[HÌNH HỌC 9] BÀI TẬP TỔNG HỢP HKII (010)

$\boxed{\text {Bài toán:}}$ Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$). Kẻ đường cao $AH$. Trên tia đối của tia $HB$ lấy điểm $D$ sao cho $HD = HB$. Từ $C$ vẽ $CE$ $\bot$ $AD$ tại $E$.

a) Chứng minh: $AHEC$ nội tiếp.

b) Chứng minh: $\triangle AHE$ cân và $HE^2=HD \cdot HC$.

c) Tia $CE$ cắt tia $AH$ tại $K$. Chứng minh: $AB \parallel DK$ và tứ giác $ABKD$ là hình thoi.

d) Gọi $I$ là trung điểm của $AC$. $HI$ cắt $AE$ tại $J$. Chứng minh: $DC \cdot HJ = 2IJ \cdot HB$.

Hướng dẫn

a) $\widehat {AHC} = \widehat {AEC} = {90^\circ}$

$ \Rightarrow $ $AHEC$ nội tiếp đường tròn (hai đỉnh $H$, $E$ liên tiếp cùng nhìn cạnh $AC$ dưới góc bằng nhau).

b) $\widehat {HAE} = \widehat {HAB}$ ($\triangle ABD$ cân tại $A$), $\widehat {HAB} = \widehat {HCA}$ (cùng phụ góc $B$), $\widehat {HCA} = \widehat {HEA}$ (góc nội tiếp chắn $\stackrel\frown{AH}$) $ \Rightarrow $ $\widehat {HAE} = \widehat {HEA}$ $ \Rightarrow $ $\triangle AHE$ cân tại $E$

$\triangle HED$ $\sim$ $\triangle HCE$ (g – g) $ \Rightarrow $ ${HE^2}=HD \cdot HC$.

c) $DK$ $\bot$ $AC$ ($D$ là trực tâm $\triangle ACK$), $AB$ $\bot$ $AC$ $ \Rightarrow $ $AB // DK$ $ \Rightarrow $ $\widehat {HBA} = \widehat {HDK}$.

$\triangle HBA$ = $\triangle HDK$ (g – c – g) $ \Rightarrow $ $H$ là trung điểm $AK$, mà $H$ là trung điểm $BD$ $ \Rightarrow $ $ABKD$ là hình bình hành, mà $AK$ $\bot$ $BD$ $ \Rightarrow $ $ABKD$ là hình thoi.

d) Các em tự làm.

* Lưu ý:
- Lời giải được trình bày theo chương trình cũ.
- Do không soạn được kí hiệu đồng dạng như trong SGK của VN nên tôi thay bằng kí hiệu đồng dạng "$\sim$" trong bài viết.

Xem đáp án