$ tại $K$. Chứng minh $CH = CK$.

c) Tia $AH$ cắt $BC$ tại $D$. Gọi $M$ là trung điểm $AC$. Chứng minh tứ giác $DFEM$ nội tiếp.

d) Gọi $J$ là chân đường vuông góc hạ từ $B$ xuống đường kính $AN$ của $(O)$. Chứng minh $\triangle IJD$ cân.

$\boxed{\text {Bài toán 27: }}$

Cho $\triangle ABC$ ($AB < AC$) có ba góc nhọn nội tiếp $(O)$ và đường cao $AH$ ($H$ $\in$ $BC$). Vẽ đường kính $AD$ của $(O)$.

a) Chứng minh $AB \cdot AC = AD \cdot AH$.

b) Đường tròn đường kính $AH$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $E$, $F$. $AD$ cắt $EF$, $BC$ lần lượt tại $I$, $K$. Chứng minh tứ giác $BEFC$ nội tiếp và $AD$ $\bot$ $EF$.

c) Vẽ $KM$ $\bot$ $AB$ tại $M$ và $KN$ $\bot$ $AC$ tại $N$. Chứng minh $\dfrac{HE}{HF} \cdot \dfrac{KM}{KN} = 1$.

d) Khi $\widehat {BAH} = \dfrac{\widehat {BAC}}{3}$, $AH = 6$ cm, $BH = 3$ cm. Tính diện tích $\triangle ABC$.

$\boxed{\text {Bài toán 28: }}$

Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O; R)$ có $BE$, $CF$ là các đường cao cắt nhau tại $H$ ($E$ thuộc $AC$, $F$ thuộc $AB$).

a) Chứng minh $\widehat {AEF} = \widehat {ABC}$.

b) Chứng minh $OA$ $\bot$ $EF$.

c) Chứng minh $H$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle DEF$.

d) Đường thẳng $EF$ cắt đường tròn $(O)$ tại $N$ và $M$ ($F$ nằm giữa $N$, $E$). Chứng minh $AN$ là một tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\triangle NHD$.

$\boxed{\text {Bài toán 29: }}$

Cho $\triangle ABC$ có 3 góc nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O; R)$. Kẻ hai đường cao $BD$ và $CE$. Tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của $(O)$ cắt nhau tại $M$.

a) Chứng minh tứ giác $BEDC$ và $OBMC$ nội tiếp.

b) Từ $M$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $(O)$ tại $N$ và $P$ ($N$ nằm giữa $M$ và $P$). Chứng minh $MN \cdot MP= MC \cdot MB$.

c) Gọi $K$ là giao điểm của $MP$ và $AC$. Chứng minh $K$ là trung điểm của $PN$.

d) Cho $\widehat {BAC} = {60^\circ}$. Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $OBMC$. Tính diện tích phần chung của hai đường tròn $(O)$ và $(I)$ theo $R$.

$\boxed{\text {Bài toán 30: }}$

Cho $\triangle ABC$ nhọn có $\widehat A = {60^\circ}$ nội tiếp đường tròn $(O; R)$. Vẽ hai tiếp tuyến $SB$, $SC$ với $(O)$ ($B$, $C$ là hai tiếp điểm). Gọi $M$ là giao điểm của $BC$ và $SO$.

a) Chứng minh rằng tứ giác $OBSC$ nội tiếp đường tròn tâm $I$. Xác định $I$.

b) Kẻ bán kính $IE$ $\bot$ $OB$. Gọi $F$ là điểm đối xứng của $E$ qua $BC$. Chứng minh rằng $AF$ là tia phân giác của $\widehat {BAI}$.

c) Kẻ $CH$ $\bot$ $AB$ ($H$ $\in$ $AB$). Gọi $T$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $CH$, $MC$, $BS$. Tia $AT$ cắt $(O)$ tại $N$. Chứng minh rằng $PQ \parallel CN$.

d) Tính diện tích $\triangle FBE$ theo $R$.

$\boxed{\text {Bài toán 31: }}$

Cho $\triangle ABC$ có ba góc nhọn ($AB < AC$) nội tiếp $(O; R)$, vẽ ba đường cao $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh tứ giác $BFEC$ nội tiếp và xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BFEC$.

b) Đường thẳng $EF$ lần lượt cắt $AD$ tại $I$ và $CB$ tại $K$. Chứng minh $DA$ là phân giác của $\widehat {FDE}$, từ đó suy ra $KE \cdot FI = IE \cdot FK$.

c) Gọi $T$ là điểm đối xứng của $A$ qua $E$, $KT$ cắt $AD$ tại $P$. Chứng minh $PF \parallel AC$.

d) Tính số đo $\widehat {BAC}$ nếu biết tứ giác $BOTC$ nội tiếp một đường tròn.

$\boxed{\text {Bài toán 32: }}$

Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp $(O; R)$ có các đường cao $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $I$ và $K$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $BC$, $AH$.

a) Chứng minh các tứ giác $AEHF$ và $BCEF$ nội tiếp được. Xác định các đường tròn ngoại tiếp.

b) $AH$ cắt $BC$ tại $D$. Chứng minh $\triangle DEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $IK$.

c) Các đường thẳng $EF$ và $BC$ cắt nhau tại $M$. Đoạn thẳng $AM$ cắt $(O)$ tại $N$. Chứng minh $HN$ $\bot$ $AM$.

d) Kẻ tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$ cắt đường thẳng $ME$ tại $S$. Chứng minh các điểm $B$, $S$, $N$, $E$, $I$ cùng thuộc một đường tròn.

$\boxed{\text {Bài toán 33: }}$

Cho $\triangle ABC$ có ba góc nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$ đường cao $BE$ và $CF$ chúng cắt nhau tại $H$ và cắt $(O)$ tại $P$ và $Q$, đường thẳng $PQ$ cắt $AB$, $AC$ tại $M$, $N$ và cắt tia $CB$ kéo dài tại $K$.

a) Chứng minh tứ giác $AEHF$ nội tiếp và $PQ \parallel EF$.

b) Chứng minh 4 điểm $B$, $M$, $N$, $C$ cùng thuộc một đường tròn và $KQ \cdot KP = KM \cdot KN$.

c) Gọi $I$ là trung điểm $BC$ và đường tròn tâm $D$ ngoại tiếp $\triangle HEF$ cắt $(O)$ tại $S$. Chứng minh $S$, $H$, $I$ thẳng hàng.

d) Nếu $BC = 4$ cm, $\widehat {BCF} = {15^\circ}$, $\widehat {BCE} = {45^\circ}$. Tính ${S_{\triangle ABC}}$.

$\boxed{\text {Bài toán 34: }}$

Cho $\triangle ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ ($AB < AC$). Hai đường cao $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. Tia $BE$ cắt $(O)$ tại $M$ ($M$ không trùng với $B$), tia $CF$ cắt $(O)$ tại $N$ ($N$ không trùng với $C$).

a) Chứng minh $CM = CH$.

b) Tia $MN$ cắt $AB$, $AC$ và tia $CB$ lần lượt tại $P$, $Q$, $R$. Chứng minh $RN \cdot RM = RP \cdot RQ$.

c) Tia $AH$ cắt $BC$ tại $D$. Gọi $K$ là trung điểm $AC$. Chứng minh tứ giác $KEFD$ nội tiếp.

d) Đường tròn ngoại tiếp $\triangle BDF$ cắt $(O)$ tại $T$ ($T$ không trùng với $B$). Chứng minh $H$, $K$, $T$ thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 35: }}$

Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AD$. Gọi $M$ là một điểm di động trên cung nhỏ $AB$ ($M$ không trùng với các điểm $A$ và $B$).

a) Chứng minh $MD$ là đường phân giác của $\widehat {BMC}$.

b) Gọi $F$ là giao điểm của $AB$ và $MC$. Chứng minh $\dfrac{1}{{MF}} = \dfrac{1}{{MA}} + \dfrac{1}{{MB}}$.

c) Cho $AD = 2R$. Tính diện tích tứ giác $ABDC$ theo $R$.

d) Gọi $K$ là giao điểm của $AB$ và $MD$, $H$ là giao điểm của $AD$ và $MC$. Chứng minh ba đường thẳng $AM$, $BD$, $HK$ đồng qui.

$\boxed{\text {Bài toán 36: }}$

Cho điểm $A$ nằm bên ngoài đường tròn $(O; R)$, từ $A$ kẻ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ ($B$, $C$ là hai tiếp điểm) và cát tuyến $ADE$ đến $(O)$ ($D$ nằm giữa $A$, $E$). Gọi $H$ là trung điểm của $DE$.

a) Chứng minh 5 điểm $A$, $B$, $H$, $O$, $C$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $HA$ là tia phân giác của $\widehat {BHC}$.

c) $DE$ cắt $BC$ tại $I$. Chứng minh $AB^2 = AI \cdot AH$.

d) Cho $AB = R\sqrt 3 $, $OH = \dfrac{R}{2}$. Tính $IH$ theo $R$.

$\boxed{\text {Bài toán 37: }}$

Cho đường tròn $(O)$ và điểm $A$ nằm ngoài $(O)$. Từ $A$ vẽ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ của đường tròn $(O)$ ($B$ và $C$ là hai tiếp điểm). Gọi $H$ là giao điểm của $AO$ và $BC$. Qua $A$ vẽ cát tuyến $ADE$ của đường tròn $(O)$ ($D$ và $E$ thuộc đường tròn $(O)$) sao cho đường thẳng $AE$ cắt đoạn thẳng $HB$ tại $I$. Gọi $M$ là trung điểm của dây cung $DE$.

a) Chứng minh $AB^2 = AD \cdot AE$.

b) Chứng minh 5 điểm $A$, $B$, $M$, $O$, $C$ cùng thuộc một đường tròn.

c) Chứng minh tứ giác $OHDE$ nội tiếp.

d) Trên tia đối của tia $HD$ lấy điểm $F$ sao cho $H$ là trung điểm $DF$. Tia $AO$ cắt đường thẳng $EF$ tại $K$. Chứng minh $IK /\parallel DF$.

$\boxed{\text {Bài toán 38: }}$

Cho đường tròn $(O; R)$ và một điểm $A$ ở ngoài đường tròn $(O)$. Kẻ các tiếp tuyến $AB$, $AC$ với đường tròn $(O)$ ($B$, $C$ là các tiếp điểm). Gọi $H$ là trung điểm của $BC$.

a) Chứng minh $A$, $H$, $O$ thẳng hàng và các điểm $A$, $B$, $O$, $C$ thuộc một đường tròn.

b) Kẻ đường kính $BD$ của đường tròn $(O)$, vẽ $CK$ vuông góc với $BD$. Chứng minh $AC \cdot CD = CK \cdot AO$.

c) Tia $AO$ cắt đường tròn $(O)$ theo thứ tự tại $M$ và $N$. Chứng minh $MH \cdot AN = AM \cdot HN$.

d) $AD$ cắt $CK$ tại $I$. Chứng minh $I$ là trung điểm của $CK$.

$\boxed{\text {Bài toán 39: }}$

Cho điểm $A$ ở ngoài đường tròn $(O)$. Từ $A$ vẽ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ ($B$, $C$ là hai tiếp điểm) và một cát tuyến $ADE$ đến $(O)$ ($D$ nằm giữa $A$ và $E$).

a) Chứng minh $AB^2 = AD \cdot AE$.

b) Gọi $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$. Chứng minh tứ giác $DEOH$ nội tiếp.

c) Chứng minh $HB$ là tia phân giác của $\widehat {EHD}$.

d) Qua $D$ vẽ đường thẳng song song với $EB$ cắt $BC$ tại $P$ và cắt $AB$ tại $Q$. Chứng minh $D$ là trung điểm $PQ$.

$\boxed{\text {Bài toán 40: }}$

Cho đường tròn $(O; R)$ và một điểm $A$ ở ngoài đường tròn $(O)$. Kẻ các tiếp tuyến $AB$, $AC$ với đường tròn $(O)$ ($B$, $C$ là tiếp điểm). Kẻ dây $BD$ của đường tròn $(O)$ và song song với $AC$. Tia $AD$ cắt $(O)$ tại $E$. Gọi $I$ là trung điểm $DE$.

a) Chứng minh $AB \cdot AC = AD \cdot AE$.

b) Tia $AO$ cắt đường tròn $(O)$ theo thứ tự tại $M$, $N$ và cắt $BC$ tại $H$. Tia $BI$ cắt $(O)$ tại $K$. Chứng minh $CK$ $\bot$ $OI$ và $MH \cdot AN = AM \cdot HN$.

c) Tia $BE$ cắt $AC$ tại $S$. Chứng minh $S$ là trung điểm của $AC$.

d) Chứng minh $BC$ là đường phân giác của $\widehat {DHE}$.

$\boxed{\text {Bài toán 41: }}$

Cho đường tròn $(O; R)$. Lấy một điểm $A$ nằm trên $(O)$. Trên tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O)$, lấy điểm $M$ sao cho $AM = 2R$. Vẽ dây $AB$ vuông góc $OM$ tại $H$.

a) Chứng minh $MB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ và tứ giác $MAOB$ nội tiếp.

b) Vẽ đường kính $BE$, gọi $Q$ là giao điểm của $ME$ và $(O)$. Chứng minh $AQ \cdot BE = AE \cdot BQ$.

c) Gọi $I$ là trung điểm của $EQ$, $K$ là trung điểm của $MB$. Chứng minh $IK$ vuông góc với $HQ$.

d) $ME$ cắt $AB$ tại $S$. Tính diện tích $MSOB$.

$\boxed{\text {Bài toán 42: }}$

Từ điểm $M$ ở ngoài đường tròn $(O)$, vẽ hai tiếp tuyến $MA$, $MB$ với đường tròn $(O)$. Gọi $I$ là trung điểm của $AM$, $IB$ cắt $(O)$ tại $C$ ($C$ khác $B$), $MC$ cắt $(O)$ tại $D$ ($D$ khác $C$). Gọi $E$ là trung điểm của $CD$, $H$ là giao điểm của $OM$ và $AB$.

a) Chứng minh năm điểm $M$, $A$, $O$, $E$, $B$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $BC \cdot BI = BA \cdot BH$.

c) Từ $A$ vẽ đường thẳng song song với $CD$ cắt đường tròn $(O)$ tại $F$. Chứng minh ba điểm $B$, $E$, $F$ thẳng hàng.

d) Chứng minh $CA$ là tia phân giác của $\widehat {ICD}$.

$\boxed{\text {Bài toán 43: }}$

Cho điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O; R)$. Vẽ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ đến $(O; R)$ ($B$, $C$ là các tiếp điểm). Vẽ đường kính $BD$, tiếp tuyến tại $D$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $E$, $AD$ cắt $(O)$ tại $P$ ($P$ khác $D$).

a) Chứng minh $DC \parallel OA$.

b) $OE$ cắt $DP$ tại $F$. Chứng minh tứ giác $DFCE$ nội tiếp và $EP$ là tiếp tuyến của $(O)$.

c) Gọi $I$ là giao điểm của $OC$ và $FB$. Chứng minh $IF \cdot IB = IO \cdot IC$.

d) Khi $OA = 2R$. Tính diện tích $\triangle BDF$ theo $R$.

$\boxed{\text {Bài toán 44: }}$

Từ một điểm $A$ nằm bên ngoài đường tròn $(O)$ kẻ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ với đường tròn $(O)$ ($B$, $C$ là tiếp điểm). Một đường thẳng $d$ đi qua $A$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $D$ và $E$ ($d$ không đi qua tâm $O$, $D$ nằm giữa $A$ và $E$). Gọi $I$ là trung điểm của $DE$.

a) Chứng minh 5 điểm $A$, $B$, $O$, $I$, $C$ cùng nằm trên một đường tròn.

b) $BC$ cắt $AE$ tại $S$. Chứng minh $SA \cdot SI = SD \cdot SE$.

c) Qua $C$ kẻ đường thẳng song song với $AB$, đường này cắt các đường thẳng $BE$, $BD$ lần lượt tại $M$ và $N$. Chứng minh $C$ là trung điểm $MN$.

d) Chứng minh $IE^2 = IS \cdot IA$.

$\boxed{\text {Bài toán 45: }}$

Từ điểm $S$ ở ngoài đường tròn $(O)$ vẽ tiếp tuyến $SD$ ($D$ là tiếp điểm) và cát tuyến $SAB$ ($A$ nằm giữa $S$ và $B$). Qua $D$ kẻ đường thẳng vuông góc $SO$, cắt $SO$ tại $K$ và cắt $(O)$ tại $E$.

a) Chứng minh $SK \cdot SO = SA \cdot SB$.

b) Chứng minh $\dfrac{SA}{SB} = \dfrac{AD^2}{BD^2}$

c) Chứng minh tứ giác $SDOE$ nội tiếp.

d) Vẽ đường kính $DC$ của $(O)$. $CA$ và $CB$ cắt $SO$ tại $M$ và $N$.Chứng minh $O$ là trung điểm của $MN$.

$\boxed{\text {Bài toán 46: }}$

Từ một điểm $I$ ở ngoài đường tròn $(O; R)$ với ($OI$ $\ne$ $2R$), kẻ hai tiếp tuyến $IA$ và $IB$ với $(O)$ ($A$, $B$ là các tiếp điểm). Gọi $M$ là trung điểm của $IB$, $K$ là giao điểm của $AM$ và đường tròn $(O)$ ($K$ khác $A$) và $H$ là giao điểm của $AB$ và $OI$.

a) Chứng minh tứ giác $BHKM$ nội tiếp.

b) Chứng minh $AB^2 = 2AK \cdot AM$.

c) Vẽ dây $AC$ của đường tròn $(O)$ song song với $IB$. Chứng minh $C$, $K$, $I$ thẳng hàng.

d) Vẽ đường kính $AD$ của $(O)$, $DC$ và $DK$ cắt $IO$ tại $E$ và $F$. Chứng minh $O$ là trung điểm của $EF$.

$\boxed{\text {Bài toán 47: }}$

Từ điểm $A$ ở ngoài đường tròn $(O)$ kẻ 2 tiếp tuyến $AB$, $AC$ và cát tuyến $ADE$ đến $(O)$ với $B$, $C$ là các tiếp điểm, $D$ nằm giữa $A$ và $E$. Gọi $K$ là trung điểm của $DE$.

a) Chứng minh năm điểm $A$, $B$, $O$, $K$, $C$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$. Kẻ dây $EF$ của $(O)$ vuông góc với $OA$. Chứng minh $D$, $H$, $F$ thẳng hàng.

c) Chứng minh tứ giác $ADOF$ nội tiếp.

d) Kẻ đường kính $BI$ của $(O)$. Hai tia $ID$ và $IE$ cắt $OA$ lần lượt tại $M$ và $N$. Chứng minh $OM = ON$.

$\boxed{\text {Bài toán 48: }}$

Cho $\triangle ABC$ có ba góc nhọn $AB < AC$, nội tiếp đường tròn $(O; R)$. Vẽ đường kính $AD$, tiếp tuyến tại $D$ với đường tròn $(O)$ cắt tia $BC$ tại $I$. Đường thẳng $IO$ cắt $AB$ và $AC$ tại $M$ và $N$.

a) So sánh $\widehat {IDC}$ và $\widehat {DAC}$. Chứng minh $ID^2 = IB \cdot IC$.

b) Tia phân giác của $\widehat {BAC}$ cắt $(O)$ tại $E$, tia $OE$ cắt $BC$ tại $H$. Chứng minh $H$ là trung điểm của $BC$ và tứ giác $IDHO$ nội tiếp.

c) Qua $B$ vẽ đường thẳng song song với $IO$, đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$. Chứng minh $P$ thuộc đường tròn ngoại tiếp $\triangle BHD$.

d) Chứng minh bốn điểm $A$, $M$, $D$, $N$ là bốn đỉnh của một hình bình hành.

$\boxed{\text {Bài toán 49: }}$

Từ điểm $A$ ở ngoài $(O)$, vẽ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ ($B$, $C$ là 2 tiếp điểm) và cát tuyến $ADE$ ($D$ nằm giữa $A$ và $E$). Kẻ $DM$ $\bot$ $AB$ tại $M$, $DN$ $\bot$ $AC$ tại $N$, $DQ$ $\bot$ $BC$ tại $Q$.

a) Chứng minh tứ giác $DMBQ$ nội tiếp và $\triangle DCN$ đồng dạng với $\triangle DBQ$.

b) Chứng minh $BD \cdot EC = CD \cdot EB$.

c) Gọi $H$ là giao điểm của $DC$ và $NQ$, $K$ là giao điểm của $DB$ và $MQ$. Chứng minh $KH \parallel BC$.

d) Gọi $I$ là giao điểm của $OA$ và $BC$, $J$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp $\triangle DMK$ và đường tròn ngoại tiếp $\triangle DHN$ ($J$ khác $D$). Chứng minh ba điểm $D$, $I$, $J$ thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 50: }}$

Cho điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Kẻ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ ($B$, $C$ là hai tiếp điểm). Gọi $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$.

a) Chứng minh tứ giác $ABOC$ nội tiếp và $OA$ $\bot$ $BC$.

b) Đường tròn đường kính $CH$ cắt đường tròn $(O)$ tại $D$. Chứng minh tứ giác $ABHD$ nội tiếp đường tròn $(I)$. Xác định tâm $I$.

c) Gọi $T$ là trung điểm của $BD$. Chứng minh ba điểm $T$, $O$, $I$ thẳng hàng và $ID$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

d) Gọi $E$ là giao điểm của đường tròn $(I)$ với $AC$, $S$ là giao điểm của $OA$ và $BE$. Chứng minh $TS \parallel HD$.

$\boxed{\text {Bài toán 51: }}$

Từ điểm $M$ nằm ngoài $(O)$ vẽ các tiếp tuyến $MA$, $MB$ ($A$, $B$ là các tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác $MAOB$ nội tiếp và $OM$ $\bot$ $AB$ tại $H$.

b) Lấy điểm $C$ thuộc cung $AB$ lớn, kẻ $AK$ $\bot$ $BC$ tại $K$. Gọi $I$ là trung điểm của $AK$, $CI$ cắt $(O)$ tại $E$ khác $C$. Tia $ME$ cắt $(O)$ tại $F$ khác $E$. Chứng minh: $MA^2 = ME \cdot MF$ và $AE$ $\bot$ $EH$.

c) Chứng minh khi điểm $C$ di chuyển trên cung $AB$ lớn thì $EF$ có độ dài không đổi.

d) Chứng minh $OM$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\triangle MEA$.

$\boxed{\text {Bài toán 52: }}$

Cho điểm $A$ ở bên ngoài đường tròn $(O)$. Vẽ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ với $(O)$ ($B$, $C$ là các tiếp điểm), vẽ đường kính $CE$, $AE$ cắt $(O)$ tại $D$, $OA$ cắt $BC$ tại $H$.

a) Chứng minh tứ giác $DHOE$ nội tiếp.

b) Từ $D$ vẽ dây $DK \parallel BC$ ($K$ $\ne$ $D$). Chứng minh $K$, $H$, $E$ thẳng hàng.

c) Từ $D$ vẽ đường thẳng song song với $BE$ cắt $AB$ tại $F$ và $BC$ tại $G$. Chứng minh $D$ là trung điểm của đoạn $FG$.

d) Tia đối của tia $OA$ cắt $(O)$ tại $P$, kẻ $BM$ vuông góc với $CP$ tại $M$, $BM$ cắt $PD$ tại $N$. Chứng minh $N$ là trung điểm của $BM$.

$\boxed{\text {Bài toán 53: }}$

Từ điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O)$, vẽ hai tiếp tuyến $MA$, $MB$ và cát tuyến $MCD$ của đường tròn $(O)$ ($C$ nằm giữa $M$ và $D$, $CD$ không qua $O$, $CD$ và $A$ nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ $OM$). Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $OM$.

a) Chứng minh $MC \cdot MD = MH \cdot MO = MA^2$.

b) Chứng minh tứ giác $CHOD$ nội tiếp và $\triangle MHC$ đồng dạng với $\triangle DHO$.

c) Chứng minh $\widehat {ADH} = \widehat {CDB}$.

d) Tia $MO$ cắt $(O)$ tại $E$ và $F$ ($E$ nằm giữa $M$ và $O$). Chứng minh $DE$ và $CF$ cắt nhau tại một điểm trên $AB$.

$\boxed{\text {Bài toán 54: }}$

Từ điểm $M$ ở ngoài $(O; R)$ vẽ tiếp tuyến $MC$ và cát tuyến $MAB$ ($C$ là tiếp điểm, $A$ nằm giữa $M$ và $B$, điểm $O$ không nằm ngoài $\widehat {BMC}$). $MO$ cắt $(O)$ tại $E$, $F$ ($ME < MF$).

a) Chứng minh $MA \cdot MB = ME \cdot MF$.

b) Giả sử $(O; R)$ không đổi, điểm $M$ cố định, cát tuyến $MAB$ quay quanh $M$. Hãy tìm giá trị lớn nhất của tổng $MA + MB$.

c) Trên nửa mặt phẳng bờ $OM$ có chứa $A$, vẽ nửa đường tròn đường kính $MF$ cắt tiếp tuyến tại $E$ của $(O)$ ở $K$, $KF$ cắt $CO$ tại $S$. Chứng minh $MS$ $\bot$ $KC$.

d) Gọi $P$, $Q$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $EFS$ và $ABS$. $R$ là trung điểm của $KS$. Chứng minh $P$, $Q$, $R$ thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 55: }}$

Cho $\triangle ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ có $AB$ $\ne$ $AC$ và đường cao $AD$. Vẽ đường kính $AE$ của đường tròn $(O)$.

a) Chứng minh $\triangle ADB$ $\sim$ $\triangle ACE$. Suy ra $AD \cdot AE = AB \cdot AC$.

b) Vẽ dây $AF$ của $(O)$ song song với $BC$. $EF$ cắt $AC$ tại $Q$. $BF$ cắt $AD$ tại $P$. Chứng minh $PQ \parallel BC$.

c) $AE$ cắt $BC$ tại $K$. Chứng minh $AB \cdot AC - AD \cdot AK = \sqrt {BD \cdot BK \cdot CD \cdot CK}$.

d) Các tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $I$. $AI$ cắt cung nhỏ $BC$ tại $H$. Khi $A$ di động trên $(O)$ và $BC$ cố định. Chứng minh $FH$ luôn đi qua một điểm cố định.

$\boxed{\text {Bài toán 56: }}$

Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AD$. Vẽ dây $BC$ vuông góc với $AD$. Vẽ đường tròn $(D; DB)$. Lấy điểm $F$ trên cung $BC$ phần nằm trong $(O)$. Tiếp tuyến tại $F$ của $(D)$ cắt $AB$, $AC$ tại $M$, $N$.

a) Chứng minh $MN = BM + NC$.

b) $MD$ cắt $BC$ tại $Q$. Tính số đo $\widehat{MQN}$.

c) Lấy $P$ trên cung $AC$ nhỏ. Trên tia $BP$ lấy $K$ sao cho $PK = PC$ ($K$ nằm ngoài $(O)$). Trên tia $BA$ lấy điểm $S$ sao cho $A$ là trung điểm của $BS$. Chứng minh $BCKS$ nội tiếp.

d) Trên tia $BP$ lấy điểm $G$ sao cho $BG = PC$. Gọi $L$, $R$, $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của $PC$, $BG$, $RL$, $BC$. Chứng minh $IJ$ song song với tia phân giác của $\widehat {BPC}$.

$\boxed{\text {Bài toán 57: }}$

Cho $\triangle ABC$ cân tại $A$ $\left( \widehat {BAC} > 90^\circ \right)$ nội tiếp đường tròn $(O; R)$, $M$ là điểm trên cạnh $BC$ ($BM > MC$). Gọi $D$ là giao điểm của $AM$ và đường tròn $(O)$ ($D$ khác $A$).

a) Chứng minh $MA \cdot MD = MB \cdot MC$.

b) Gọi $E$ là điểm chính giữa của cung lớn $BC$. $ED$ cắt $BC$ tại $N$. Chứng minh $BN \cdot CM = BM \cdot CN$.

c) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle BMD$, $OM$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\triangle OAD$ tại $F$. Chứng minh ba điểm $B$, $I$, $E$ thẳng hàng và $B$, $O$, $C$, $F$ cùng thuộc một đường tròn.

d) Xác định vị trí của điểm $M$ để $2AM + AD$ đạt GTNN.

$\boxed{\text {Bài toán 58: }}$

Cho $\triangle ABC$ ($AB > AC$) nội tiếp đường tròn $(O; R)$. Đường cao $CD$ của $\triangle ABC$ cắt $(O; R)$ ở $E$. Vẽ $EF$ vuông góc với $BC$ tại $F$.

a) Chứng minh rằng $DA \cdot DB = DC \cdot DE$.

b) Chứng minh rằng $B$, $E$, $D$, $F$ cùng thuộc một đường tròn.

c) Gọi $M$ là giao điểm của hai đường thẳng $DF$ và $AC$. Trên tia $DC$ lấy điểm $H$ sao cho $DH = DE$. Chứng minh rằng $A$, $D$, $E$, $M$ cùng thuộc một đường tròn và $H$ là trực tâm của $\triangle ABC$.

d) Giả sử $AC = R\sqrt 2 $. Gọi $N$ là giao điểm của $EF$ và $BD$. Chứng minh rằng tứ giác $AHNE$ là hình vuông.

$\boxed{\text {Bài toán 59: }}$

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, $M$ là điểm chuyển động trên $BC$ ($M$ khác $B$, $C$). Kẻ đường thẳng qua $B$ vuông góc $DM$ tại $H$ và cắt $DC$ tại $K$.

a) Chứng minh $BHCD$ nội tiếp và tính $\widehat {CHK}$.

b) Khi $M$ di chuyển trên cạnh $BC$ thì $H$ di chuyển trên đường nào?

c) Kí hiệu $S_1$ là diện tích tam giác $ABM$, $S_2$là diện tích tam giác $DCM$. Xác định vị trí của $M$ trên $BC$ để $S_1^2 + S_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị nhỏ nhất này theo $a$.

d) Đường thẳng $AM$ cắt đường thẳng $DC$ tại $N$. Chứng minh:

$\dfrac{1}{AD^2} = \dfrac{1}{AM^2} + \dfrac{1}{AN^2}$.

$\boxed{\text {Bài toán 60: }}$

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn. Đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ cắt $AB$ ở $D$ và cắt $AC$ ở $E$. $BE$ và $CD$ cắt nhau tại $H$.

a) Tính số đo các góc $BEC$ và $BDC$.

b) Chứng minh tứ giác $ADHE$ nội tiếp được trong đường tròn.

c) Chứng minh $AD \cdot AB = AE \cdot AC$.

d) Chứng minh tiếp tuyến với đường tròn $(O; OB)$ tại điểm $E$ đi qua trung điểm $I$ của $AH$.

$\boxed{\text {Bài toán 61: }}$

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O; R)$. Ba đường cao $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. Tia $AD$ cắt $(O)$ ở $M$.

a) Chứng minh các tứ giác $AEHF$, $BCEF$ nội tiếp được.

b) Chứng minh $DA \cdot DM = DB \cdot DC$.

c) Gọi $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của $AH$ và $BC$. Chứng minh bốn điểm $D$, $J$, $E$, $F$ cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn này theo $R$.

d) Gọi $K$ là giao điểm của $EF$ và $AH$. Chứng minh: $CK$ $\bot$ $BI$.

$\boxed{\text {Bài toán 62: }}$

Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O, R)$. Các đường cao $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh các tứ giác $AEHF$, $CEFB$ nội tiếp được trong đường tròn.

b) Chứng minh $HB \cdot HE = HA \cdot HD$.

c) Các đường cao $BE$ và $CF$ cắt đường tròn $(O)$ lần lượt tại $M$ và $N$. Chứng minh $AM = AN$ và $OA$ $\bot$ $EF$.

d) Cho $\widehat {BAC} = {60^\circ}$. Tính theo $R$ bán kính của đường tròn qua 4 điểm $A$, $E$, $H$, $F$.

$\boxed{\text {Bài toán 63: }}$

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AB > BC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến tại $B$ của đường tròn $(O)$ cắt tia $AC$ tại $D$ và tiếp tuyến tại $C$ của đường tròn $(O)$ cắt tia $AB$ tại $E$.

a) Chứng minh $BD^2 = AD \cdot CD$.

b) Chứng minh tứ giác $BCDE$ là một tứ giác nội tiếp.

c) Chứng minh $BC$ song song với $DE$.

d) Gọi $d$ là đường thẳng bất kì qua $A$ và không cắt đoạn $BC$. Chứng minh rằng nếu $M$ là một điểm của $d$ sao cho $MB + MC$ nhỏ nhất thì $M$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$.

$\boxed{\text {Bài toán 64: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2006-2007 Q11 TpHCM)

Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ cắt các cạnh $AB$, $AC$ theo thứ tự tại $E$ và $D$.

a) Chứng minh $AD \cdot AC = AE \cdot AB$.

b) Gọi $H$ là giao điểm của $BD$ và $CE$, gọi $K$ là giao điểm của $AH$ và $BC$. Chứng minh $AH$ vuông góc với $BC$.

c) Từ $A$ kẻ các tiếp tuyến $AM$, $AN$ đến đường tròn $(O)$ với $M$, $N$ là các tiếp điểm. Chứng minh $\widehat {ANM} = \widehat {AKN}$.
d) Chứng minh ba điểm $M$, $H$, $N$ thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 65: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2007-2008 Q11 TpHCM)

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn ($AB < AC$). Đường tròn đường kính $BC$ cắt $AB$, $AC$ theo thứ tự tại $E$ và $F$. Biết $BF$ cắt $CE$ tại $H$ và $AH$ cắt $BC$ tại $D$.

a) Chứng minh tứ giác $BEFC$ nội tiếp và $AH$ vuông góc $BC$.

b) Chứng minh $AE \cdot AB = AF \cdot AC$.

c) Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $K$ là trung điểm của $BC$. Tính tỉ số $\dfrac{OK}{BC}$ khi tứ giác $BHOC$ nội tiếp.
d) Cho $HF = 3$ cm, $HB = 4$ cm, $CE = 8$ cm và $HC > HE$. Tính $HC$.

$\boxed{\text {Bài toán 66: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2008-2009 Q11 TpHCM)

Từ điểm $M$ nằm bên ngoài đường tròn $(O)$ vẽ cát tuyến $MCD$ không đi qua tâm $O$ ($C$ nằm giữa $M$ và $D$) và hai tiếp tuyến $MA$, $MB$ đến đường tròn $(O)$ ($A$, $B$ là các tiếp điểm).

a) Chứng minh $MA^2 = MC \cdot MD$.

b) Gọi $I$ là trung điểm của $CD$. Chứng minh rằng 5 điểm $M$, $A$, $O$, $I$, $B$ cùng nằm trên một đường tròn.

c) Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $MO$. Chứng minh tứ giác $CHOD$ nội tiếp được đường tròn. Suy ra $AB$ là đường phân giác của $\widehat {CHD}$.
d) Gọi $K$ là giao điểm của các tiếp tuyến tại $C$ và $D$ của đường tròn $(O)$. Chứng minh $A$, $B$, $K$ thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 67: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2009-2010 Q11 TpHCM)

Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$) có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn $(O)$ có tâm $O$, bán kính $R$. Gọi $H$ là giao điểm của ba đường cao $AD$, $BE$, $CF$ của tam giác $ABC$. Gọi $S$ là diện tích tam giác $ABC$.

a) Chứng minh rằng $AEHF$ và $AEDB$ là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Vẽ đường kính $AK$ của đường tròn $(O)$. Chứng minh tam giác $ABD$ và tam giác $AKC$ đồng dạng với nhau. Suy ra $AB \cdot AC = 2R \cdot AD$ và $S = \dfrac{AB \cdot BC \cdot CA}{4R}$.

c) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh $EFDM$ là tứ giác nội tiếp đường tròn.
d) Chứng minh rằng $OC$ vuông góc với $DE$ và $(DE + EF + FD) \cdot R = 2S$.

$\boxed{\text {Bài toán 68: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2010-2011 Q11 TpHCM)

Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB = 2R$. Gọi $M$ là một điểm bất kì thuộc đường tròn $(O)$ khác $A$ và $B$. Các tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ và $M$ cắt nhau tại $E$. Vẽ $MP$ vuông góc với $AB$ ($P$ thuộc $AB$), vẽ $MQ$ vuông góc với $AE$ ($Q$ thuộc $AE$).

a) Chứng minh rằng $AEMO$ là tứ giác nội tiếp đường tròn và $APMQ$ là hình chữ nhật.

b) Gọi $I$ là trung điểm của $PQ$. Chứng minh $O$, $I$, $E$ thẳng hàng.

c) Gọi $K$ là giao điểm của $EB$ và $MP$. Chứng minh hai tam giác $EAO$ và $MPB$ đồng dạng. Suy ra $K$ là trung điểm của $MP$.
d) Đặt $AP = x$. Tính $MP$ theo $R$ và $x$. Tìm vị trí của $M$ trên $(O)$ để hình chữ nhật $APMQ$ có diện tích lớn nhất.

$\boxed{\text {Bài toán 69: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2011-2012 Q11 TpHCM)

Cho đường tròn $(O)$ có tâm $O$, đường kính $BC$. Lấy một điểm $A$ trên đường tròn $(O)$ sao cho $AB > AC$. Từ $A$, vẽ $AH$ vuông góc với $BC$ ($H$ thuộc $BC$). Từ $H$, vẽ $HE$ vuông góc với $AB$ và $HF$ vuông góc với $AC$ ($E$ thuộc $AB$, $F$ thuộc $AC$).

a) Chứng minh rằng $AEHF$ là hình chữ nhật và $OA$ vuông góc với $EF$.

b) Đường thẳng $EF$ cắt đường tròn $(O)$ tại $P$ và $Q$ ($E$ nằm giữa $P$ và $F$). Chứng minh $AP^2 = AE \cdot AB$. Suy ra $APH$ là tam giác cân.

c) Gọi $D$ là giao điểm của $PQ$ và $BC$; $K$ là giao điểm của $AD$ và đường tròn $(O)$ ($K$ khác $A$). Chứng minh rằng $AEFK$ là một tứ giác nội tiếp.
d) Gọi $I$ là giao điểm của $KF$ và $BC$. Chứng minh $IH^2 = IC \cdot ID$.

$\boxed{\text {Bài toán 70: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2012-2013 Q11 TpHCM)

Cho đường tròn $(O)$ có tâm $O$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Đường thẳng $MO$ cắt $(O)$ tại $E$ và $F$ ($ME < MF$). Vẽ cát tuyến $MAB$ và tiếp tuyến $MC$ của $(O)$ ($C$ là tiếp điểm, $A$ nằm giữa hai điểm $M$ và $B$, $A$ và $C$ nằm khác phía đối với đường thẳng $MO$).

a) Chứng minh rằng $MA \cdot MB = ME \cdot MF$.

b) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $C$ lên đường thẳng $MO$. Chứng minh tứ giác $AHOB$ nội tiếp.

c) Trên nửa mặt phẳng bờ $OM$ có chứa điểm $A$, vẽ nửa đường tròn đường kính $MF$; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại $E$ của $(O)$ ở $K$. Gọi $S$ là giao điểm của hai đường thẳng $CO$ và $KF$. Chứng minh rằng đường thẳng $MS$ vuông góc với đường thẳng $KC$.
d) Gọi $P$ và $Q$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $EFS$ và $ABS$, $T$ là trung điểm của $KS$. Chứng minh ba điểm $P$, $Q$, $T$ thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 71: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2013-2014 Q11 TpHCM)

Cho tam giác $ABC$ không có góc tù ($AB < AC$), nội tiếp đường tròn $(O; R)$ ($B$, $C$ cố định, $A$ di động trên cung lớn $BC$). Các tiếp tuyến tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $M$. Từ $M$ kẻ đường thẳng song song với $AB$, đường thẳng này cắt $(O)$ tại $D$ và $E$ ($D$ thuộc cung nhỏ $BC$), cắt $BC$ tại $F$, cắt $AC$ tại $I$.

a) Chứng minh rằng $\widehat {MBC} = \widehat {BAC}$. Từ đó suy ra $MBIC$ là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng $FI \cdot FM = FD \cdot FE$.

c) Đường thẳng $OI$ cắt $(O)$ tại $P$ và $Q$ ($P$ thuộc cung nhỏ $AB$). Đường thẳng $QF$ cắt $(O)$ tại $T$ ($T$ khác $Q$). Chứng minh ba điểm $P$, $T$, $M$ thẳng hàng.
d) Tìm vị trí điểm $A$ trên cung lớn $BC$ sao cho tam giác $IBC$ có diện tích lớn nhất.

$\boxed{\text {Bài toán 72: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2014-2015 Q11 TpHCM)

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm $O$ ($AB < AC$). Các đường cao $AD$ và $CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh tứ giác $BFHD$ nội tiếp. Suy ra $\widehat {AHC} = {180^\circ} - \widehat {ABC}$.

b) Gọi $M$ là điểm bất kì trên cung nhỏ $BC$ của đường tròn $(O)$ ($M$ khác $B$ và $C$) và $N$ là điểm đối xứng của $M$ qua $AC$. Chứng minh tứ giác $AHCN$ nội tiếp.

c) Gọi $I$ là giao điểm của $AM$ và $HC$; $J$ là giao điểm của $AC$ và $HN$. Chứng minh $\widehat {AJI} = \widehat {ANC}$.
d) Chứng minh rằng $OA$ vuông góc $IJ$.

$\boxed{\text {Bài toán 73: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2015-2016 Q11 TpHCM)

Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ cắt các cạnh $AC$, $AB$ lần lượt tại $E$, $F$. Gọi $H$ là giao điểm của $BE$ và $CF$; $D$ là giao điểm của $AH$ và $BC$.

a) Chứng minh $AD$ $\bot$ $BC$ và $AH \cdot AD = AE \cdot AC$.

b) Chứng minh $EFDO$ là tứ giác nội tiếp.

c) Trên tia đối của tia $DE$ lấy điểm $L$ sao cho $DL = DF$. Tính số đo góc $BLC$.
d) Gọi $R$, $S$ lần lượt là hình chiếu của $B$, $C$ lên $EF$. Chứng minh $DE + DF = RS$.

$\boxed{\text {Bài toán 74: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2016-2017 Q11 TpHCM)

Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ cắt các cạnh $AC$, $AB$ lần lượt tại $D$, $E$. Gọi $H$ là giao điểm của $BD$ và $CE$; $F$ là giao điểm của $AH$ và $BC$.

a) Chứng minh $AF$ $\bot$ $BC$ và $\widehat {AFD} = \widehat {ACE}$.

b) Gọi $M$ là trung điểm của $AH$. Chứng minh $MD$ $\bot$ $OD$ và 5 điểm $M$, $D$, $O$, $F$, $E$ cùng thuộc một đường tròn.

c) Gọi $K$ là giao điểm của $AH$ và $DE$. Chứng minh $MD^2 = MK \cdot MF$ và $K$ là trực tâm của tam giác $MBC$.

d) Chứng minh $\dfrac{2}{FK} = \dfrac{1}{FH} + \dfrac{1}{FA}$.

$\boxed{\text {Bài toán 75: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2017-2018 Q11 TpHCM)

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ cắt các đoạn $BC$ và $OC$ lần lượt tại $D$ và $I$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $OC$; $AH$ cắt $BC$ tại $M$.

a) Chứng minh tứ giác $ACDH$ nội tiếp và $\widehat {CHD} = \widehat {ABC}$.

b) Chứng minh hai tam giác $OHB$ và $OBC$ đồng dạng với nhau và $HM$ là tia phân giác của góc $BHD$.

c) Gọi $K$ là trung điểm của $BD$. Chứng minh $MD \cdot BC = MB \cdot CD$ và $MB \cdot MD = MK \cdot MC$.

d) Gọi $E$ là giao điểm của $AM$ và $OK$; $J$ là giao điểm của $IM$ và $(O)$ ($J$ khác $I$). Chứng minh hai đường thẳng $OC$ và $EJ$ cắt nhau tại một điểm nằm trên $(O)$.