ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2011$-$2012

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2011$-$2012

Bài 1. Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) $3{x^2} - 2x - 1 = 0$

b) $\begin{cases}5x + 7y = 3\\5x - 4y = -8\end{cases}$

c) ${x^4} + 5{x^2} - 36 = 0$

d) $3{x^2} - x\sqrt 3  + \sqrt 3  - 3 = 0$

Bài 2.

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số $y =  - {x^2}$ và đường thẳng (D): $y =  - 2x - 3$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.

Bài 3. Thu gọn các biểu thức sau:

a) $A = \sqrt {\dfrac{{3\sqrt 3  - 4}}{{2\sqrt 3  + 1}}}  - \sqrt {\dfrac{{\sqrt 3  + 4}}{{5 - 2\sqrt 3 }}} $

b) $B = \dfrac{{x\sqrt x  - 2x + 28}}{{x - 3\sqrt x  - 4}} - \dfrac{{\sqrt x  - 4}}{{\sqrt x  + 1}} + \dfrac{{\sqrt x  + 8}}{{4 - \sqrt x }}$       (x $\ge$ 0, x $\ne$ 16)

Bài 4. Cho phương trình: ${x^2} - 2mx - 4m - 5 = 0$ (x là ẩn số)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.

b) Gọi $x_1$, $x_2$ là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 5. Cho đường tròn (O) có tâm O, đường kính BC. Lấy một điểm A trên đường tròn (O) sao cho AB > AC. Từ A, vẽ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Từ H, vẽ HE vuông góc với AB và HF vuông góc với AC (E thuộc AB, F thuộc AC).

a) Chứng minh rằng AEHF là hình chữ nhật và OA vuông góc với EF.

b) Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại P và Q (E nằm giữa P và F). Chứng minh AP${^2}$ = AE.AB. Suy ra APH là tam giác cân.

c) Gọi D là giao điểm của PQ và BC; K là giao điểm của AD và đường tròn (O) (K khác A). Chứng minh rằng AEFK là một tứ giác nội tiếp.

d) Gọi I là giao điểm của KF và BC. Chứng minh IH${^2}$ = IC.ID.

Read More

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2010$-$2011

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2010$-$2011

Bài 1. Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) $2{x^2} - 3x - 2 = 0$

b) $\begin{cases}4x + y = -1\\6x - 2y = 9\end{cases}$

c) $4{x^4} - 13{x^2} + 3 = 0$

d) $2{x^2} - 2\sqrt 2 x - 1 = 0$

Bài 2.

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số $y = \dfrac{{ - {x^2}}}{2}$ và đường thẳng (D): $y = \dfrac{1}{2}x - 1$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) bằng phép tính.

Bài 3. Thu gọn các biểu thức sau:

a) $A = \sqrt {12 - 6\sqrt 3 }  + \sqrt {21 - 12\sqrt 3 } $

b) $B = 5{\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 }  + \sqrt {3 - \sqrt 5 }  - \sqrt {\dfrac{5}{2}} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {2 - \sqrt 3 }  + \sqrt {3 + \sqrt 5 }  - \sqrt {\dfrac{3}{2}} } \right)^2}$

Bài 4. Cho phương trình: ${x^2} - \left( {3m + 1} \right)x + 2{m^2} + m - 1 = 0$ (x là ẩn số)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Gọi $x_1$, $x_2$ là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: $A = x_1^2 + x_2^2 - 3{x_1}{x_2}$.

Bài 5. Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kì thuộc đường tròn (O) khác A và B. Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc AE).

a) Chứng minh rằng AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn và APMQ là hình chữ nhật.

b) Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O, I, E thẳng hàng.

c) Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh hai tam giác EAO và MPB đồng dạng. Suy ra K là trung điểm của MP.

d) Đặt AP = x. Tính MP theo R và x. Tìm vị trí của M trên (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất.

Read More

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2009$-$2010

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2009$-$2010

Bài 1. Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) $8{x^2} - 2x - 1 = 0$

b) $\begin{cases}2x + 3y = 3\\5x - 6y = 12\end{cases}$

c) ${x^4} - 2{x^2} - 3 = 0$

d) $3{x^2} - 2\sqrt 6 x + 2 = 0$

Bài 2.

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số $y = \dfrac{{{x^2}}}{2}$ và đường thẳng (D): $y = x + 4$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phép tính.

Bài 3. Thu gọn các biểu thức sau:

$A = \dfrac{4}{{3 + \sqrt 5 }} - \dfrac{8}{{1 + \sqrt 5 }} + \dfrac{{15}}{{\sqrt 5 }}$

$B = \left( {\dfrac{{\sqrt x  + \sqrt y }}{{1 - \sqrt {xy} }} + \dfrac{{\sqrt x  - \sqrt y }}{{1 + \sqrt {xy} }}} \right):\left( {\dfrac{{x + xy}}{{1 - xy}}} \right)$

Bài 4. Cho phương trình: ${x^2} - \left( {5m - 1} \right)x + 6{m^2} - 2m = 0$ (m là tham số)

a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b) Gọi $x_1$, $x_2$ là các nghiệm của phương trình. Tìm m để $x_1^2 + x_2^2 = 1$.

Bài 5. Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) có tâm O, bán kính R. Gọi H là giao điểm của ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC. Gọi S là diện tích tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng AEHF và AEDB là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Vẽ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh tam giác ABD và tam giác AKC đồng dạng với nhau. Suy ra AB.AC = 2R.AD và $S = \dfrac{{AB.BC.CA}}{{4R}}$.

c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh EFDM là tứ giác nội tiếp đường tròn.

d) Chứng minh rằng OC vuông góc với DE và (DE + EF + FD).R = 2S.

Read More

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2008$-$2009

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2008$-$2009

Bài 1. Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) $2{x^2} + 3x - 5 = 0$

b) ${x^4} - 3{x^2} - 4 = 0$

c) $\begin{cases}2x + y = 1\\3x + 4y = -1\end{cases}$

Bài 2.

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số $y =  - {x^2}$ và đường thẳng (D): $y = x - 2$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.

Bài 3. Thu gọn các biểu thức sau:

a) $A = \sqrt {7 - 4\sqrt 3 }  - \sqrt {7 + 4\sqrt 3 } $

b) $B = \left( {\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{x - 4}} - \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{x + 4\sqrt x  + 4}}} \right).\dfrac{{x\sqrt x  + 2x - 4\sqrt x  - 8}}{{\sqrt x }}$ (x > 0, x $\ne$ 4)

Bài 4. Cho phương trình ${x^2} - 2mx - 1 = 0$ (m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi $x_1$, $x_2$ là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để $x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = 7$.

Bài 5. Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O (C nằm giữa M và D) và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm).

a) Chứng minh MA$^2$ = MC.MD

b) Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh rằng 5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường tròn.

c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp được đường tròn. Suy ra AB là đường phân giác của $\widehat {CHD}$.

d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). Chứng minh A, B, K thẳng hàng.

Read More

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2007$-$2008

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2007$-$2008

Bài 1. Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) ${x^2} - 2\sqrt 5 x + 4 = 0$

b) ${x^4} - 29{x^2} + 100 = 0$

c) $\begin{cases}5x + 6y = 17\\9x - y = 7\end{cases}$

Bài 2. Thu gọn các biểu thức sau:

a) $A = \dfrac{{\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } }}{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}$

b) $B = \left( {3\sqrt 2  + \sqrt 6 } \right)\sqrt {6 - 3\sqrt 3 } $

Bài 3. Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 675m$^2$ và chu vi bằng 120m. Tìm chiều dài và chiều rộng của khu vườn.

Bài 4. Cho phương trình ${x^2} - 2mx + {m^2} - m + 1 = 0$ với m là tham số và x là ẩn số.

a) Giải phương trình với m = 1.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$.

c) Với điều kiện của câu b hãy tìm m để biểu thức $A = {x_1}{x_2} - {x_1} - {x_2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 5. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D.

a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp vàAH vuông góc BC.

b) Chứng minh AE.AB = AF.AC .

c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC. Tính tỉ số $\dfrac{{OK}}{{BC}}$ khi tứ giác BHOC nội tiếp.

d) Cho HF = 3cm, HB = 4cm, CE = 8cm và HC > HE. Tính HC.

Read More

[ĐẠI SỐ 9] BẤT ĐẲNG THỨC

❄ BẤT ĐẲNG THỨC AM$-$GM (BĐT CAUCHY)

	$a, b \ge 0$	$a, b, c \ge 0$
Dạng 1	$\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} $	$\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}$
Dạng 2	$a + b \ge 2\sqrt {ab} $	$a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}$
Dạng 3	${\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab$	${\left( {\dfrac{{a + b + c}}{3}} \right)^3} \ge abc$
Dấu “=”	$a = b$	$a = b =c$

Chứng minh.

1) Cho a, b $\ge$ 0. Chứng minh: $\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} $

Giải

Cách 1.
$\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} $

$ \Leftrightarrow $ $a + b \ge 2\sqrt {ab} $

$ \Leftrightarrow $ $a - 2\sqrt {ab}  + b \ge 0$

$ \Leftrightarrow $ ${\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0$ (BĐT Đúng)

Vậy $\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} $ với mọi a, b $\ge$ 0

Dấu “=” xãy ra $ \Leftrightarrow $ a = b

Cách 2.

Đặt BH = a, HC = b

$\triangle$ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến

$ \Rightarrow $ $AM = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{a + b}}{2}$

$\triangle$ABC vuông tại A có AH là đường cao

$ \Rightarrow $ AH$^2$ = BH.HC = a.b

$ \Rightarrow $ AH = $\sqrt {ab} $

$\triangle$AHM vuông tại H

$ \Rightarrow $ AM lớn nhất

$ \Rightarrow $ AM $ \ge $ AH

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} $

Cách 3.

Hình chữ nhật ABCD có AD = BC = $\sqrt{a}$, AB = CD = $\sqrt{b}$ và CE = CD.

$S_{ADI}  + S_{CDE}  \ge S_{ABCD} $

$ \Rightarrow $ $\dfrac{1}{2}\sqrt a .\sqrt a  + \dfrac{1}{2}\sqrt b .\sqrt b  \ge \sqrt a .\sqrt b $

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} $

2) Cho a, b, c $\ge$ 0. Chứng minh: $\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}$

Giải

Cách 1. (Áp dụng BĐT Cauchy)

$a + b + c + \sqrt[3]{{abc}} \ge 2\sqrt {ab}  + 2\sqrt {c\sqrt[3]{{abc}}}  \ge 2\left( {\sqrt {ab}  + \sqrt {c\sqrt[3]{{abc}}} } \right)$

mà $\sqrt {ab}  + \sqrt {c\sqrt[3]{{abc}}}  \ge 2\sqrt {\sqrt {ab} \sqrt {c\sqrt[3]{{abc}}} }  \ge 2\sqrt {\sqrt {abc\sqrt[3]{{abc}}} } $ $\ge$

$\ge$ $2\sqrt {\sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{abc}}} \right)}^3}\sqrt[3]{{abc}}} } $ $\ge$ $2\sqrt {\sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{abc}}} \right)}^4}} } $ $\ge$ $2\sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{abc}}} \right)}^2}} $ $\ge$ $2\sqrt[3]{{abc}}$ (do a, b, c $\ge$ 0)

$ \Rightarrow $ $a + b + c + \sqrt[3]{{abc}} \ge 4\sqrt[3]{{abc}}$
$ \Rightarrow $ $\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}$

Cách 2. (Áp dụng BĐT Cauchy và đổi biến)
$a + b + c + d \ge 2\left( {\sqrt {ab}  + \sqrt {cd} } \right) \ge 2\left( {2\sqrt {\sqrt {ab} \sqrt {cd} } } \right) = 4\sqrt {\sqrt {abcd} } $
$ \Rightarrow $ $\dfrac{{a + b + c + d}}{4} \ge \sqrt {\sqrt {abcd} } $
Đặt $d = \dfrac{{a + b + c}}{3}$, ta được:
$\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt {\sqrt {abc\left( {\dfrac{{a + b + c}}{3}} \right)} }  \ge \sqrt {\sqrt {abc\sqrt[3]{{abc}}} }  = \sqrt {\sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{abc}}} \right)}^4}} }  = \sqrt[3]{{abc}}$

Cách 3. Đổi biến và biến đổi tương tương
$\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}$ $ \Leftrightarrow $ $a + b + c - 3\sqrt[3]{{abc}} \ge 0$
Đặt $x = \sqrt[3]{a} \ge 0$, $y = \sqrt[3]{b} \ge 0$, $z = \sqrt[3]{c} \ge 0$
BĐT trở thành ${x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz \ge 0$
${a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc$
= $\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} \right)$
= $\dfrac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca} \right)$
= $\dfrac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)\left[ {\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ca + {a^2}} \right)} \right]$
= $\dfrac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right] \ge 0$ (do a, b, c $\ge$ 0)
Vậy $\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}$

Cách 4. Dồn biến
$\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}$ $ \Leftrightarrow $ $a + b + c - 3\sqrt[3]{{abc}} \ge 0$
Xét $f\left( {a,b,c} \right) = a + b + c - 3\sqrt[3]{{abc}}$, $f\left( {t,t,c} \right) = 2t + c - 3\sqrt[3]{{{t^2}c}}$ với $t = \dfrac{{a + b}}{2}$
$f\left( {a,b,c} \right) - f\left( {t,t,c} \right) = 3\left( {\sqrt[3]{{{t^2}c}} - \sqrt[3]{{abc}}} \right)$ mà $t = \dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} $
$ \Rightarrow $ ${t^2} \ge ab$
$ \Rightarrow $ $\sqrt[3]{{{t^2}c}} - \sqrt[3]{{abc}} \ge 0$
$ \Rightarrow $ $f\left( {a,b,c} \right) \ge f\left( {t,t,c} \right)$
Ta chứng minh $f\left( {t,t,c} \right) = 2t + c - 3\sqrt[3]{{{t^2}c}} \ge 0$. Thật vậy:
$2t + c - 3\sqrt[3]{{{t^2}c}} \ge 0$
$ \Leftrightarrow $ $2t + c \ge 3\sqrt[3]{{{t^2}c}}$
$ \Leftrightarrow $ ${\left( {2t + c} \right)^3} \ge 27{t^2}c$
$ \Leftrightarrow $ ${\left( {2t + c} \right)^3} - 27{t^2}c \ge 0$
$ \Leftrightarrow $ ${\left( {t - z} \right)^2}\left( {8t + z} \right) \ge 0$ (đúng)
Vậy $f\left( {a,b,c} \right) = a + b + c - 3\sqrt[3]{{abc}} \ge 0$
$ \Leftrightarrow $ $\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}$

Cách 5. Chuẩn hóa và dồn biến
Vì bất đẳng thức đã cho là đồng bậc nên bằng cách chuẩn hóa ta có thể giả sử: $a + b + c = 1$ (*)
$\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}$ $ \Leftrightarrow $ $1 \ge 3\sqrt[3]{{abc}}$ $ \Leftrightarrow $ $1 - 27abc \ge 0$
Xét $f\left( {a,b,c} \right) = 1 - 27abc$, $f\left( {t,t,c} \right) = 1 - 27{t^2}c$ với $t = \dfrac{{a + b}}{2}$
$f\left( {a,b,c} \right) - f\left( {t,t,c} \right) = 27\left( {{t^2}c - abc} \right)$ mà $t = \dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} $
$ \Rightarrow $ ${t^2} \ge ab$
$ \Rightarrow $ ${t^2}c \ge abc$
$ \Rightarrow $ $f\left( {a,b,c} \right) \ge f\left( {t,t,c} \right)$
Ta chứng minh $f\left( {t,t,c} \right) = 1 - 27{t^2}c \ge 0$. Thật vậy:
$1 - 27{t^2}c \ge 0$
$ \Leftrightarrow $ $1 - 27{t^2}\left( {1 - 2t} \right) \ge 0$
$ \Leftrightarrow $ ${\left( {3t - 1} \right)^2}\left( {6t + 1} \right) \ge 0$ (đúng)
Với điều kiện (*) thì dấu “=” xãy ra $ \Leftrightarrow $ $\begin{cases}a = b\\3t = 1\end{cases}$ $ \Leftrightarrow $ $a = b = c \ge 0$
Vậy $f\left( {a,b,c} \right) \ge 0$ $ \Rightarrow $ đpcm

Read More

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2006$-$2007

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2006$-$2007

Bài 1. Giải hệ phương trình và các phương trình sau:

a) $\begin{cases}3x + 2y = 1\\5x + 3y = -4\end{cases}$

b) $2{x^2} + 2\sqrt 3 x - 3 = 0$

c) $9{x^4} + 8{x^2} - 1 = 0$

Bài 2. Thu gọn các biểu thức sau:

a) $A = \dfrac{{\sqrt {15}  - \sqrt {12} }}{{\sqrt 5  - 2}} - \dfrac{1}{{2 - \sqrt 3 }}$

b) $B = \left( {\dfrac{{\sqrt a  - 2}}{{\sqrt a  + 2}} - \dfrac{{\sqrt a  + 2}}{{\sqrt a  - 2}}} \right)\left( {\sqrt a  - \dfrac{4}{{\sqrt a }}} \right)$ với $a > 0$, $a \ne 4$

Bài 3. Cho mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 360$m^2$. Nếu tăng chiều rộng 2m và giảm chiều dài 6m thì diện tích đất không đổi. Tính chu vi của mảnh đất lúc ban đầu.

Bài 4.

a) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng $y = 3x + 1$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4.

b) Vẽ đồ thị của hàm số $y = 3x + 4$ và $y =  - \dfrac{{{x^2}}}{2}$ trên cùng hệ trục tọa độ. Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị ấy bằng phép tính.

Bài 5. Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại E và D.

a) Chứng minh AD.AC = AE.AB

b) Gọi H là giao điểm của BD và CE, gọi K là giao điểm của AH và BC. Chứng minh AH vuông góc với BC.

c) Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) với M, N là các tiếp điểm. Chứng minh $\widehat {ANM} = \widehat {AKN}$.

d) Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.

Read More

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 1997$-$1998

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 1997$-$1998

Bài 1.

a) Tìm tất cả các giá trị của biểu thức $\sqrt {2x - 1} $ có nghĩa.

b) Giải hệ phương trình $\begin{cases}x + 2y = -4\\3x + 5y = 1\end{cases}$

c) Rút gọn $\dfrac{1}{{3 - \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3 + \sqrt 2 }}$

Bài 2. Cho hàm số $y =  - {x^2}$ có đồ thị (P) và $y = 2x + m$ có độ thị (D) trên cùng một hệ trục tọa độ.

a) Vẽ đồ thị (P).

b) Định m để (D) và (P) có điểm chung duy nhất. Vẽ (D) với m vừa tìm được.

Bài 3.

a) Rút gọn biểu thức $M = \left( {\dfrac{1}{{1 - \sqrt a }} - \dfrac{1}{{1 + \sqrt a }}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{\sqrt a }}} \right)$ với a $\ne$ 1, a > 0.

b) Tính giá trị của M khi $a = \dfrac{1}{9}$

Bài 4. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O) và tiếp tuyến thứ ba tiếp xúc với (O) tại điểm M cắt Ax tại D, cắt By tại E.

a) Chứng minh tam giác DOE là tam giác vuông.
b) Chứng minh $AD.BE = {R^2}$

c) Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn (O) sao cho diện tích tam giác DOE đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 5. Cho tam giác ABC có đường phân giác trong BE hợp với cạnh AC một góc $45^0$ $\left( {\widehat {BEA} = {{45}^0}} \right)$. Vẽ đường cao AD của tam giác ABC. Chứng minh $\widehat {EDC} = {45^0}$.

Read More

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 1996$-$1997

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 1996$-$1997

Bài 1.
1) Cho $A = \sqrt {x - 2} $

        a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.

        b) Tìm x sao cho A = 4

2) Giải phương trình: ${x^2} - 5x + 4 = 0$

Bài 2. Trong cùng một hệ trục tọa độ cho parabol (P): $y = a{x^2}$ và đường thẳng (D): $y = kx + b$.

1) Tìm k và b biết rằng (D) qua hai điểm $A\left( {1;\;0} \right)$ và $B\left( {0;\; - 1} \right)$.

2) Tìm a biết rằng (P) tiếp xúc (D) vừa tìm được ở câu 1.

3) Vẽ (D) và (P) vừa tìm được ở câu 1 và 2.

4) Gọi (d) là đường thẳng qua điểm $C\left( {\dfrac{3}{2};\; - 1} \right)$ và có hệ số góc là m.

        a) Viết phương trình của (d).

        b) Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đường thẳng (d) tiếp xúc (P) (ở câu 2) và vuông góc với nhau.

Bài 3. Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB, CD.

1) Chứng minh rằng ADBC là hình chữ nhật.

2) Hai đường kính AB, CD phải có vị trí tương ứng nào để ADBC là hình vuông?

3) Trong tất cả các hình chữ nhật ACBD nội tiếp trong đường tròn (O; R), tìm hình có diện tích lớn nhất và tính diện tích ấy theo R.

Bài 4. Cho điểm I trên đường tròn (O; R), đường trung trực của bán kính OI cắt đường tròn tại A và B.

1) Tính độ dài AB theo R.

2) Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn cắt nhau tại C. Chứng minh rằng ba điểm O, I, C thẳng hàng, tam giác ABC đều, I là tâm của đường tròn nội tiếp trong tam giác ABC.

3) Tính theo R diện tích phần của tam giác nằm ngoài hình tròn (O; R).

Read More

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 1995$-$1996

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 1995$-$1996

Bài 1.

1) Tính: $\dfrac{1}{{\sqrt 3  - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt 3  + 1}}$

2) Giải phương trình: $\sqrt {x - 4}  = 4 - x$

Bài 2. Cho phương trình bậc hai có ẩn x: ${x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0$

1) Chứng tỏ phương trình có nghiệm $x_1$, $x_2$ với mọi m.

2) Đặt $A = 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - 5{x_1}{x_2}$

        a) Chứng minh: $A = 8{m^2} - 18m + 9$

        b) Tìm m sao cho A = 27

3) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia.

Bài 3. Cho hình vuông ABCD cố định, độ dài cạnh a. E là điểm di chuyển trên đoạn CD (E khác D), đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K.

1) Chứng minh: hai tam giác ABF và ADK bằng nhau, suy ra tam giác AFK vuông cân.

2) Gọi I là trung điểm FK. Chứng minh: I là tâm của đường tròn qua A, C, F, K và I di chuyển trên đường cố định khi E di động trên CD.

3) Tính số đo góc AIF, suy ra bốn điểm A, B, F, I cùng nằm trên một đường tròn.

4) Đặt DE = x ($a \ge x > 0$), tính độ dài các cạnh của tam giác AEK theo a và x.

5) Hãy chỉ ra vị trí của E sao cho độ dài EK ngắn nhất và chứng minh điều ấy.

Read More

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 1994$-$1995

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 1994$-$1995

Bài 1.

1) So sánh: $2 + \sqrt 3 $ và $\sqrt 7 $ (không dùng máy tính, tính gần đúng)

2) Rút gọn: $\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}}  + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } $

Bài 2. Trong hệ trục vuông góc, gọi (P) là đồ thị của hàm số $y = {x^2}$.

1) Vẽ (P).

2) Gọi A, B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là –1 và 2. Viết phương trình của đường thẳng AB.

3) Viết phương trình của đường thẳng (D) song song với AB và tiếp xúc với (P).

Bài 3. Cho đường tròn (O; R) và điểm A với $OA = R\sqrt 2 $, một đường thẳng (d) quay quanh A cắt (O) tại M, N; gọi I là trung điểm của đoạn MN.

1) Chứng tỏ OI vuông góc với MN, suy ra I di chuyển trên một cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B, C thuộc (O).

2) Tính theo R độ dài AB, AC. Suy ra A, O, B, C là bốn đỉnh của hình vuông.

3) Tính theo R diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi đoạn AB, AC và cung nhỏ BC của (O).

4) Hãy chỉ ra vị trí của đường thẳng (d) tương ứng lúc tổng AM + AN lớn nhất và chứng minh điều ấy.

Read More

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 1993$-$1994

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 1993$-$1994

Bài 1.
1) Rút gọn: $6\sqrt {48}  - 2\sqrt {27}  - 4\sqrt {75} $
2) Giải phương trình: $\sqrt {x - 4}  = \sqrt {2 - x} $

Bài 2. Cho phương trình có ẩn số x (m là tham số): ${x^2} - mx + m - 1 = 0$

1) Chứng tỏ phương trình có nghiệm ${x_1}$, ${x_2}$ với mọi m; tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình và giá trị của m tương ứng.

2) Đặt $A = x_1^2 + x_2^2 - 6{x_1}{x_2}$

a) Chứng minh: $A = {m^2} - 8m + 8$.

b) Tìm m sao cho A = 8.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng.

Bài 3. Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính cố định vuông góc AB và CD.

1) Chứng minh ACBD là hình vuông.

2) Lấy điểm E di chuyển trên cung nhỏ BC (E khác B và C), trên tia đối của tia EA lấy đoạn EM = EB. Chứng tỏ ED là phân giác của góc AEB và ED song song với MB.

3) Suy ra CE là đường trung trực của BM và M di chuyển trên đường tròn mà ta phải xác định tâm và bán kính theo R.

Bài 4. Cho đường thẳng (D) và đường tròn (O; R) có khoảng cách từ tâm O đến (D) là OH > R, lấy hai điểm bất kì A trên (D) và B trên (O; R). Hãy chỉ ra vị trí của A và B sao cho độ dài AB ngắn nhất và chứng minh điều ấy.

Read More

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 1992$-$1993

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 1992$-$1993

Bài 1.

Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm A(–2; 2) và đường thẳng ($D_1$): $y = –2(x + 1)$.
1) Giải thích vì sao A nằm trên ($D_1$).
2) Tìm a trong hàm số $y = a{x^2}$ có đồ thị là (P) qua A.
3) Viết phương trình của đường thẳng ($D_2$) qua A và vuông góc với ($D_1$).
4) Gọi A, B là giao điểm của (P) và ($D_2$); C là giao điểm của ($D_1$) với trục tung. Tìm tọa độ B, C; tính diện tích của tam giác ABC.

Bài 2.

Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O; R), gọi AI là một đường kính cố định và D là điểm di động trên cung nhỏ AC (D khác A và C).
1) Tính cạnh của tam giác ABC theo R và chứng tỏ AI là tia phân giác của góc BAC.
2) Trên tia DB lấy đoạn DE = DC. Chứng tỏ tam giác CDE đều và DI vuông góc với CE.
3) Suy ra E di động trên đường tròn mà ta phải định tâm và giới hạn.
4) Tính theo R diện tích của tam giác ADI lúc D là điểm chính giữa cung nhỏ AC.

Bài 3.
Cho phương trình có ẩn x: $\sqrt {{x^2} - 2x + 1}  = \sqrt {6 + 4\sqrt 2 }  - \sqrt {6 - 4\sqrt 2 } $
1) Rút gọn vế phải của phương trình.
2) Giải phương trình.

Read More

[HÌNH HỌC 9] CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP HỌC KÌ II VÀ TUYỂN SINH 10

$\boxed{\text {Bài toán 1: }}$ (Đề thi HKII 2008-2009 Q11 TpHCM)

Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn và có ba đường cao là AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh các tứ giác BCEF, AEHF là các tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh EH.EB = EA.EC.

c) Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

d) Cho AD = 5, BD = 3, CD = 4. Tính diện tích tam giác BHC.

$\boxed{\text {Bài toán 2: }}$ (Đề thi HKII 2009-2010 Q11 TpHCM)

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 8cm. Gọi Ax, By lần lượt là các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O). Qua điểm M thuộc (O) vẽ tiếp tuyến thứ ba của đường tròn (O) (M là tiếp điểm, M khác A và B). Tiếp tuyến này cắt Ax tại C, cắt By tại D (AC > BD).

a) Chứng minh các tứ giác OACM, OBDM là các tứ giác nội tiếp.

b) OC cắt AM tại E, OD cắt BM tại F. Tứ giác OEMF là hình gì?

c) Gọi I là trung điểm của OC và K là trung điểm của OD. Chứng minh tứ giác OIMK là tứ giác nội tiếp.

d) Cho AC + BD = 10cm. Tính diện tích tứ giác OIMK.

$\boxed{\text {Bài toán 3: }}$ (Đề thi HKII 2010-2011 Q11 TpHCM)

Cho đường tròn tâm O, bán kính R và một điểm A ở ngoài đường tròn (O) cách tâm O một khoảng bằng 2R. Vẽ đường thẳng (d) vuông góc với OA tại A. Từ một điểm M trên (d) vẽ hai tiếp tuyến MD, ME đến đường tròn (O) với D, E là hai tiếp điểm.

a) Chứng minh tứ giác MDOE là tứ giác nội tiếp và 5 điểm M, A, D, E, O cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng DE cắt MO tại N và cắt OA tại B. Chứng minh OB.OA = ON.OM. Suy ra độ dài OB không đổi khi M lưu động trên đường thẳng (d).

c) Cho $MA = \dfrac{{3R}}{2}$. Tính diện tích tứ giác ABNM theo R.

$\boxed{\text {Bài toán 4: }}$ (Đề thi HKII 2011-2012 Q11 TpHCM)

Cho $\triangle$ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn tâm O. Kẻ đường cao AH và đường kính AD. Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ B xuống AD (BE $ \bot $ AD).

a) Chứng minh tứ giác AEHB nội tiếp được trong đường tròn, xác định tâm I của đường tròn này.

b) Chứng minh: HB.AC = AH.DC

c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: HE $ \bot $ AC và ME = MH.

d) Đường tròn tâm M, bán kính ME cắt AD tại điểm thứ hai là F. Chứng minh: CF $ \bot $ AD.

$\boxed{\text {Bài toán 5: }}$ (Đề thi HKII 2012-2013 Q11 TpHCM)

Cho $\triangle$ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BE, CF giao nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp được trong đường tròn, xác định tâm I của đường tròn này.

b) Chứng minh: AE.BC = AB.EF.

c) Gọi M là trung điểm của EF, N là giao điểm của OA và EF. Chứng minh: $\triangle$ANM và $\triangle$ADI đồng dạng.

d) Chứng minh các đường thẳng AI, OH và trung tuyến BK của $\triangle$ABC đồng qui.

$\boxed{\text {Bài toán 6: }}$ (Đề thi HKII 2013-2014 Q11 TpHCM)

Cho $\triangle$ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các đường cao BE, CF giao nhau tại H.

a) Chứng minh: tứ giác BCEF nội tiếp được trong đường tròn, xác định tâm I của đường tròn này.

b) Hai đường thẳng EF và BC cắt nhau tại M. Chứng minh: MF.ME = MB.MC.

c) AM cắt đường tròn (O) tại K. Chứng minh: tứ giác KFEA nội tiếp.

d) Chứng minh: 3 điểm K, H, I thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 7: }}$ (Đề thi HKII 2014-2015 Q11 TpHCM)

Cho $\triangle$ABC nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AC, AB lần lượt tại E, F. Gọi H là giao điểm của BE và CF.

a) Tính số đo các góc BFC, BEC và chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.

b) Tia AH cắt BC tại D và cắt (O) tại 2 điểm M, N (M nằm giữa A, H). Chứng minh $\triangle$BDH và $\triangle$BEC đồng dạng, từ đó suy ra $BH.BE = B{N^2}$.

c) Tiếp tuyến tại F của (O) cắt AH tại I. Chứng minh tứ giác IEOD nội tiếp.

d) Chứng minh: $\dfrac{{HM}}{{AM}} = \dfrac{{HD}}{{ND}}$.

$\boxed{\text {Bài toán 8: }}$ (Đề thi HKII 2015-2016 Q11 TpHCM)

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn tâm O, đường cao AH. Từ H vẽ HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC.

a) Chứng minh: tứ giác AEHF nội tiếp.

b) Chứng minh: $\widehat {AEF} = \widehat {ACB}$ rồi suy ra tứ giác BEFC nội tiếp.

c) Chứng minh rằng đường thẳng (d) qua A và vuông góc với EF đi qua 1 điểm cố định.

d) Đường thẳng (d) cắt BC tại I. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của I xuống AB, AC. Chứng minh ba đường thẳng AH, EF, MN đồng quy.

$\boxed{\text {Bài toán 9: }}$ (Đề thi HKII 2016-2017 Q11 TpHCM)

Cho tam giác ABC nhọn (AB = BC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E, F. Gọi H là giao điểm của BF và CE; AH cắt BC tại D.

a) Chứng minh: tứ giác BEFC nội tiếp và AD $\bot$ BC.

b) Chứng minh: tứ giác BEHD nội tiếp và DA là tia phân giác của góc EDF.

c) Gọi AI là tiếp tuyến của đường tròn (O) (I là tiếp điểm). Chứng minh: $\widehat {AHI} = \widehat {AID}$.

d) Đường tròn đường kính EC cắt AC tại M. Gọi K là giao điểm của BM và đường tròn (O). Chứng minh: KC đi qua trung điểm của HF.

$\boxed{\text {Bài toán 10: }}$

Cho $\triangle$ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia HB lấy điẻm D sao cho HD = HB. Từ C vẽ CE $\bot$ AD tại E.

a) Chứng minh: AHEC nội tiếp.

b) Chứng minh: $\triangle$AHE cân và ${HE^2}=HD.HC$.

c) Tia CE cắt tia AH tại K. Chứng minh: AB // DK và tứ giác ABKD là hinh thoi.

d) Gọi I là trung điểm của AC. HI cắt AE tại J. Chứng minh: DC.HJ = 2IJ.HB.

$\boxed{\text {Bài toán 11: }}$

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy C, D thuộc nửa đường tròn sao cho cung AC nhỏ hơn ${90}^0$, $\widehat {COD} = {90^0}$, M là điểm nằm trên đường tròn sao cho C là điểm chính giữa của cung AM. Các dây AM và BM cắt OC, OD lần lượt tại E và F.

a) Tứ giác OEMF là hình gì? Tại sao?

b) Chứng minh D là điểm chính giữa của cung BM.

c) Một đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt các tia OC và OD lần lượt tại I và K. Chứng minh tứ giác OBKM và tứ giác OAIM nội tiếp được.

d) Giả sử tia AM cắt tia BD tại S. Hãy xác dịnh vị trí của C và D trên đường tròn (O) sao cho 5 điểm M, O, B, K, S cùng thuộc một đường tròn.

$\boxed{\text {Bài toán 12: }}$

Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB, CD không vuông góc với nhau.

a) Chứng minh: tứ giác ACBD là hình chữ nhật.

b) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt các đường thẳng BC, BD lần lượt tại E, F. Chứng minh: tứ giác ECDF nội tiếp.

c) Từ C và D vẽ các tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt EF theo thứ tự tại M và N. Chứng minh: $MN = \dfrac{1}{2}EF$.

d) Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ M xuống BN; H là giao điểm của AB và MI. Chứng minh: HA = HO.

$\boxed{\text {Bài toán 13: }}$

Trên nửa đường tròn (O; R), đường kính AB, lấy điểm M sao cho AM < BM. Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn (O) cắt hai tiếp tuyến Ax, By (A, B là tiếp điểm) của nửa đường tròn (O) lần lượt tại C và D.

a) Chứng minh: $AC + BD = CD$ và $\widehat {COD} = {90^0}$

b) Các tia AM, BM cắt hai tiếp tuyến By và Ax lần lượt tại E và F. Chứng minh: $CD = \dfrac{{AF + BE}}{2}$

c) Gọi N là giao điểm của OF và AD. Chứng minh: 5 điểm M, N, O, B, D cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn này.

d) Gọi K là hình chiếu của M lên tiếp tuyến By $(K \in BD)$, biết AB = DB = 10cm. Tính ${S_{\triangle MKB}}$.

$\boxed{\text {Bài toán 14: }}$

Cho $\triangle$ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D, E theo thứ tự là điểm chính giữa của các cung AB, AC và giao điểm của DE với AB, AC theo thứ tự là H, K.

a) Chứng minh: $\triangle$AHK cân

b) Gọi I là giao điểm của BE với CD. Chứng minh: AI $\bot$ DE

c) Chứng minh: tứ giác CEKI nội tiếp đường tròn

d) Chứng minh: IK // AB

$\boxed{\text {Bài toán 15: }}$

Cho $\triangle$ABC có 3 góc nhọn, ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp. Xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC.

b) Chứng minh AB.AF = AC.AE .

c) Tiếp tuyến tại F của (O) cắt AH tại S. Chứng minh S là trung điểm của AH và SE là tiếp tuyến của (O).

d) Kẻ tiếp tuyến AM của (O) (M là tiếp điểm). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle$MHD. Chứng minh M, I, O thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 16: }}$

Cho $\triangle$ABC nhọn (AB > AC), vẽ đường tròn tâm O đường kính AB cắt BC tại D và AC tại E. Gọi H là giao điểm của AD và BE.

a) Chứng minh: CE.CA = CD.CB

b) Chứng minh: tứ giác HDCE nội tiếp

c) Đường thẳng CH cắt AB tại F. Cho FA = 6cm, FB = 15cm, FH = 5cm. Tính diện tích $\triangle$ABC.

d) Từ C vẽ đường thẳng song song AD cắt BE tại M, từ C vẽ đường thẳng song song BE cắt AD tại N. Chứng minh: MN $\bot$ CO.

$\boxed{\text {Bài toán 17: }}$

Cho $\triangle$ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại M. Vẽ đường cao BF của $\triangle$ABC. Từ F vẽ đường thẳng song song với MA cắt AB tại E.

a) Chứng minh: $M{A^2} = MB.MC$. Suy ra $\dfrac{{MC}}{{MB}} = \dfrac{{A{C^2}}}{{A{B^2}}}$.

b) CE cắt BF tại H. Chứng minh: tứ giác BEFC nội tiếp. Suy ra AH vuông góc BC tại D.

c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh: 4 điểm E, F, D, I cùng nằm trên một đường tròn.

d) Từ H vẽ đường thẳng vuông góc với HI cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh: H là trung điểm của PQ.

$\boxed{\text {Bài toán 18: }}$

Cho $\triangle$ABC nhọn nội tiếp (O), tia phân giác của $\widehat {BAC}$ cắt BC tại M, cắt (O) tại N. Từ M kẻ MK $\bot$ AB và ME $\bot$ AC.

a) Chứng minh: tứ giác AKME nội tiếp và $\triangle$AKE cân.

b) Chứng minh: $AB.AC = AM.AN$ suy ra $A{M^2} = AB.AC - MB.MC$.

c) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại F. Từ F kẻ tiếp tuyến FD với (O) (D khác A). Chứng minh: DM là tia phân giác của $\widehat {BDC}$.

d) Chứng minh: diện tích tứ giác AKNE và diện tích tam giác ABC bằng nhau.

$\boxed{\text {Bài toán 19: }}$

Cho $\triangle$ABC nhọn (AB > AC), vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E. Gọi H là giao điểm của BE và CF, S là giao điểm của EF và BC. Kéo dài AH cắt BC tại I.

a) Chứng minh: tứ giác CEFB và tứ giác AEIB nội tiếp

b) Chứng minh: H là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle$IEF và tứ giác EFOI nội tiếp

c) Gọi M là giao điểm của AH với (O) (M nằm giữa A và H). Chứng minh: SM là tiếp tuyến của (O)

d) Đường thẳng BE cắt đường tròn đường kính AC tại Q (E nằm giữa B, Q). Chứng minh CM = CQ

$\boxed{\text {Bài toán 20: }}$

Cho $\triangle$ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm I đường kính AH lần lượt cắt các cạnh AB, AC và đường tròn tâm O đường kính BC theo thứ tự tại K, S, E (E khác A).

a) Chứng minh: tứ giác AKHS là hình chữ nhật. Từ đó suy ra ba điểm K, I, S thẳng hàng.

b) Chứng minh: KS $\bot$ AO

c) Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng KS và BC. Chứng minh: $PK.PS = P{O^2} - O{A^2}$

d) Chứng minh: ba điểm A, E, P thẳng hàng

$\boxed{\text {Bài toán 21: }}$

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R và điểm C trên nửa đường tròn sao cho CA > CB. Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Đường tròn tâm K đường kính CH cắt CA, CB lần lượt tại D, E và cắt nửa đường tròn (O) ở điểm thứ hai là F.

a) Chứng minh: CH = DE và CA.CD = CB.CE

b) Chứng minh: tứ giác ADEB nội tiếp và OC vuông góc với DE

c) Hai đường thẳng CF và AB cắt nhau tại Q. Chứng minh: Q là giao điểm của đường thẳng DE với đường tròn ngoại tiếp $\triangle$OKF

d) Trường hợp $AC = R\sqrt 3 $, hãy tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEB theo R.

$\boxed{\text {Bài toán 22: }}$

Cho $\triangle$ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có $\widehat A = {60^0}$ và AB < AC. Vẽ các đường cao BE và CF của $\triangle$ABC.

a) Chứng minh rằng tứ giác BFEC nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC.

b) Chứng minh: $\triangle$IEF đều

c) Gọi K là trung điểm của EF. Chứng minh: IK // OA

d) Tính tỉ số $\dfrac{{AK}}{{AI}}$

$\boxed{\text {Bài toán 23: }}$

Cho $\triangle$ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Vẽ ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là điểm đối xứng của H qua BC.

a) Chứng minh: tứ giác CDHE và tứ giác ABMC nội tiếp

b) Chứng minh: $CM.CF + BM.BE = B{C^2}$

c) Gọi Q là trung điểm của AB. Chứng minh: QE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\triangle$EHC

d) Hai tia BE và CF cắt đường tròn (O) lần lượt tại N và P. Tính giá trị biểu thức: $T = \dfrac{{AM}}{{AD}} + \dfrac{{BN}}{{BE}} + \dfrac{{CP}}{{CF}}$

$\boxed{\text {Bài toán 24: }}$

Cho $\triangle$ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh: tứ giác BFEC nội tiếp, xác định tâm M của đường tròn này

b) Gọi N là điểm đối xứng của H qua D. Chứng minh: N $\in$ (O; R)

c) Kẻ CI vuông góc với OA tại I. Chứng minh: $\triangle$AFI đồng dạng $\triangle$AHC

d) Chứng minh: F, I, M thẳng hàng

$\boxed{\text {Bài toán 25: }}$

Cho $\triangle$ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường trung trực của đoạn BC cắt tia phân giác của $\widehat {BAC}$ tại I. Gọi M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh: I thuộc đường tròn (O) và AH = 2OM

b) Chứng minh: tứ giác FDME nội tiếp

c) Đường thẳng kẻ từ H và vuông góc với EF cắt OM tại K. Chứng minh: M là trung điểm của OK

d) Gọi Q là hình chiếu của I lên AC, N và P lần lượt là trung điểm của MQ và AB. Chứng minh: $\widehat {INP} = {90^0}$

$\boxed{\text {Bài toán 26: }}$

Cho $\triangle$ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) (AB < AC). Hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh: tứ giác BCEF nội tiếp, xác định tâm I của đường tròn này

b) Tia BE cắt (O) tại K. Chứng minh: CH = CK

c) Tia AH cắt BC tại D. Gọi M là trung điểm AC. Chứng minh: tứ giác DFEM nội tiếp

d) Gọi J là chân đường vuông góc hạ từ B xuống đường kính AN của (O). Chứng minh: $\triangle$IJD cân

$\boxed{\text {Bài toán 27: }}$

Cho $\triangle$ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp (O) và đường cao AH (H $\in$ BC). Vẽ đường kính AD của (O).

a) Chứng minh: AB.AC = AD.AH

b) Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại E, F. AD cắt EF, BC lần lượt tại I, K. Chứng minh: tứ giác BEFC nội tiếp và AD $\bot$ EF

c) Vẽ KM $\bot$ AB tại M và KN $\bot$ AC tại N. Chứng minh: $\dfrac{{HE}}{{HF}}.\dfrac{{KM}}{{KN}} = 1$

d) Khi $\widehat {BAH} = \dfrac{{\widehat {BAC}}}{3}$, AH = 6cm, BH = 3cm. Tính diện tích $\triangle$ABC

$\boxed{\text {Bài toán 28: }}$

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R) có BE, CF là các đường cao cắt nhau tại H (E thuộc AC, F thuộc AB).

a) Chứng minh: $\widehat {AEF} = \widehat {ABC}$

b) Chứng minh: OA $\bot$ EF

c) Chứng minh: H là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle$DEF

d) Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại N và M (F nằm giữa N, E). Chứng minh: AN là một tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\triangle$NHD

$\boxed{\text {Bài toán 29: }}$

Cho $\triangle$ABC có 3 góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R). Kẻ hai đường cao BD và CE. Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại M.

a) Chứng minh: tứ giác BEDC và OBMC nội tiếp

b) Từ M kẻ đường thẳng song song với AB cắt (O) tại N và P (N nằm giữa M và P). Chứng minh: MN.MP = MC.MB

c) Gọi K là giao điểm của MP và AC. Chứng minh: K là trung điểm của PN

d) Cho $\widehat {BAC} = {60^0}$. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OBMC. Tính diện tích phần chung của hai đường tròn (O) và (I) theo R

$\boxed{\text {Bài toán 30: }}$

Cho $\triangle$ABC nhọn có $\widehat A = {60^0}$ nội tiếp đường tròn (O; R). Vẽ hai tiếp tuyến SB, SC với (O) (B, C là hai tiếp điểm). Gọi M là giao điểm của BC và SO.

a) Chứng minh rằng tứ giác OBSC nội tiếp đường tròn tâm I. Xác định I.

b) Kẻ bán kính IE $\bot$ OB. Gọi F là điểm đối xứng của E qua BC. Chứng minh rằng AF là tia phân giác của $\widehat {BAI}$.

c) Kẻ CH $\bot$ AB (H $\in$ AB). Gọi T, P, Q lần lượt là trung điểm của CH, MC, BS. Tia AT cắt (O) tại N. Chứng minh rằng PQ // CN.

d) Tính diện tích $\triangle$FBE theo R.

$\boxed{\text {Bài toán 31: }}$

Cho $\triangle$ABC nhọn có $\widehat A = {60^0}$ nội tiếp đường tròn (O; R). Vẽ hai tiếp tuyến SB, SC với (O) (B, C là hai tiếp điểm

Cho $\triangle$ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp (O; R), vẽ ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh: tứ giác BFEC nội tiếp và xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC.

b) Đường thẳng EF lần lượt cắt AD tại I và CB tại K. Chứng minh: DA là phân giác của $\widehat {FDE}$, từ đó suy ra KE.FI = IE.FK .

c) Gọi T là điểm đối xứng của A qua E, KT cắt AD tại P. Chứng minh: PF // AC

d) Tính số đo $\widehat {BAC}$ nếu biết tứ giác BOTC nội tiếp một đường tròn.

$\boxed{\text {Bài toán 32: }}$

Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp (O; R) có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, AH.

a) Chứng minh các tứ giác AEHF và BCEF nội tiếp được. Xác định các đường tròn ngoại tiếp.

b) AH cắt BC tại D. Chứng minh $\triangle$DEF nội tiếp đường tròn đường kính IK.

c) Các đường thẳng EF và BC cắt nhau tại M. Đoạn thẳng AM cắt (O) tại N. Chứng minh HN $\bot$ AM.

d) Kẻ tiếp tuyến tại B của (O) cắt đường thẳng ME tại S. Chứng minh các điểm B, S, N, E, I cùng thuộc một đường tròn.

$\boxed{\text {Bài toán 33: }}$

Cho $\triangle$ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) đường cao BE và CF chúng cắt nhau tại H và cắt (O) tại P và Q, đường thẳng PQ cắt AB, AC tại M, N và cắt tia CB kéo dài tại K.

a) Chứng minh: tứ giác AEHF nội tiếp và PQ // EF

b) Chứng minh: 4 điểm B, M, N, C cùng thuộc một đường tròn và KQ.KP = KM.KN

c) Gọi I là trung điểm BC và đường tròn tâm D ngoại tiếp $\triangle$HEF cắt (O) tại S. Chứng minh: S, H, I thẳng hàng

d) Nếu BC = 4cm, $\widehat {BCF} = {15^0}$, $\widehat {BCE} = {45^0}$. Tính ${S_{\triangle ABC}}$

$\boxed{\text {Bài toán 34: }}$

Cho $\triangle$ABC nhọn nội tiếp (O) (AB < AC). Hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Tia BE cắt (O) tại M (M không trùng với B), tia CF cắt (O) tại N (N không trùng với C).

a) Chứng minh: CM = CH

b) Tia MN cắt AB, AC và tia CB lần lượt tại P, Q, R. Chứng minh: RN.RM = RP.RQ

c) Tia AH cắt BC tại D. Gọi K là trung điểm AC. Chứng minh: tứ giác KEFD nội tiếp

d) Đường tròn ngoại tiếp $\triangle$BDF cắt (O) tại T (T không trùng với B). Chứng minh: H, K, T thẳng hàng

$\boxed{\text {Bài toán 35: }}$

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD. Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ AB (M không trùng với các điểm A và B).

a) Chứng minh: MD là đường phân giác của $\widehat {BMC}$.

b) Gọi F là giao điểm của AB và MC. Chứng minh: $\dfrac{1}{{MF}} = \dfrac{1}{{MA}} + \dfrac{1}{{MB}}$

c) Cho AD = 2R. Tính diện tích tứ giác ABDC theo R.

d) Gọi K là giao điểm của AB và MD, H là giao điểm của AD và MC. Chứng minh: ba đường thẳng AM, BD, HK đồng qui.

$\boxed{\text {Bài toán 36: }}$

Cho điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O; R), từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là hai tiếp điểm) và cát tuyến ADE đến (O) (D nằm giữa A, E). Gọi H là trung điểm của DE.

a) Chứng minh: 5 điểm A, B, H, O, C cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh: HA là tia phân giác của $\widehat {BHC}$

c) DE cắt BC tại I. Chứng minh: AB${^2}$ = AI.AH

d) Cho $AB = R\sqrt 3 $, $OH = \dfrac{R}{2}$. Tính IH theo R

$\boxed{\text {Bài toán 37: }}$

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC. Qua A vẽ cát tuyến ADE của đường tròn (O) (D và E thuộc đường tròn (O)) sao cho đường thẳng AE cắt đoạn thẳng HB tại I. Gọi M là trung điểm của dây cung DE.

a) Chứng minh: AB${^2}$ = AD.AE

b) Chứng minh: 5 điểm A, B, M, O, C cùng thuộc một đường tròn

c) Chứng minh: tứ giác OHDE nội tiếp

d) Trên tia đối của tia HD lấy điểm F sao cho H là trung điểm DF. Tia AO cắt đường thẳng EF tại K. Chứng minh: IK // DF

$\boxed{\text {Bài toán 38: }}$

Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của BC.

a) Chứng minh: A, H, O thẳng hàng và các điểm A, B, O, C thuộc một đường tròn

b) Kẻ đường kính BD của đường tròn (O), vẽ CK vuông góc với BD. Chứng minh: AC.CD = CK.AO

c) Tia AO cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại M và N. Chứng minh: MH.AN = AM.HN

d) AD cắt CK tại I. Chứng minh: I là trung điểm của CK

$\boxed{\text {Bài toán 39: }}$

Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là hai tiếp điểm) và một cát tuyến ADE đến (O) (D nằm giữa A và E).

a) Chứng minh: AB${^2}$ = AD.AE.

b) Gọi H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh: tứ giác DEOH nội tiếp.

c) Chứng minh: HB là tia phân giác của $\widehat {EHD}$.

d) Qua D vẽ đường thẳng song song với EB cắt BC tại P và cắt AB tại Q. Chứng minh: D là trung điểm PQ.

$\boxed{\text {Bài toán 40: }}$

Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là tiếp điểm). Kẻ dây BD của đường tròn (O) và song song với AC. Tia AD cắt (O) tại E. Gọi I là trung điểm DE.

a) Chứng minh: AB.AC = AD.AE

b) Tia AO cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại M, N và cắt BC tại H. Tia BI cắt (O) tại K. Chứng minh: CK $\bot$ OI và MH.AN = AM.HN

c) Tia BE cắt AC tại S. Chứng minh: S là trung điểm của AC

d) Chứng minh: BC là đường phân giác của $\widehat {DHE}$

$\boxed{\text {Bài toán 41: }}$

Cho đường tròn (O; R). Lấy một điểm A nằm trên (O). Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O), lấy điểm M sao cho AM = 2R. Vẽ dây AB vuông góc OM tại H.

a) Chứng minh: MB là tiếp tuyến của đường tròn (O) và tứ giác MAOB nội tiếp

b) Vẽ đường kính BE, gọi Q là giao điểm của ME và (O). Chứng minh: AQ.BE = AE.BQ

c) Gọi I là trung điểm của EQ, K là trung điểm của MB. Chứng minh: IK vuông góc với HQ

d) ME cắt AB tại S. Tính diện tích MSOB

$\boxed{\text {Bài toán 42: }}$

Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O). Gọi I là trung điểm của AM, IB cắt (O) tại C (C khác B), MC cắt (O) tại D (D khác C). Gọi E là trung điểm của CD, H là giao điểm của OM và AB.

a) Chứng minh: năm điểm M, A, O, E, B cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh: BC.BI = BA.BH .

c) Từ A vẽ đường thẳng song song với CD cắt đường tròn (O) tại F. Chứng minh: ba điểm B, E, F thẳng hàng.

d) Chứng minh: CA là tia phân giác của $\widehat {ICD}$.

$\boxed{\text {Bài toán 43: }}$

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O; R) (B, C là các tiếp điểm). Vẽ đường kính BD, tiếp tuyến tại D của (O) cắt BC tại E, AD cắt (O) tại P (P khác D).

a) Chứng minh: DC // OA

b) OE cắt DP tại F. Chứng minh: tứ giác DFCE nội tiếp và EP là tiếp tuyến của (O)

c) Gọi I là giao điểm của OC và FB. Chứng minh: IF.IB = IO.IC

d) Khi OA = 2R. Tính diện tích $\triangle$BDF theo R

$\boxed{\text {Bài toán 44: }}$

Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm D và E (d không đi qua tâm O, D nằm giữa A và E). Gọi I là trung điểm của DE.

a) Chứng minh: 5 điểm A, B, O, I, C cùng nằm trên một đường tròn.

b) BC cắt AE tại S. Chứng minh: SA.SI = SD.SE

c) Qua C kẻ đường thẳng song song với AB, đường này cắt các đường thẳng BE, BD lần lượt tại M và N. Chứng minh: C là trung điểm MN

d) Chứng minh: IE${^2}$ = IS.IA

$\boxed{\text {Bài toán 45: }}$

Từ điểm S ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến SD (D là tiếp điểm) và cát tuyến SAB (A nằm giữa S và B). Qua D kẻ đường thẳng vuông góc SO, cắt SO tại K và cắt (O) tại E.

a) Chứng minh: SK.SO = SA.SB

b) Chứng minh: $\dfrac{{SA}}{{SB}} = \dfrac{{AD{^2}}}{{BD{^2}}}$

c) Chứng minh: tứ giác SDOE nội tiếp

d) Vẽ đường kính DC của (O). CA và CB cắt SO tại M và N.Chứng minh: O là trung điểm của MN

$\boxed{\text {Bài toán 46: }}$

Từ một điểm I ở ngoài đường tròn (O; R) với (OI $\ne$ 2R), kẻ hai tiếp tuyến IA và IB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Gọi M là trung điểm của IB, K là giao điểm của AM và đường tròn (O) (K khác A) và H là giao điểm của AB và OI.

a) Chứng minh: tứ giác BHKM nội tiếp

b) Chứng minh: AB${^2}$ = 2AK.AM

c) Vẽ dây AC của đường tròn (O) song song với IB. Chứng minh: C, K, I thẳng hàng

d) Vẽ đường kính AD của (O), DC và DK cắt IO tại E và F. Chứng minh: O là trung điểm của EF

$\boxed{\text {Bài toán 47: }}$

Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE đến (O) với B, C là các tiếp điểm, D nằm giữa A và E. Gọi K là trung điểm của DE.

a) Chứng minh: năm điểm A, B, O, K, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi H là giao điểm của OA và BC. Kẻ dây EF của (O) vuông góc với OA. Chứng minh: D, H, F thẳng hàng.

c) Chứng minh: tứ giác ADOF nội tiếp.

d) Kẻ đường kính BI của (O). Hai tia ID và IE cắt OA lần lượt tại M và N. Chứng minh: OM = ON.

$\boxed{\text {Bài toán 48: }}$

Cho $\triangle$ABC có ba góc nhọn AB < AC, nội tiếp đường tròn (O; R). Vẽ đường kính AD, tiếp tuyến tại D với đường tròn (O) cắt tia BC tại I. Đường thẳng IO cắt AB và AC tại M và N.

a) So sánh $\widehat {IDC}$ và $\widehat {DAC}$. Chứng minh: ID${^2}$ = IB.IC

b) Tia phân giác của $\widehat {BAC}$ cắt (O) tại E, tia OE cắt BC tại H. Chứng minh: H là trung điểm của BC và tứ giác IDHO nội tiếp

c) Qua B vẽ đường thẳng song song với IO, đường thẳng này cắt AD tại P. Chứng minh: P thuộc đường tròn ngoại tiếp $\triangle$BHD

d) Chứng minh: bốn điểm A, M, D, N là bốn đỉnh của một hình bình hành

$\boxed{\text {Bài toán 49: }}$

Từ điểm A ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là 2 tiếp điểm) và cát tuyến ADE (D nằm giữa A và E). Kẻ DM $\bot$ AB tại M, DN $\bot$ AC tại N, DQ $\bot$ BC tại Q.

a) Chứng minh: tứ giác DMBQ nội tiếp và $\triangle$DCN đồng dạng với $\triangle$DBQ.

b) Chứng minh: BD.EC = CD.EB

c) Gọi H là giao điểm của DC và NQ, K là giao điểm của DB và MQ. Chứng minh: KH // BC

d) Gọi I là giao điểm của OA và BC, J là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp $\triangle$DMK và đường tròn ngoại tiếp $\triangle$DHN (J khác D). Chứng minh: ba điểm D, I, J thẳng hàng

$\boxed{\text {Bài toán 50: }}$

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp và OA $\bot$ BC.

b) Đường tròn đường kính CH cắt đường tròn (O) tại D. Chứng minh: tứ giác ABHD nội tiếp đường tròn (I). Xác định tâm I.

c) Gọi T là trung điểm của BD. Chứng minh ba điểm T, O, I thẳng hàng và ID là tiếp tuyến của đường tròn (O).

d) Gọi E là giao điểm của đường tròn (I) với AC, S là giao điểm của OA và BE. Chứng minh TS // HD.

$\boxed{\text {Bài toán 51: }}$

Từ điểm M nằm ngoài (O) vẽ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm).

a) Chứng minh: tứ giác MAOB nội tiếp và OM $\bot$ AB tại H

b) Lấy điểm C thuộc cung AB lớn, kẻ AK $\bot$ BC tại K. Gọi I là trung điểm của AK, CI cắt (O) tại E khác C. Tia ME cắt (O) tại F khác E. Chứng minh: MA${^2}$ = ME.MF và AE $\bot$ EH

c) Chứng minh: khi điểm C di chuyển trên cung AB lớn thì EF có độ dài không đổi

d) Chứng minh: OM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\triangle$MEA

$\boxed{\text {Bài toán 52: }}$

Cho điểm A ở bên ngoài đường tròn (O). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là các tiếp điểm), vẽ đường kính CE, AE cắt (O) tại D, OA cắt BC tại H.

a) Chứng minh: tứ giác DHOE nội tiếp.

b) Từ D vẽ dây DK // BC (K $\ne$ D). Chứng minh: K, H, E thẳng hàng.

c) Từ D vẽ đường thẳng song song với BE cắt AB tại F và BC tại G. Chứng minh: D là trung điểm của đoạn FG.

d) Tia đối của tia OA cắt (O) tại P, kẻ BM vuông góc với CP tại M, BM cắt PD tại N. Chứng minh: N là trung điểm của BM.

$\boxed{\text {Bài toán 53: }}$

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD của đường tròn (O) (C nằm giữa M và D, CD không qua O, CD và A nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ OM). Gọi H là giao điểm của AB và OM.

a) Chứng minh: MC.MD = MH.MO = MA${^2}$

b) Chứng minh: tứ giác CHOD nội tiếp và $\triangle$MHC đồng dạng với $\triangle$DHO

c) Chứng minh: $\widehat {ADH} = \widehat {CDB}$

d) Tia MO cắt (O) tại E và F (E nằm giữa M và O). Chứng minh: DE và CF cắt nhau tại một điểm trên AB.

$\boxed{\text {Bài toán 54: }}$

Từ điểm M ở ngoài (O; R) vẽ tiếp tuyến MC và cát tuyến MAB (C là tiếp điểm, A nằm giữa M và B, điểm O không nằm ngoài $\widehat {BMC}$). MO cắt (O) tại E, F (ME < MF).

a) Chứng minh: MA.MB = ME.MF

b) Giả sử (O; R) không đổi, điểm M cố định, cát tuyến MAB quay quanh M. Hãy tìm giá trị lớn nhất của tổng MA + MB.

c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa A, vẽ nửa đường tròn đường kính MF cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K, KF cắt CO tại S. Chứng minh: MS $\bot$ KC

d) Gọi P, Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABS. R là trung điểm của KS. Chứng minh: P, Q, R thẳng hàng

$\boxed{\text {Bài toán 55: }}$

Cho $\triangle$ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có AB $\ne$ AC và đường cao AD. Vẽ đường kính AE của đường tròn (O).

a) Chứng minh: $\triangle$ADB $\sim$ $\triangle$ACE. Suy ra AD.AE = AB.AC.

b) Vẽ dây AF của (O) song song với BC. EF cắt AC tại Q. BF cắt AD tại P. Chứng minh: PQ // BC.

c) AE cắt BC tại K. Chứng minh: $AB.AC - AD.AK = \sqrt {BD.BK.CD.CK} $.

d) Các tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại I. AI cắt cung nhỏ BC tại H. Khi A di động trên (O) và BC cố định. Chứng minh FH luôn đi qua một điểm cố định.

$\boxed{\text {Bài toán 56: }}$

Cho đường tròn (O) đường kính AD. Vẽ dây BC vuông góc với AD. Vẽ đường tròn (D; DB). Lấy điểm F trên cung BC phần nằm trong (O). Tiếp tuyến tại F của (D) cắt AB, AC tại M, N.

a) Chứng minh: MN = BM + NC .

b) MD cắt BC tại Q. Tính số đo $\widehat {MQN}$.

c) Lấy P trên cung AC nhỏ. Trên tia BP lấy K sao cho PK = PC (K nằm ngoài (O)). Trên tia BA lấy điểm S sao cho A là trung điểm của BS. Chứng minh BCKS nội tiếp.

d) Trên tia BP lấy điểm G sao cho BG = PC. Gọi L, R, I, J lần lượt là trung điểm của PC, BG, RL, BC. Chứng minh: IJ song song với tia phân giác của $\widehat {BPC}$.

$\boxed{\text {Bài toán 57: }}$

Cho $\triangle$ABC cân tại A $\left( {\widehat {BAC} > {{90}^0}} \right)$ nội tiếp đường tròn (O; R), M là điểm trên cạnh BC (BM > MC). Gọi D là giao điểm của AM và đường tròn (O) (D khác A).

a) Chứng minh: MA.MD = MB.MC

b) Gọi E là điểm chính giữa của cung lớn BC. ED cắt BC tại N. Chứng minh: BN.CM = BM.CN

c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle$BMD, OM cắt đường tròn ngoại tiếp $\triangle$OAD tại F. Chứng minh: ba điểm B, I, E thẳng hàng và B, O, C, F cùng thuộc một đường tròn

d) Xác định vị trí của điểm M để 2AM + AD đạt GTNN

$\boxed{\text {Bài toán 58: }}$

Cho $\triangle$ABC (AB > AC) nội tiếp đường tròn (O; R). Đường cao CD của $\triangle$ABC cắt (O; R) ở E. Vẽ EF vuông góc với BC tại F.

a) Chứng minh rằng: DA.DB = DC.DE

b) Chứng minh rằng: B, E, D, F cùng thuộc một đường tròn.

c) Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng DF và AC. Trên tia DC lấy điểm H sao cho DH = DE. Chứng minh rằng: A, D, E, M cùng thuộc một đường tròn và H là trực tâm của $\triangle$ABC.

d) Giả sử AC = R$\sqrt 2 $. Gọi N là giao điểm của EF và BD. Chứng minh rằng: tứ giác AHNE là hình vuông.

$\boxed{\text {Bài toán 59: }}$

Cho hình vuông ABCD cạnh a, M là điểm chuyển động trên BC (M khác B, C). Kẻ đường thẳng qua B vuông góc DM tại H và cắt DC tại K.

a) Chứng minh: BHCD nội tiếp và tính $\widehat {CHK}$.

b) Khi M di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đường nào?

c) Kí hiệu S$_1$ là diện tích tam giác ABM, S$_2$là diện tích tam giác DCM. Xác định vị trí của M trên BC để $S_1^2 + S_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị nhỏ nhất này theo a.

d) Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại N. Chứng minh:

$\dfrac{1}{{AD{^2}}} = \dfrac{1}{{AM{^2}}} + \dfrac{1}{{AN{^2}}}$.

$\boxed{\text {Bài toán 60: }}$

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB ở D và cắt AC ở E. BE và CD cắt nhau tại H.

a) Tính số đo các góc BEC và BDC.

b) Chứng minh: tứ giác ADHE nội tiếp được trong đường tròn.

c) Chứng minh: AD.AB = AE.AC .

d) Chứng minh: tiếp tuyến với đường tròn (O; OB) tại điểm E đi qua trung điểm I của AH.

$\boxed{\text {Bài toán 61: }}$

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O; R). Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Tia AD cắt (O) ở M.

a) Chứng minh: các tứ giác AEHF, BCEF nội tiếp được.

b) Chứng minh: DA.DM = DB.DC.

c) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AH và BC. Chứng minh: bốn điểm D, J, E, F cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn này theo R.

d) Gọi K là giao điểm của EF và AH. Chứng minh: CK $\bot$ BI.

$\boxed{\text {Bài toán 62: }}$

Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O, R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh các tứ giác AEHF, CEFB nội tiếp được trong đường tròn.

b) Chứng minh: HB.HE = HA.HD

c) Các đường cao BE và CF cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và N. Chứng minh: AM = AN và OA $\bot$ EF

d) Cho $\widehat {BAC} = {60^0}$. Tính theo R bán kính của đường tròn qua 4 điểm A, E, H, F.

$\boxed{\text {Bài toán 63: }}$

Cho tam giác ABC cân tại A có AB > BC nội tiếp trong đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt tia AC tại D và tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt tia AB tại E.

a) Chứng minh: BD$^2$ = AD.CD

b) Chứng minh tứ giác BCDE là một tứ giác nội tiếp

c) Chứng minh: BC song song với DE

d) Gọi d là đường thẳng bất kì qua A và không cắt đoạn BC. Chứng minh rằng: Nếu M là một điểm của d sao cho MB + MC nhỏ nhất thì M nằm trên đường tròn ngoại tiếp $\triangle$ABC.

$\boxed{\text {Bài toán 64: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2006-2007 Q11 TpHCM)

Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại E và D.

a) Chứng minh AD.AC = AE.AB

b) Gọi H là giao điểm của BD và CE, gọi K là giao điểm của AH và BC. Chứng minh AH vuông góc với BC.

c) Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) với M, N là các tiếp điểm. Chứng minh $\widehat {ANM} = \widehat {AKN}$.
d) Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 65: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2007-2008 Q11 TpHCM)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D.

a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp vàAH vuông góc BC.

b) Chứng minh AE.AB = AF.AC .

c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC. Tính tỉ số $\dfrac{{OK}}{{BC}}$ khi tứ giác BHOC nội tiếp.
d) Cho HF = 3cm, HB = 4cm, CE = 8cm và HC > HE. Tính HC.

$\boxed{\text {Bài toán 66: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2008-2009 Q11 TpHCM)

Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O (C nằm giữa M và D) và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm).

a) Chứng minh MA$^2$ = MC.MD

b) Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh rằng 5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường tròn.

c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp được đường tròn. Suy ra AB là đường phân giác của $\widehat {CHD}$.
d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). Chứng minh A, B, K thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 67: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2009-2010 Q11 TpHCM)

Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) có tâm O, bán kính R. Gọi H là giao điểm của ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC. Gọi S là diện tích tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng AEHF và AEDB là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Vẽ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh tam giác ABD và tam giác AKC đồng dạng với nhau. Suy ra AB.AC = 2R.AD và $S = \dfrac{{AB.BC.CA}}{{4R}}$.

c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh EFDM là tứ giác nội tiếp đường tròn.
d) Chứng minh rằng OC vuông góc với DE và (DE + EF + FD).R = 2S.

$\boxed{\text {Bài toán 68: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2010-2011 Q11 TpHCM)

Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kì thuộc đường tròn (O) khác A và B. Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc AE).

a) Chứng minh rằng AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn và APMQ là hình chữ nhật.

b) Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O, I, E thẳng hàng.

c) Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh hai tam giác EAO và MPB đồng dạng. Suy ra K là trung điểm của MP.
d) Đặt AP = x. Tính MP theo R và x. Tìm vị trí của M trên (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất.

$\boxed{\text {Bài toán 69: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2011-2012 Q11 TpHCM)

Cho đường tròn (O) có tâm O, đường kính BC. Lấy một điểm A trên đường tròn (O) sao cho AB > AC. Từ A, vẽ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Từ H, vẽ HE vuông góc với AB và HF vuông góc với AC (E thuộc AB, F thuộc AC).

a) Chứng minh rằng AEHF là hình chữ nhật và OA vuông góc với EF.

b) Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại P và Q (E nằm giữa P và F). Chứng minh AP${^2}$ = AE.AB. Suy ra APH là tam giác cân.

c) Gọi D là giao điểm của PQ và BC; K là giao điểm của AD và đường tròn (O) (K khác A). Chứng minh rằng AEFK là một tứ giác nội tiếp.
d) Gọi I là giao điểm của KF và BC. Chứng minh IH${^2}$ = IC.ID .

$\boxed{\text {Bài toán 70: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2012-2013 Q11 TpHCM)

Cho đường tròn (O) có tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Đường thẳng MO cắt (O) tại E và F (ME < MF). Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) (C là tiếp điểm, A nằm giữa hai điểm M và B, A và C nằm khác phía đối với đường thẳng MO).

a) Chứng minh rằng MA.MB = ME.MF.

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng MO. Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp.

c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính MF; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K. Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng CO và KF. Chứng minh rằng đường thẳng MS vuông góc với đường thẳng KC.
d) Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABS, T là trung điểm của KS. Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 71: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2013-2014 Q11 TpHCM)

Cho tam giác ABC không có góc tù (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O; R) (B, C cố định, A di động trên cung lớn BC). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt (O) tại D và E (D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC tại F, cắt AC tại I.

a) Chứng minh rằng: $\widehat {MBC} = \widehat {BAC}$. Từ đó suy ra MBIC là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng: FI.FM = FD.FE .

c) Đường thẳng OI cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB). Đường thẳng QF cắt (O) tại T (T khác Q). Chứng minh ba điểm P, T, M thẳng hàng.
d) Tìm vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất.

$\boxed{\text {Bài toán 72: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2014-2015 Q11 TpHCM)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Các đường cao AD và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp. Suy ra $\widehat {AHC} = {180^0} - \widehat {ABC}$.

b) Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B và C) và N là điểm đối xứng của M qua AC. Chứng minh tứ giác AHCN nội tiếp.

c) Gọi I là giao điểm của AM và HC; J là giao điểm của AC và HN. Chứng minh $\widehat {AJI} = \widehat {ANC}$.
d) Chứng minh rằng: OA vuông góc IJ.

$\boxed{\text {Bài toán 73: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2015-2016 Q11 TpHCM)

Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại E, F. Gọi H là giao điểm của BE và CF; D là giao điểm của AH và BC.

a) Chứng minh: AD $\bot$ BC và AH.AD = AE.AC .

b) Chứng minh: EFDO là tứ giác nội tiếp.

c) Trên tia đối của tia DE lấy điểm L sao cho DL = DF. Tính số đo góc BLC.
d) Gọi R, S lần lượt là hình chiếu của B, C lên EF. Chứng minh: DE + DF = RS.

$\boxed{\text {Bài toán 74: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2016-2017 Q11 TpHCM)

Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại D, E. Gọi H là giao điểm của BD và CE; F là giao điểm của AH và BC.

a) Chứng minh: AF $\bot$ BC và $\widehat {AFD} = \widehat {ACE}$.

b) Gọi M là trung điểm của AH. Chứng minh: MD $\bot$ OD và 5 điểm M, D, O, F, E cùng thuộc một đường tròn.

c) Gọi K là giao điểm của AH và DE. Chứng minh: MD${^2}$ = MK.MF và K là trực tâm của tam giác MBC.

d) Chứng minh: $\dfrac{2}{{FK}} = \dfrac{1}{{FH}} + \dfrac{1}{{FA}}$.

$\boxed{\text {Bài toán 75: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2017-2018 Q11 TpHCM)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn tâm O đường kính AB cắt các đoạn BC và OC lần lượt tại D và I. Gọi H là hình chiếu của A lên OC; AH cắt BC tại M.

a) Chứng minh: Tứ giác ACDH nội tiếp và $\widehat {CHD} = \widehat {ABC}$.

b) Chứng minh: Hai tam giác OHB và OBC đồng dạng với nhau và HM là tia phân giác của góc BHD.

c) Gọi K là trung điểm của BD. Chứng minh: MD.BC = MB.CD và MB.MD = MK.MC.

d) Gọi E là giao điểm của AM và OK; J là giao điểm của IM và (O) (J khác I). Chứng minh: Hai đường thẳng OC và EJ cắt nhau tại một điểm nằm trên (O).

Read More