[Arithmetic 6] Converting many fractions to the same denominator

❄ CONVERTING MANY FRACTIONS TO THE SAME DENOMINATOR

To convert many fractions to the same denominator, we do as follows:
Step 1: Reduce the given fractions, convert their negative denomonators to positive denominators.
Step 2: Find a common denominator (usually LCM)
Step 3: Multiply numerator and denominator of each fraction by corresponding sub-factor (find sub-factor by dividing the common denominator by each denominator)

Example: Convert the following fractions to the same denominator:

$\dfrac{-4}{{7}}$, $\dfrac{16}{{18}}$ and $\dfrac{20}{{-42}}$

Solution:

$\dfrac{{16}}{{18}} = \dfrac{{8}}{{9}}$, $\dfrac{{20}}{{-42}} = \dfrac{{-10}}{{21}}$

In order to find a common denominator, we often use the following ways:

Way 1: LCM(7, 9, 21) = 63 (To find LCM, review here)

Way 2: In the three denominators 7, 9, 21, we get the greatest denominator that is 21. We'll multiply 21 by 1, 2, 3, etc until receiving the answer which is divisible by the remaining numbers, that receiving answer is a common denominator. In this case, 21 $\times$ 3 = 63 is divisible by 7, 9, 21. Thus, 21 is common denominator which we have to find.

CD = 63

The 1st sub-factor 63 : 7 = 9, the 2nd sub-factor 63 : 9 = 7, the 3rd sub-factor 63 : 21 = 3

$\dfrac{{ - 4}}{7} = \dfrac{{ - 4.9}}{{7.9}} = \dfrac{{ - 36}}{{63}}$

$\dfrac{8}{9} = \dfrac{{8.7}}{{9.7}} = \dfrac{{56}}{{63}}$

$\dfrac{{ - 10}}{{21}} = \dfrac{{ - 10.3}}{{21.3}} = \dfrac{{ - 30}}{{63}}$

Read More

[Arithmetic 6] Reducing a fraction

I. HOW TO REDUCE A FRACTION

Rule: In order to reduce a fraction, divide the numerator and denominator by their divisor (other than 1 and $-$1).
        $\dfrac{a}{b} = \dfrac{{a : n}}{{b : n}}$ where $n$ $ \in $ CD($a$, $b$)
Note:
_ Fractions in lowest terms (or fractions which can not be reduced further) are fractions such that their numerator and denominator have only 1 and $-$1 as common divisors.

        $\dfrac{a}{b}$ is $a$ fraction in lowest terms $ \Leftrightarrow $ CD($a$, $b$) = $\left\{ { \pm 1} \right\}$

_ When reducing a fraction, we often reduce it to the fraction in lowest terms and has positive denominator.

II. EXAMPLES

Example: Reduce the following fractions:

$\dfrac{{6}}{{8}} = \dfrac{3}{4}$ (divide both the numerator and denominator by 2)

$\dfrac{{ - 5}}{{10}} = \dfrac{{ - 1}}{2}$ (divide both the numerator and denominator by 5)

$\dfrac{{18}}{{ - 33}} = \dfrac{{ - 6}}{{11}}$ (divide both the numerator and denominator by $-$3)

$\dfrac{{ - 36}}{{ - 12}} = \dfrac{3}{1} = 3$ (divide both the numerator and denominator by $-$12)

Read More

[Arithmetic 6] Extending the concept of fractions

I. THE CONCEPT OF FRACTIONS

    Fractions are written in the form $\dfrac{a}{b}$ where $a$, $b$ are integers and $b$ is not zero ($a$, $b$ $ \in $ $\mathbb{Z}$, $b \ne 0$), $a$ is the numerator, $b$ is the denominator of the fractions.
Example:
    Fractions: $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{-3}{4}$, $\dfrac{7}{-6}$, $\dfrac{-11}{-12}$, etc.

    Not fractions: $\dfrac{1}{0}$, $\dfrac{1.2}{5}$, $ - 9$, etc.

* Comment: Integer $a$ can be written as $\dfrac{a}{1}$.

II. BASIC PROPERTIES OF FRACTIONS

1) $\dfrac{a}{b} = \dfrac{{a.\color{red}m}}{{b.\color{red}m}}$ where $m$ $ \in $ $\mathbb{Z}$ and $m \ne 0$

2) $\dfrac{a}{b} = \dfrac{{a : \color{red}n}}{{b : \color{red}n}}$ where $n$ $ \in $ CD($a$, $b$)

Read More

[Arithmetic 6] Advanced exercises

Question: How many zeros are there in the last digits of the following number:

$P = 11 \times 12 \times  \ldots  \times 88 \times 89$

        (A) 16         (B) 17         (C) 18         (D) 19         (E) None of the above

The number of trailing zeros in the decimal representation of n!, the factorial of a non-negative integer n, is simply the multiplicity of the prime factor 5 in n!. This can be determined with this formula: $f(n) = \sum\limits_{i = 1}^k {\left\lfloor {\dfrac{n}{{{5^i}}}} \right\rfloor } = \left\lfloor {\dfrac{n}{5}} \right\rfloor + \left\lfloor {\dfrac{n}{{{5^2}}}} \right\rfloor + \left\lfloor {\dfrac{n}{{{5^3}}}} \right\rfloor + \ldots + \left\lfloor {\dfrac{n}{{{5^k}}}} \right\rfloor $, where k must be chosen such that ${5^{k + 1}} > n$ It's more simple if you look at an example: How many zeros are in the end (after which no other digits follow) of 32! ? According to above 32! has $\left\lfloor {\dfrac{{32}}{5}} \right\rfloor + \left\lfloor {\dfrac{{32}}{{{5^2}}}} \right\rfloor = 6 + 1 = 7$ (denominator must be less than 32, ${5^2} = 32$ is less) So, there are 7 zeros in the end of 32!

Read More

[SỐ HỌC 6] HỖN SỐ - SỐ THẬP PHÂN - PHẦN TRĂM

\[\boxed{\text {Có đúng là: }\dfrac{9}{4} = 2\dfrac{1}{4} = 2,25 = 225\%  \text { không ?}}\]

I. HỖN SỐ

Ví dụ: $7$ chia cho $4$ được $1$ dư $3$.

Khi đó, ta viết: $\boxed{\dfrac{7}{4} = 1 + \dfrac{3}{4} = 1\dfrac{3}{4}}$. Số $1\dfrac{3}{4}$ là hỗn số, trong đó 1 là phần nguyên, $\dfrac{3}{4}$ là phần phân số của $\dfrac{7}{4}$.

❄ Đổi hỗn số sang phân số:
    $5\dfrac{1}{7} = \dfrac{{5.7 + 1}}{7} = \dfrac{{36}}{7}$

    $ - 4\dfrac{3}{5}$ = $\bf-$$\dfrac{{4.5 + 3}}{5}$ = $\bf-$$\dfrac{{23}}{5}$

❄ Đổi phân số sang hỗn số:
    $\dfrac{7}{3} = 2\dfrac{1}{3}$ ($7$ chia cho $3$ được $2$ dư $1$)

    $\dfrac{ - 7}{4}$ = $\bf-$$\dfrac{7}{4}$ = $\bf-$$ 1 \dfrac{3}{4}$

II. SỐ THẬP PHÂN

- Phân số thập phân là phân số mà mẫu là lũy thừa của $10$ (Vd: $\dfrac{3}{{10}}$, $\dfrac{{ - 152}}{{100}}$, $\dfrac{{73}}{{1000}}$, ...).

- Phân số thập phân thường viết dưới dạng số thập phân.

- Số thập phân gồm hai phần:

      + Phần số nguyên viết bên trái dấu phẩy,

      + Phần thập phân viết bên phải dấu phẩy.

Ví dụ: $\dfrac{3}{{10}} = \color{black}{0,3}$; $\dfrac{-152}{{100}} = \color{black}{-1,52}$; $\dfrac{73}{{1000}} = \color{black}{0,073}$; ... là các số thập phân.

- Số chữ số của phần thập phân đúng bằng số chữ số 0 ở mẫu của phân số thập phân.

❄ Đổi phân số thập phân sang số thập phân:

    $\dfrac{{27}}{{100}} = 0,27$

    $\dfrac{{ - 13}}{{1000}} =  - 0,013$

    $\dfrac{{261}}{{100000}} = 0,00261$

❄ Đổi số thập phân sang phân số thập phân:

    $1,21 = \dfrac{{121}}{{100}}$

    $0,07 = \dfrac{{7}}{{100}}$

    $-2,013 = \dfrac{{-2013}}{{1000}}$

III. PHẦN TRĂM
Những phân số có mẫu là $100$ còn được viết dưới dạng phần trăm với kí hiệu $\%$.
Ví dụ: $\dfrac{3}{{100}} = 3\% $
           $\dfrac{107}{{100}} = 107\% $
           $\dfrac{7}{{25}} = \dfrac{{28}}{{100}} = 28\% $
           $\dfrac{{26}}{{65}} = \dfrac{2}{5} = \dfrac{{40}}{{100}} = 40\% $
           $3,7 = \dfrac{{37}}{{10}} = \dfrac{{370}}{{100}} = 370\% $
           $0,34 = \dfrac{{34}}{{100}} = 34\% $
❄ Đổi phần trăm sang số thập phân:
    $7\%  = 0,07$
    $45\%  = 0,45$
    $216\%  = 2,16$

Trước khi kết thúc bài học ngày hôm nay các em hãy tự trả lời câu hỏi đặt ra ở đầu bài nhé!

Read More

[SỐ HỌC 6] TOÁN NÂNG CAO VỀ PHÂN SỐ

Bài toán 1: Tìm n $ \in $ $\mathbb{N}$ để ba phân số $\dfrac{{21}}{n}$, $\dfrac{{22}}{{n - 1}}$, $\dfrac{{24}}{{n + 1}}$ đều là số tự nhiên.

Bài toán 2: Tìm n $ \in $ $\mathbb{Z}$ để $A = \dfrac{{11}}{{n + 1}}$, $B = \dfrac{{6 - 2a}}{{2a + 1}}$ là số nguyên.

Bài toán 3: Chứng tỏ rằng $\dfrac{{21n + 4}}{{14n + 3}}$ là phân số tối giản (n $ \in $ $\mathbb{N}$).

Bài toán 4: Tìm tất cả các số tự nhiên n để $\dfrac{{5n + 6}}{{6n + 5}}$ có thể rút gọn được.

Bài toán 5: Với n $ \in $ $\mathbb{N}$$^*$, chứng tỏ rằng:

a) $\dfrac{1}{{n(n + 1)}} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{n + 1}}$

b) $\dfrac{2}{{n(n + 1)(n + 2)}} = \dfrac{1}{{n(n + 1)}} - \dfrac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}$

Bài toán 6: Chứng tỏ rằng:

a) $\dfrac{1}{{{n^2}}} < \dfrac{1}{{n - 1}} - \dfrac{1}{n}$ (n $ \in $ $\mathbb{N}$, $n \ge 2$)

b) $\dfrac{1}{{{n^2}}} > \dfrac{1}{{n}} - \dfrac{1}{n + 1}$ (n $ \in $ $\mathbb{N}$, $n \ge 1$)

Bài toán 7: Cho a, b, m $ \in $ $\mathbb{N}$$^*$. Chứng tỏ rằng:

a) $\dfrac{a}{b} > \dfrac{{a + m}}{{b + m}}$ khi a > b

b) $\dfrac{a}{b} < \dfrac{{a + m}}{{b + m}}$ khi a < b

Bài toán 8: Tính các tổng sau đây:

1) $A = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{99.100}}$

2) $B = \dfrac{5}{{1.6}} + \dfrac{5}{{6.11}} + \dfrac{5}{{11.16}} + ... + \dfrac{5}{{96.101}}$

3) $C = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{37.41}}$

4) $D = \dfrac{{11}}{{1.3}} + \dfrac{{11}}{{3.5}} + \dfrac{{11}}{{5.7}} +  \cdots  + \dfrac{{11}}{{97.99}}$

5) $E = \dfrac{1}{{6}} + \dfrac{1}{{10}} + \dfrac{1}{{15}} + \dfrac{1}{{21}} + \dfrac{1}{{28}} + \dfrac{1}{{36}} + \dfrac{1}{{45}} + \dfrac{1}{{55}} + \dfrac{1}{{66}} + \dfrac{1}{{78}} + \dfrac{1}{{91}} + \dfrac{1}{{105}}$

6) $F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{98.99.100}}$

7) $G = \dfrac{1}{{2.7.12}} + \dfrac{1}{{7.12.17}} + \dfrac{1}{{12.17.22}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{1997.2002.2007}}$

8) $H = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{{2^{2004}}}}$

9) $I = \dfrac{7}{{10}} + \dfrac{7}{{{{10}^2}}} + \dfrac{7}{{{{10}^3}}} +  \ldots $

10) $J = 1 + \dfrac{1}{2}\left( {1 + 2} \right) + \dfrac{1}{3}\left( {1 + 2 + 3} \right) + \dfrac{1}{4}\left( {1 + 2 + 3 + 4} \right) +  \cdots  + $

$ + \dfrac{1}{{16}}\left( {1 + 2 + 3 +  \cdots  + 16} \right)$

Bài toán 9: Thực hiện phép tính:

1) $\left( {\dfrac{1}{{2011}} + \dfrac{2}{{2010}} + \dfrac{3}{{2009}} + 4} \right):\left( {\dfrac{1}{{2009}} + \dfrac{1}{{2010}} + \dfrac{1}{{2011}} + \dfrac{1}{{2012}}} \right)$

2) $- \dfrac{1}{{90}} - \dfrac{1}{{72}} - \dfrac{1}{{56}} - \dfrac{1}{{42}} - \dfrac{1}{{30}} - \dfrac{1}{{20}} - \dfrac{1}{{12}} - \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{2}$

3) $\dfrac{3}{2} - \dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{{12}} - \dfrac{9}{{20}} + \dfrac{{11}}{{30}} - \dfrac{{13}}{{42}} + \dfrac{{15}}{{56}} - \dfrac{{17}}{{72}}$
4) $\left( {1 + \dfrac{1}{{1.3}}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{2.4}}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{3.5}}} \right) \ldots \left( {1 + \dfrac{1}{{17.19}}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{18.20}}} \right)$
5) $\left( {\dfrac{6}{8} + 1} \right)\left( {\dfrac{6}{{18}} + 1} \right)\left( {\dfrac{6}{{30}} + 1} \right) \cdots \left( {\dfrac{6}{{10700}} + 1} \right)$
6) $\left( {1 - \dfrac{1}{3}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{6}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{10}}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{15}}} \right) \cdots \left( {1 - \dfrac{1}{{190}}} \right)$
7) $\left( {1 - \dfrac{4}{1}} \right)\left( {1 - \dfrac{4}{9}} \right)\left( {1 - \dfrac{4}{{25}}} \right) \cdots \left( {1 - \dfrac{4}{{38809}}} \right)$
8) $\dfrac{{\left( {1 + 17} \right)\left( {1 + \dfrac{{17}}{2}} \right)\left( {1 + \dfrac{{17}}{3}} \right) \cdots \left( {1 + \dfrac{{17}}{{19}}} \right)}}{{\left( {1 + 19} \right)\left( {1 + \dfrac{{19}}{2}} \right)\left( {1 + \dfrac{{19}}{3}} \right) \cdots \left( {1 + \dfrac{{19}}{{17}}} \right)}}$

Bài toán 10: Cho ba số a, b, c thỏa mãn abc = 105 và bc + b +1 $ \ne $ 0. Tính giá trị của biểu thức $S = \dfrac{{105}}{{abc + ab + a}} + \dfrac{b}{{bc + b + 1}} + \dfrac{a}{{ab + a + 105}}$

Bài toán 11: Chứng tỏ rằng:

$\left( {1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} +  \ldots  + \dfrac{1}{{101}}} \right) - \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} +  \ldots  + \dfrac{1}{{100}} + \dfrac{1}{{102}}} \right) = $

$ = \dfrac{1}{{52}} + \dfrac{1}{{53}} + \dfrac{1}{{54}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{101}} + \dfrac{1}{{102}}$

Bài toán 12: Chứng tỏ rằng:

1) $\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{n(n + 1)}} < 1$ (n $ \in $ $\mathbb{N}$$^*$)

2) $\dfrac{1}{{{1^2}}} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{{n^2}}} < 2$ (n $ \in $ $\mathbb{N}$, $n \ge 2$)

3) $\dfrac{{{{10}^8} + 2}}{{{{10}^8} - 1}} < \dfrac{{{{10}^8}}}{{{{10}^8} - 3}}$

4) $\dfrac{{{{10}^{2004}} + 1}}{{{{10}^{2005}} + 1}} > \dfrac{{{{10}^{2005}} + 1}}{{{{10}^{2006}} + 1}}$ 

5) $\dfrac{{2000}}{{2001}} + \dfrac{{2001}}{{2002}} > \dfrac{{2000 + 2001}}{{2001 + 2002}}$

6) $\dfrac{1}{{11}} + \dfrac{1}{{12}} + \dfrac{1}{{13}} + \dfrac{1}{{14}} + \dfrac{1}{{15}} + \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{17}} + \dfrac{1}{{18}} + \dfrac{1}{{19}} + \dfrac{1}{{20}} > \dfrac{1}{2}$

7) $\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{{13}} + \dfrac{1}{{14}} + \dfrac{1}{{15}} + \dfrac{1}{{61}} + \dfrac{1}{{62}} + \dfrac{1}{{63}} < \dfrac{1}{2}$
8) $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} +  \ldots  + \dfrac{1}{{63}} > 2$

Bài toán 13: Cho a, b, c, d > 0. Chứng tỏ rằng:

a) $\dfrac{{a + b}}{{1 + a + b}} \le \dfrac{a}{{1 + a}} + \dfrac{b}{{1 + b}}$

b) $1 < \dfrac{a}{{a + b + c}} + \dfrac{b}{{b + c + d}} + \dfrac{c}{{c + d + a}} + \dfrac{d}{{d + a + b}} < 2$

Bài toán 14: Chứng minh rằng tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó thì không nhỏ hơn 2.

Read More

[SỐ HỌC 6] CÁC PHÉP TOÁN TRONG PHÂN SỐ

I. PHÉP CỘNG PHÂN SỐ

❄ Cộng hai phân số cùng mẫu: $\boxed{\dfrac{a}{m} + \dfrac{b}{m} = \dfrac{{a + b}}{m}}$
❄ Cộng hai phân số không cùng mẫu: Ta qui đồng các phân số rồi áp dụng công thức trên.
Ví dụ: Tính:
    1) $\dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{{3 + 5}}{8} = \dfrac{8}{8} = 1$
    2) $\dfrac{1}{7} + \dfrac{{ - 4}}{7} = \dfrac{{1 + ( - 4)}}{7} = \dfrac{{ - 3}}{7}$
    3) $\dfrac{6}{{18}} + \dfrac{{ - 14}}{{21}} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{{ - 2}}{3} = \dfrac{{1 + ( - 2)}}{3} = \dfrac{{ - 1}}{3}$
    4) $\dfrac{{ - 2}}{3} + \dfrac{4}{{15}} = \dfrac{{ - 10}}{{15}} + \dfrac{4}{{15}} = \dfrac{{ - 6}}{{15}} = \dfrac{{ - 2}}{5}$
    5) $\dfrac{{11}}{{15}} + \dfrac{9}{{ - 10}} = \dfrac{{11}}{{15}} + \dfrac{{ - 9}}{{10}} = \dfrac{{22}}{{30}} + \dfrac{{ - 27}}{{30}} = \dfrac{{ - 5}}{{30}} = \dfrac{{ - 1}}{6}$
    6) $\dfrac{1}{{ - 7}} + 3 = \dfrac{{ - 1}}{7} + \dfrac{3}{1} = \dfrac{{ - 1}}{7} + \dfrac{{21}}{7} = \dfrac{{20}}{7}$
Tương tự phép cộng số nguyên, phép cộng phân số có các tính chất cơ bản sau:
a) Giao hoán:          $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{c}{d} + \dfrac{a}{b}$
b) Kết hợp:              $\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}} \right) + \dfrac{p}{q} = \dfrac{a}{b} + \left( {\dfrac{c}{d} + \dfrac{p}{q}} \right)$
c) Cộng với số $0$:    $\dfrac{a}{b} + 0 = 0 + \dfrac{a}{b} = \dfrac{a}{b}$

II. PHÉP TRỪ PHÂN SỐ

Qui tắc: $\boxed{{\dfrac{a}{b} \color{red}{-} \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} + \dfrac{{ \color{red}{-} c}}{d}}}$

Mẹo: Để thực hiện phép trừ, ta đem dấu "$-$" (màu đỏ) lên tử của phân số thứ hai và thay chỗ trống đó bằng dấu "$+$".

Lưu ý: $\boxed{\dfrac{a}{{ - b}} =  - \dfrac{a}{b} = \dfrac{{ - a}}{b}}$

Ví dụ: Tính:
    1) $\dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8} + \dfrac{{ - 1}}{2} = \dfrac{1}{8} + \dfrac{{ - 4}}{8} = \dfrac{{ - 3}}{8}$
    2) $\dfrac{{ - 5}}{7} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{{ - 5}}{7} + \dfrac{{ - 1}}{3} = \dfrac{{ - 15}}{{21}} + \dfrac{{ - 7}}{{21}} = \dfrac{{ - 22}}{{21}}$
    3) $\dfrac{3}{5} - \dfrac{{ - 1}}{2} = \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{6}{{10}} + \dfrac{5}{{10}} = \dfrac{{11}}{{10}}$
    4) $\dfrac{{ - 2}}{5} - \dfrac{{ - 3}}{4} = \dfrac{{ - 2}}{5} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{{ - 8}}{{20}} + \dfrac{{15}}{{20}} = \dfrac{7}{{20}}$
     5) $ - 5 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{{ - 5}}{1} + \dfrac{{ - 1}}{6} = \dfrac{{ - 30}}{6} + \dfrac{{ - 1}}{6} = \dfrac{{ - 31}}{6}$

III. PHÉP NHÂN PHÂN SỐ
Qui tắc: $\boxed{\dfrac{a}{b} . \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a . c}}{b . d}}$
Ví dụ: Tính:
    1) $\dfrac{{ - 3}}{7}.\dfrac{2}{{ - 5}} = \dfrac{{( - 3).2}}{{7.( - 5)}} = \dfrac{{ - 6}}{{ - 35}} = \dfrac{6}{{35}}$
    2) $\dfrac{{ - 28}}{{33}}.\dfrac{{ - 3}}{4} = \dfrac{{( - 28).( - 3)}}{{33.4}} = \dfrac{{\color{red}{28}.\color{blue}{3}}}{{\color{blue}{33}.\color{red}{4}}} = \dfrac{{\color{red}{7}.\color{blue}{1}}}{{\color{blue}{11}.\color{red}{1}}} = \dfrac{7}{{11}}$
    3) ${\left( {\dfrac{{ - 3}}{5}} \right)^2} = \dfrac{{ - 3}}{5}.\dfrac{{ - 3}}{5} = \dfrac{9}{{25}}$
    4) ${\left( { - \dfrac{3}{2}} \right)^5} = \left( { - \dfrac{3}{2}} \right)\left( { - \dfrac{3}{2}} \right)\left( { - \dfrac{3}{2}} \right)\left( { - \dfrac{3}{2}} \right)\left( { - \dfrac{3}{2}} \right) =  - \dfrac{{{3^5}}}{{{2^5}}} =  - \dfrac{{243}}{{32}}$
    5) $( - 2).\dfrac{{ - 3}}{7} = \dfrac{{( - 2).( - 3)}}{7} = \dfrac{6}{7}$               $\left(a.\dfrac{b}{c} \color{orange}{ = \dfrac{a}{1}.\dfrac{b}{c}} = \dfrac{{a.b}}{c}\right)$
    6) $\dfrac{5}{{33}}.(-3) = \dfrac{{5.\color{red}{( - 3)}}}{\color{red}{33}} = \dfrac{{5.\color{red}{( - 1)}}}{\color{red}{11}} = \dfrac{{ - 5}}{{11}}$   $\left(\dfrac{a}{b}.c \color{orange}{ = \dfrac{a}{b}.\dfrac{c}{1}} = \dfrac{{a.c}}{b}\right)$
Tương tự phép nhân số nguyên, phép nhân phân số có các tính chất cơ bản sau:
a) Giao hoán:        $\dfrac{a}{b} . \dfrac{c}{d} = \dfrac{c}{d} . \dfrac{a}{b}$
b) Kết hợp:           $\left( {\dfrac{a}{b} . \dfrac{c}{d}} \right) . \dfrac{p}{q} = \dfrac{a}{b} . \left( {\dfrac{c}{d} . \dfrac{p}{q}} \right)$
c) Nhân với số 1:   $\dfrac{a}{b} . 1 = 1 . \dfrac{a}{b} = \dfrac{a}{b}$
d) Phân phối:         $\dfrac{a}{b}.\left( {\dfrac{c}{d} \pm \dfrac{p}{q}} \right) = \dfrac{a}{b}.\dfrac{c}{d} \pm \dfrac{a}{b}.\dfrac{p}{q}$

IV. PHÉP CHIA PHÂN SỐ
Qui tắc: $\boxed{\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b}.\dfrac{d}{c} = \dfrac{{a.d}}{{b.c}}\;\left( {c \ne 0} \right)}$
Ví dụ: Tính:
    1) $\dfrac{5}{6}:\dfrac{{ - 7}}{{12}} = \dfrac{5}{6}.\dfrac{{ - 12}}{7} = \dfrac{5}{1}.\dfrac{{ - 2}}{7} = \dfrac{{ - 10}}{7}$
    2) $ - 7:\dfrac{{14}}{3} =  - 7.\dfrac{3}{{14}} = \dfrac{{ - 3}}{2}$
    3) $\dfrac{{ - 3}}{7}:9 = \dfrac{{ - 3}}{7}.\dfrac{1}{9} = \dfrac{{ - 1}}{7}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{{ - 1}}{{21}}$

Read More

Số 2016 trong Toán học

Các bạn hãy cùng chiêm ngưỡng vẻ đẹp của số 2016 nhé!

$2016 = {11111100000_2}$

$2016 = {2^{11}} - {2^5}$

$2016 = {2^{6 - 1}} \times \left( {{2^6} - 1} \right)$

$2016 = 2 \times 7! \div 5$

$2016 = {2^5} \times {3^2} \times 7$

$2016 = 1 + 2 + 3 +  \ldots  + 63 = \sum\limits_{k = 1}^{63} k $

$2016 = 1 + 5 + 9 + 13 +  \ldots  + 125 = \sum\limits_{k = 0}^{31} {(4k + 1)} $

$2016 = {2^{10}} + {2^9} + {2^8} + {2^7} + {2^6} + {2^5}$

$2016 = {3^3} + {4^3} + {5^3} + {6^3} + {7^3} + {8^3} + {9^3}$

$2016 = {2^3} + {4^3} + {6^3} + {12^3}$

$2016 = 2 \times \left( {{3^2} + {3^3} + {3^{2 + 3}} + {3^{2 \times 3}}} \right)$

$2016 = {1^2} - {2^2} + {3^2} - {4^2} +  \ldots  - {62^2} + {63^2} = \sum\limits_{k = 1}^{63} {{{( - 1)}^{k + 1}}{k^2}} $

$2016 = \sqrt {{1^3} + {2^3} + {3^3} +  \ldots  + {{62}^3} + {{63}^3}}  = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^{63} {{k^3}} } $

$2016 = {11^4} - {10^4} - {9^4} + {8^4} - {7^4} + {6^4} + {5^4} + {4^4} + {3^4} - {2^4} - {1^4}$

$2016 = 9!! + 8!! + 7!! + 6! - 5! - 4! + 3! - 2! + 1! + 0!$

$2016 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 63 + 126 + 252 + 504 + 1008$

$2016 = 666 + 666 + 666 + 6 + 6 + 6$

$2016 = 888 + 888 + 88 + 88 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8$

$2016 = 999 + 999 + 9 + 9$

$2016 = 888 + 666 + 444 + 8 + 6 + 4$

$2016 = 999 + 777 + 99 + 77 + 9 + 7 + 9 + 7 + 9 + 7 + 9 + 7$

$2016 = 1234 + 567 + 89 + 123 + 1 + 2$

$2016 = 1243 + 5 + 678 + 90$

$2016 = 987 + 654 + 321 + 9 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$

Read More

[SỐ HỌC 6] SO SÁNH PHÂN SỐ

❄ SO SÁNH HAI PHÂN SỐ

Để so sánh hai phân số ta thường sử dụng hai cách sau:

Cách 1: Qui đồng mẫu (xem tại đây) hoặc tử

Cách 2: Thông qua giá trị trung gian (số nguyên hoặc phân số)
Lưu ý:
1) Phân số có tử và mẫu cùng dấu thì lớn hơn 0, phân số lớn hơn 0 gọi là phân số dương. Ngược lại, phân số có tử và mẫu khác dấu thì nhỏ hơn 0, phân số nhỏ hơn 0 gọi là phân số âm.
2) Với phân số dương (tử và mẫu cùng dấu), nếu tử lớn hơn mẫu thì phân số lớn hơn 1 và ngược lại.
3) Với hai phân số dương cùng tử, phân số nào có mẫu nhỏ hơn thì lớn hơn và ngược lại.
4) Cho hai phân số $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{c}{d}$ ($a$, $b$, $c$, $d$ $\in$ $\mathbb{N}^*$, $a$ < $c$, $b$ > $d$) thì $\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{b} < \dfrac{c}{d}$
5) Nếu chỉ so sánh hai phân số có bằng nhau hay không ta sử dụng tính chất $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Leftrightarrow a.d = b.c$

Ví dụ 1: Các cặp phân số sau có bằng nhau hay không?

1) $\dfrac{2}{3}$ và $\dfrac{6}{9}$

$\dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{9}$ vì $2.9 = 3.6$

2) $\dfrac{{ - 3}}{4}$ và $\dfrac{5}{{ - 7}}$

$\dfrac{{ - 3}}{4} \ne \dfrac{5}{{ - 7}}$ vì $( - 3).( - 7) \ne 4.5$

Ví dụ 2: So sánh các phân số

1) $\dfrac{14}{{21}}$ và $\dfrac{ - 60}{{ - 72}}$

$\dfrac{{14}}{{21}} = \dfrac{{2}}{{3}}$, $\dfrac{{ - 60}}{{ - 72}} = \dfrac{{5}}{{6}}$

MC = 6

$\dfrac{2}{3} = \dfrac{{2.2}}{{3.2}} = \dfrac{4}{6}$

Vì $\dfrac{{4}}{{6}} < \dfrac{{ 5}}{6}$

nên $\dfrac{{14}}{{21}} < \dfrac{{ - 60}}{ - 72}$

2) $\dfrac{-2}{{7}}$ và $\dfrac{24}{{-56}}$

$\dfrac{{24}}{{ - 56}} = \dfrac{{ - 3}}{{7}}$ (chia cả tử và mẫu cho $-8$)

Vì $\dfrac{{-2}}{{7}} > \dfrac{{ - 3}}{7}$

nên $\dfrac{{-2}}{{7}} > \dfrac{{24}}{-56}$

3) $\dfrac{11033}{{15045}}$ và $\dfrac{1111}{{1515}}$

$\dfrac{{11033}}{{15045}} = \dfrac{{11}}{{15}}$ (chia cả tử và mẫu cho $1003$)

$\dfrac{{1111}}{{1515}} = \dfrac{{11}}{{15}}$ (chia cả tử và mẫu cho $101$)

Vậy $\dfrac{{11033}}{{15045}} = \dfrac{{1111}}{{1515}}$

4) $\dfrac{141}{{893}}$ và $\dfrac{159}{{901}}$

$\dfrac{{141}}{{893}} = \dfrac{3}{{19}}$, $\dfrac{{159}}{{901}} = \dfrac{3}{{17}}$

Vì $\dfrac{{3}}{{19}} < \dfrac{{3}}{17}$

nên $\dfrac{{141}}{{893}} < \dfrac{{159}}{901}$

5) $\dfrac{ - 19}{{7}}$ và $\dfrac{1}{{6}}$

$\dfrac{{ - 19}}{7} < 0 < \dfrac{1}{6}$

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{ - 19}}{7} < \dfrac{1}{6}$

6) $\dfrac{{79}}{{97}}$ và $\dfrac{71}{{17}}$

$\dfrac{{79}}{97} < 1 < \dfrac{71}{17}$

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{79}}{97} < \dfrac{71}{17}$

7) $\dfrac{{37}}{{195}}$ và $\dfrac{73}{{179}}$

$\dfrac{{37}}{{195}} < \dfrac{{73}}{{195}} < \dfrac{{73}}{{179}}$

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{37}}{{195}} < \dfrac{{73}}{{179}}$

8) $\dfrac{{12}}{{29}}$ và $\dfrac{16}{{41}}$

$\dfrac{{12}}{{29}} > \dfrac{{12}}{{30}} = \dfrac{2}{5} = \dfrac{{16}}{{40}} > \dfrac{{16}}{{41}}$

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{12}}{{29}} > \dfrac{{16}}{{41}}$

9) $\dfrac{{22}}{{7}}$ và $\dfrac{34}{{11}}$

$\dfrac{{22}}{7} = 3\dfrac{1}{7}\;\left( { = 3 + \dfrac{1}{7}} \right)$, $\dfrac{{34}}{{11}} = 3\dfrac{1}{{11}}\;\left( { = 3 + \dfrac{1}{{11}}} \right)$

Vì $\dfrac{{1}}{{7}} > \dfrac{{1}}{11}$

nên $\dfrac{{22}}{{7}} > \dfrac{{34}}{11}$

Read More

[SỐ HỌC 6] QUI ĐỒNG MẪU CÁC PHÂN SỐ

❄ QUI ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN SỐ

Muốn qui đồng mẫu nhiều phân số ta làm như sau:
Bước 1: Rút gọn các phân số, đổi mẫu âm thành mẫu dương
Bước 2: Tìm mẫu chung (thường là BCNN)
Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng (tìm thừa số phụ bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu)

Ví dụ: Qui đồng mẫu các phân số: $\dfrac{-4}{{7}}$, $\dfrac{16}{{18}}$ và $\dfrac{20}{{-42}}$

$\dfrac{{16}}{{18}} = \dfrac{{8}}{{9}}$, $\dfrac{{20}}{{-42}} = \dfrac{{-10}}{{21}}$

Để tìm mẫu chung (MC), ta thường làm như sau:

Cách 1: BCNN(7, 9, 21) = 63 (cách tìm BCNN ôn lại tại đây)

Cách 2: Trong 3 mẫu 7, 9, 21 ta chọn mẫu lớn nhất là 21; lấy 21 $\times$ 1;2;3;4;... đến khi nào ta được kết quả chia hết cho 7; 9 thì kết quả đó là mẫu chung. Trong trường hợp này 21 $\times$ 3 = 63 chia hết cho 7 và 9, vậy mẫu chung là 63.

MC = 63

Thừa số phụ thứ nhất 63 : 7 = 9 

Thừa số phụ thứ hai 63 : 9 = 7 

Thừa số phụ thứ ba 63 : 21 =3

$\dfrac{{ - 4}}{7} = \dfrac{{ - 4.9}}{{7.9}} = \dfrac{{ - 36}}{{63}}$

$\dfrac{8}{9} = \dfrac{{8.7}}{{9.7}} = \dfrac{{56}}{{63}}$

$\dfrac{{ - 10}}{{21}} = \dfrac{{ - 10.3}}{{21.3}} = \dfrac{{ - 30}}{{63}}$

Read More