May 2016 ~ VƯỜN TOÁN HỌC

❄ BẤT ĐẲNG THỨC AM$-$GM (BĐT CAUCHY)

	$a, b \ge 0$	$a, b, c \ge 0$
Dạng 1	$\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} $	$\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}$
Dạng 2	$a + b \ge 2\sqrt {ab} $	$a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}$
Dạng 3	${\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab$	${\left( {\dfrac{{a + b + c}}{3}} \right)^3} \ge abc$
Dấu “=”	$a = b$	$a = b =c$

Chứng minh.

1) Cho $a,b\ge$ 0. Chứng minh: $\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} $.

Giải

Cách 1.
$\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} $

$ \Leftrightarrow $ $a + b \ge 2\sqrt {ab} $

$ \Leftrightarrow $ $a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0$

$ \Leftrightarrow $ ${\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0$ (BĐT Đúng)

Vậy $\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} $ với mọi $a,b\ge$ 0

Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow $ $a = b$.

Cách 2.

Đặt BH = $a$, HC = $b$.

$\triangle$ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền.

$ \Rightarrow $ AM = $\dfrac{1}{2}$BC = $\dfrac{a + b}{2}$

$\triangle$ABC vuông tại A có AH là đường cao.

$ \Rightarrow $ AH$^2$ = BH.HC = $a \cdot b$

$ \Rightarrow $ AH = $\sqrt {ab} $

$\triangle$AHM vuông tại H

$ \Rightarrow $ AM lớn nhất

$ \Rightarrow $ AM $ \ge $ AH

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} $

Cách 3.

Hình chữ nhật ABCD có AD = BC = $\sqrt{a}$, AB = CD = $\sqrt{b}$ và CE = CD.

$S_{\text{ADI}} + S_{\text{CDE}} \ge S_{\text{ABCD}} $

$ \Rightarrow $ $\dfrac{1}{2}\sqrt a .\sqrt a + \dfrac{1}{2}\sqrt b .\sqrt b \ge \sqrt a .\sqrt b $

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} $

2) Cho $a,b,c\ge$ 0. Chứng minh: $\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}$.

Giải

Cách 1. (Áp dụng BĐT Cauchy)

$a + b + c + \sqrt[3]{{abc}} \ge 2\sqrt {ab} + 2\sqrt {c\sqrt[3]{{abc}}} \ge 2\left( {\sqrt {ab} + \sqrt {c\sqrt[3]{{abc}}} } \right)$

mà $\sqrt {ab} + \sqrt {c\sqrt[3]{{abc}}} \ge 2\sqrt {\sqrt {ab} \sqrt {c\sqrt[3]{{abc}}} } \ge 2\sqrt {\sqrt {abc\sqrt[3]{{abc}}} } $ $\ge$

$\ge$ $2\sqrt {\sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{abc}}} \right)}^3}\sqrt[3]{{abc}}} } $ $\ge$ $2\sqrt {\sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{abc}}} \right)}^4}} } $ $\ge$ $2\sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{abc}}} \right)}^2}} $ $\ge$ $2\sqrt[3]{{abc}}$ (do $a$, $b$, $c$ $\ge$ 0)

$ \Rightarrow $ $a + b + c + \sqrt[3]{{abc}} \ge 4\sqrt[3]{{abc}}$
$ \Rightarrow $ $\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}$

Cách 2. (Áp dụng BĐT Cauchy và đổi biến)
$a + b + c + d \ge 2\left( {\sqrt {ab} + \sqrt {cd} } \right) \ge 2\left( {2\sqrt {\sqrt {ab} \sqrt {cd} } } \right) = 4\sqrt {\sqrt {abcd} } $
$ \Rightarrow $ $\dfrac{{a + b + c + d}}{4} \ge \sqrt {\sqrt {abcd} } $
Đặt $d = \dfrac{{a + b + c}}{3}$, ta được:
$\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt {\sqrt {abc\left( {\dfrac{{a + b + c}}{3}} \right)} } \ge \sqrt {\sqrt {abc\sqrt[3]{{abc}}} } = \sqrt {\sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{abc}}} \right)}^4}} } = \sqrt[3]{{abc}}$

Cách 3. Đổi biến và biến đổi tương tương
$\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}$ $ \Leftrightarrow $ $a + b + c - 3\sqrt[3]{{abc}} \ge 0$
Đặt $x = \sqrt[3]{a} \ge 0$, $y = \sqrt[3]{b} \ge 0$, $z = \sqrt[3]{c} \ge 0$.
BĐT trở thành ${x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz \ge 0$
${a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc$
= $\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} \right)$
= $\dfrac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca} \right)$
= $\dfrac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)\left[ {\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ca + {a^2}} \right)} \right]$
= $\dfrac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right] \ge 0$ (do $a$, $b$, $c$ $\ge$ 0)
Vậy $\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}$

Cách 4. Dồn biến
$\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}$ $ \Leftrightarrow $ $a + b + c - 3\sqrt[3]{{abc}} \ge 0$
Xét $f\left( {a,b,c} \right) = a + b + c - 3\sqrt[3]{{abc}}$, $f\left( {t,t,c} \right) = 2t + c - 3\sqrt[3]{{{t^2}c}}$ với $t = \dfrac{{a + b}}{2}$
$f\left( {a,b,c} \right) - f\left( {t,t,c} \right) = 3\left( {\sqrt[3]{{{t^2}c}} - \sqrt[3]{{abc}}} \right)$ mà $t = \dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} $
$ \Rightarrow $ ${t^2} \ge ab$
$ \Rightarrow $ $\sqrt[3]{{{t^2}c}} - \sqrt[3]{{abc}} \ge 0$
$ \Rightarrow $ $f\left( {a,b,c} \right) \ge f\left( {t,t,c} \right)$
Ta chứng minh $f\left( {t,t,c} \right) = 2t + c - 3\sqrt[3]{{{t^2}c}} \ge 0$. Thật vậy:
$2t + c - 3\sqrt[3]{{{t^2}c}} \ge 0$
$ \Leftrightarrow $ $2t + c \ge 3\sqrt[3]{{{t^2}c}}$
$ \Leftrightarrow $ ${\left( {2t + c} \right)^3} \ge 27{t^2}c$
$ \Leftrightarrow $ ${\left( {2t + c} \right)^3} - 27{t^2}c \ge 0$
$ \Leftrightarrow $ ${\left( {t - z} \right)^2}\left( {8t + z} \right) \ge 0$ (đúng)
Vậy $f\left( {a,b,c} \right) = a + b + c - 3\sqrt[3]{{abc}} \ge 0$
$ \Leftrightarrow $ $\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}$

Cách 5. Chuẩn hóa và dồn biến
Vì bất đẳng thức đã cho là đồng bậc nên bằng cách chuẩn hóa ta có thể giả sử: $a + b + c = 1$ (*)
$\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}$ $ \Leftrightarrow $ $1 \ge 3\sqrt[3]{{abc}}$ $ \Leftrightarrow $ $1 - 27abc \ge 0$
Xét $f\left( {a,b,c} \right) = 1 - 27abc$, $f\left( {t,t,c} \right) = 1 - 27{t^2}c$ với $t = \dfrac{{a + b}}{2}$
$f\left( {a,b,c} \right) - f\left( {t,t,c} \right) = 27\left( {{t^2}c - abc} \right)$ mà $t = \dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} $
$ \Rightarrow $ ${t^2} \ge ab$
$ \Rightarrow $ ${t^2}c \ge abc$
$ \Rightarrow $ $f\left( {a,b,c} \right) \ge f\left( {t,t,c} \right)$
Ta chứng minh $f\left( {t,t,c} \right) = 1 - 27{t^2}c \ge 0$. Thật vậy:
$1 - 27{t^2}c \ge 0$
$ \Leftrightarrow $ $1 - 27{t^2}\left( {1 - 2t} \right) \ge 0$
$ \Leftrightarrow $ ${\left( {3t - 1} \right)^2}\left( {6t + 1} \right) \ge 0$ (đúng)
Với điều kiện (*) thì dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow $ $\begin{cases}a = b\\3t = 1\end{cases}$ $ \Leftrightarrow $ $a = b = c \ge 0$
Vậy $f\left( {a,b,c} \right) \ge 0$ $ \Rightarrow $ đpcm

$\boxed{\text {Bài toán 1: }}$ (Đề thi HKII 2008-2009 Q11 TpHCM)

Cho tam giác $ABC$ có các góc đều nhọn và có ba đường cao là $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh các tứ giác $BCEF$, $AEHF$ là các tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh $EH \cdot EB = EA \cdot EC$.

c) Chứng minh $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $DEF$.

d) Cho $AD = 5$, $BD = 3$, $CD = 4$. Tính diện tích tam giác $BHC$.

$\boxed{\text {Bài toán 2: }}$ (Đề thi HKII 2009-2010 Q11 TpHCM)

Cho đường tròn tâm $O$, đường kính $AB = 8$ cm. Gọi $Ax$, $By$ lần lượt là các tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của đường tròn $(O)$. Qua điểm $M$ thuộc $(O)$ vẽ tiếp tuyến thứ ba của đường tròn $(O)$ ($M$ là tiếp điểm, $M$ khác $A$ và $B$). Tiếp tuyến này cắt $Ax$ tại $C$, cắt $By$ tại $D$ ($AC > BD$).

a) Chứng minh các tứ giác $OACM$, $OBDM$ là các tứ giác nội tiếp.

b) $OC$ cắt $AM$ tại $E$, $OD$ cắt $BM$ tại $F$. Tứ giác $OEMF$ là hình gì?

c) Gọi $I$ là trung điểm của $OC$ và $K$ là trung điểm của $OD$. Chứng minh tứ giác $OIMK$ là tứ giác nội tiếp.

d) Cho $AC + BD = 10$ cm. Tính diện tích tứ giác $OIMK$.

$\boxed{\text {Bài toán 3: }}$ (Đề thi HKII 2010-2011 Q11 TpHCM)

Cho đường tròn tâm $O$, bán kính $R$ và một điểm $A$ ở ngoài đường tròn $(O)$ cách tâm $O$ một khoảng bằng $2R$. Vẽ đường thẳng $(d)$ vuông góc với $OA$ tại $A$. Từ một điểm $M$ trên $(d)$ vẽ hai tiếp tuyến $MD$, $ME$ đến đường tròn $(O)$ với $D$, $E$ là hai tiếp điểm.

a) Chứng minh tứ giác $MDOE$ là tứ giác nội tiếp và 5 điểm $M$, $A$, $D$, $E$, $O$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng $DE$ cắt $MO$ tại $N$ và cắt $OA$ tại $B$. Chứng minh $OB \cdot OA = ON \cdot OM$. Suy ra độ dài $OB$ không đổi khi $M$ lưu động trên đường thẳng $(d)$.

c) Cho $MA = \dfrac{{3R}}{2}$. Tính diện tích tứ giác $ABNM$ theo $R$.

$\boxed{\text {Bài toán 4: }}$ (Đề thi HKII 2011-2012 Q11 TpHCM)

Cho $\triangle ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp trong đường tròn tâm $O$. Kẻ đường cao $AH$ và đường kính $AD$. Gọi $E$ là chân đường vuông góc hạ từ $B$ xuống $AD$ ($BE$ $ \bot $ $AD$).

a) Chứng minh tứ giác $AEHB$ nội tiếp được trong đường tròn, xác định tâm $I$ của đường tròn này.

b) Chứng minh: $HB \cdot AC = AH \cdot DC$.

c) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh: $HE$ $ \bot $ $AC$ và $ME = MH$.

d) Đường tròn tâm $M$, bán kính $ME$ cắt $AD$ tại điểm thứ hai là $F$. Chứng minh: $CF$ $ \bot $ $AD$.

$\boxed{\text {Bài toán 5: }}$ (Đề thi HKII 2012-2013 Q11 TpHCM)

Cho $\triangle ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp trong đường tròn tâm $O$. Các đường cao $AD$, $BE$, $CF$ giao nhau tại $H$.

a) Chứng minh tứ giác $BFEC$ nội tiếp được trong đường tròn, xác định tâm $I$ của đường tròn này.

b) Chứng minh: $AE \cdot BC = AB \cdot EF$.

c) Gọi $M$ là trung điểm của $EF$, $N$ là giao điểm của $OA$ và $EF$. Chứng minh: $\triangle ANM$ và $\triangle ADI$ đồng dạng.

d) Chứng minh các đường thẳng $AI$, $OH$ và trung tuyến $BK$ của $\triangle ABC$ đồng qui.

$\boxed{\text {Bài toán 6: }}$ (Đề thi HKII 2013-2014 Q11 TpHCM)

Cho $\triangle ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp trong đường tròn tâm $O$. Các đường cao $BE$, $CF$ giao nhau tại $H$.

a) Chứng minh tứ giác $BCEF$ nội tiếp được trong đường tròn, xác định tâm $I$ của đường tròn này.

b) Hai đường thẳng $EF$ và $BC$ cắt nhau tại $M$. Chứng minh $MF \cdot ME = MB \cdot MC$.

c) AM cắt đường tròn $(O)$ tại $K$. Chứng minh tứ giác $KFEA$ nội tiếp.

d) Chứng minh 3 điểm $K$, $H$, $I$ thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 7: }}$ (Đề thi HKII 2014-2015 Q11 TpHCM)

Cho $\triangle ABC$ nhọn ($AB < AC$). Đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ cắt $AC$, $AB$ lần lượt tại $E$, $F$. Gọi $H$ là giao điểm của $BE$ và $CF$.

a) Tính số đo các góc $BFC$, $BEC$ và chứng minh tứ giác $AEHF$ nội tiếp.

b) Tia $AH$ cắt $BC$ tại $D$ và cắt $(O)$ tại $2$ điểm $M$, $N$ ($M$ nằm giữa $A$, $H$). Chứng minh $\triangle BDH$ và $\triangle BEC$ đồng dạng, từ đó suy ra $BH \cdot BE = BN^2$.

c) Tiếp tuyến tại $F$ của $(O)$ cắt $AH$ tại $I$. Chứng minh tứ giác $IEOD$ nội tiếp.

d) Chứng minh: $\dfrac{HM}{AM} = \dfrac{HD}{ND}$.

$\boxed{\text {Bài toán 8: }}$ (Đề thi HKII 2015-2016 Q11 TpHCM)

Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp trong đường tròn tâm $O$, đường cao $AH$. Từ $H$ vẽ $HE$, $HF$ lần lượt vuông góc với $AB$, $AC$.

a) Chứng minh: tứ giác $AEHF$ nội tiếp.

b) Chứng minh: $\widehat {AEF} = \widehat {ACB}$ rồi suy ra tứ giác $BEFC$ nội tiếp.

c) Chứng minh rằng đường thẳng $(d)$ qua $A$ và vuông góc với $EF$ đi qua $1$ điểm cố định.

d) Đường thẳng $(d)$ cắt $BC$ tại $I$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $I$ xuống $AB$, $AC$. Chứng minh ba đường thẳng $AH$, $EF$, $MN$ đồng quy.

$\boxed{\text {Bài toán 9: }}$ (Đề thi HKII 2016-2017 Q11 TpHCM)

Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB = BC$). Đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $E$, $F$. Gọi $H$ là giao điểm của $BF$ và $CE$; $AH$ cắt $BC$ tại $D$.

a) Chứng minh tứ giác $BEFC$ nội tiếp và $AD$ $\bot$ $BC$.

b) Chứng minh tứ giác $BEHD$ nội tiếp và $DA$ là tia phân giác của góc $EDF$.

c) Gọi $AI$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ ($I$ là tiếp điểm). Chứng minh $\widehat {AHI} = \widehat {AID}$.

d) Đường tròn đường kính $EC$ cắt $AC$ tại $M$. Gọi $K$ là giao điểm của $BM$ và đường tròn $(O)$. Chứng minh: $KC$ đi qua trung điểm của $HF$.

$\boxed{\text {Bài toán 10: }}$

Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$). Kẻ đường cao $AH$. Trên tia đối của tia $HB$ lấy điểm $D$ sao cho $HD = HB$. Từ $C$ vẽ $CE$ $\bot$ $AD$ tại $E$.

a) Chứng minh $AHEC$ nội tiếp.

b) Chứng minh $\triangle AHE$ cân và $HE^2=HD \cdot HC$.

c) Tia $CE$ cắt tia $AH$ tại $K$. Chứng minh $AB \parallel DK$ và tứ giác $ABKD$ là hinh thoi.

d) Gọi $I$ là trung điểm của $AC$. $HI$ cắt $AE$ tại $J$. Chứng minh $DC \cdot HJ = 2IJ \cdot HB$.

$\boxed{\text {Bài toán 11: }}$

Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Lấy $C$, $D$ thuộc nửa đường tròn sao cho cung $AC$ nhỏ hơn $90^\circ$, $\widehat {COD} = 90^\circ$, $M$ là điểm nằm trên đường tròn sao cho $C$ là điểm chính giữa của cung $AM$. Các dây $AM$ và $BM$ cắt $OC$, $OD$ lần lượt tại $E$ và $F$.

a) Tứ giác $OEMF$ là hình gì? Tại sao?

b) Chứng minh $D$ là điểm chính giữa của cung $BM$.

c) Một đường thẳng $d$ tiếp xúc với nửa đường tròn tại $M$ và cắt các tia $OC$ và $OD$ lần lượt tại $I$ và $K$. Chứng minh tứ giác $OBKM$ và tứ giác $OAIM$ nội tiếp được.

d) Giả sử tia $AM$ cắt tia $BD$ tại $S$. Hãy xác dịnh vị trí của $C$ và $D$ trên đường tròn $(O)$ sao cho $5$ điểm $M$, $O$, $B$, $K$, $S$ cùng thuộc một đường tròn.

$\boxed{\text {Bài toán 12: }}$

Cho đường tròn $(O)$ có hai đường kính $AB$, $CD$ không vuông góc với nhau.

a) Chứng minh tứ giác $ACBD$ là hình chữ nhật.

b) Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O)$ cắt các đường thẳng $BC$, $BD$ lần lượt tại $E$, $F$. Chứng minh tứ giác $ECDF$ nội tiếp.

c) Từ $C$ và $D$ vẽ các tiếp tuyến với đường tròn $(O)$ cắt $EF$ theo thứ tự tại $M$ và $N$. Chứng minh $MN = \dfrac{1}{2}EF$.

d) Gọi $I$ là chân đường vuông góc hạ từ $M$ xuống $BN$; $H$ là giao điểm của $AB$ và $MI$. Chứng minh $HA = HO$.

$\boxed{\text {Bài toán 13: }}$

Trên nửa đường tròn $(O; R)$, đường kính $AB$, lấy điểm $M$ sao cho $AM < BM$. Tiếp tuyến tại $M$ của nửa đường tròn $(O)$ cắt hai tiếp tuyến $Ax$, $By$ ($A$, $B$ là tiếp điểm) của nửa đường tròn $(O)$ lần lượt tại $C$ và $D$.

a) Chứng minh $AC + BD = CD$ và $\widehat {COD} = {90^\circ}$

b) Các tia $AM$, $BM$ cắt hai tiếp tuyến $By$ và $Ax$ lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh $CD = \dfrac{{AF + BE}}{2}$

c) Gọi $N$ là giao điểm của $OF$ và $AD$. Chứng minh: 5 điểm $M$, $N$, $O$, $B$, $D$ cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn này.

d) Gọi $K$ là hình chiếu của $M$ lên tiếp tuyến $By$ $(K \in BD)$, biết $AB = DB = 10$ cm. Tính ${S_{\triangle MKB}}$.

$\boxed{\text {Bài toán 14: }}$

Cho $\triangle ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $D$, $E$ theo thứ tự là điểm chính giữa của các cung $AB$, $AC$ và giao điểm của $DE$ với $AB$, $AC$ theo thứ tự là $H$, $K$.

a) Chứng minh $\triangle AHK$ cân.

b) Gọi $I$ là giao điểm của $BE$ với $CD$. Chứng minh $AI$ $\bot$ $DE$.

c) Chứng minh tứ giác $CEKI$ nội tiếp đường tròn.

d) Chứng minh $IK \parallel AB$.

$\boxed{\text {Bài toán 15: }}$

Cho $\triangle ABC$ có 3 góc nhọn, ba đường cao $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh tứ giác $BFEC$ nội tiếp. Xác định tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BFEC$.

b) Chứng minh $AB \cdot AF = AC \cdot AE$.

c) Tiếp tuyến tại $F$ của $(O)$ cắt $AH$ tại $S$. Chứng minh $S$ là trung điểm của $AH$ và $SE$ là tiếp tuyến của $(O)$.

d) Kẻ tiếp tuyến $AM$ của $(O)$ ($M$ là tiếp điểm). Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle MHD$. Chứng minh $M$, $I$, $O$ thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 16: }}$

Cho $\triangle ABC$ nhọn ($AB > AC$), vẽ đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ cắt $BC$ tại $D$ và $AC$ tại $E$. Gọi $H$ là giao điểm của $AD$ và $BE$.

a) Chứng minh $CE \cdot CA = CD \cdot CB$.

b) Chứng minh tứ giác $HDCE$ nội tiếp.

c) Đường thẳng $CH$ cắt $AB$ tại $F$. Cho $FA = 6$ cm, $FB = 15$ cm, $FH = 5$ cm. Tính diện tích $\triangle ABC$.

d) Từ $C$ vẽ đường thẳng song song $AD$ cắt $BE$ tại $M$, từ $C$ vẽ đường thẳng song song $BE$ cắt $AD$ tại $N$. Chứng minh $MN$ $\bot$ $CO$.

$\boxed{\text {Bài toán 17: }}$

Cho $\triangle ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt đường thẳng $BC$ tại $M$. Vẽ đường cao $BF$ của $\triangle ABC$. Từ $F$ vẽ đường thẳng song song với $MA$ cắt $AB$ tại $E$.

a) Chứng minh $MA^2 = MB \cdot MC$. Suy ra $\dfrac{MC}{MB} = \dfrac{AC^2}{AB^2}$.

b) $CE$ cắt $BF$ tại $H$. Chứng minh tứ giác $BEFC$ nội tiếp. Suy ra $AH$ vuông góc $BC$ tại $D$.

c) Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh 4 điểm $E$, $F$, $D$, $I$ cùng nằm trên một đường tròn.

d) Từ $H$ vẽ đường thẳng vuông góc với $HI$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $P$ và $Q$. Chứng minh $H$ là trung điểm của $PQ$.

$\boxed{\text {Bài toán 18: }}$

Cho $\triangle ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$, tia phân giác của $\widehat {BAC}$ cắt $BC$ tại $M$, cắt $(O)$ tại $N$. Từ $M$ kẻ $MK$ $\bot$ $AB$ và $ME$ $\bot$ $AC$.

a) Chứng minh tứ giác $AKME$ nội tiếp và $\triangle AKE$ cân.

b) Chứng minh $AB \cdot AC = AM \cdot AN$ suy ra $AM^2 = AB \cdot AC - MB \cdot MC$.

c) Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt đường thẳng $BC$ tại $F$. Từ $F$ kẻ tiếp tuyến $FD$ với $(O)$ ($D$ khác $A$). Chứng minh $DM$ là tia phân giác của $\widehat {BDC}$.

d) Chứng minh diện tích tứ giác $AKNE$ và diện tích tam giác $ABC$ bằng nhau.

$\boxed{\text {Bài toán 19: }}$

Cho $\triangle ABC$ nhọn ($AB > AC$), vẽ đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $F$ và $E$. Gọi $H$ là giao điểm của $BE$ và $CF$, $S$ là giao điểm của $EF$ và $BC$. Kéo dài $AH$ cắt $BC$ tại $I$.

a) Chứng minh tứ giác $CEFB$ và tứ giác $AEIB$ nội tiếp.

b) Chứng minh $H$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle IEF$ và tứ giác $EFOI$ nội tiếp.

c) Gọi $M$ là giao điểm của $AH$ với $(O)$ ($M$ nằm giữa $A$ và $H$). Chứng minh $SM$ là tiếp tuyến của $(O)$.

d) Đường thẳng $BE$ cắt đường tròn đường kính $AC$ tại $Q$ ($E$ nằm giữa $B$, $Q$). Chứng minh $CM = CQ$.

$\boxed{\text {Bài toán 20: }}$

Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$) có đường cao $AH$. Vẽ đường tròn tâm $I$ đường kính $AH$ lần lượt cắt các cạnh $AB$, $AC$ và đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ theo thứ tự tại $K$, $S$, $E$ ($E$ khác $A$).

a) Chứng minh tứ giác $AKHS$ là hình chữ nhật. Từ đó suy ra ba điểm $K$, $I$, $S$ thẳng hàng.

b) Chứng minh $KS$ $\bot$ $AO$.

c) Gọi $P$ là giao điểm của hai đường thẳng $KS$ và $BC$. Chứng minh $PK \cdot PS = PO^2 - OA^2$.

d) Chứng minh ba điểm $A$, $E$, $P$ thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 21: }}$

Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB = 2R$ và điểm $C$ trên nửa đường tròn sao cho $CA > CB$. Kẻ $CH$ vuông góc với $AB$ tại $H$. Đường tròn tâm $K$ đường kính $CH$ cắt $CA$, $CB$ lần lượt tại $D$, $E$ và cắt nửa đường tròn $(O)$ ở điểm thứ hai là $F$.

a) Chứng minh $CH = DE$ và $CA \cdot CD = CB \cdot CE$.

b) Chứng minh tứ giác $ADEB$ nội tiếp và $OC$ vuông góc với $DE$.

c) Hai đường thẳng $CF$ và $AB$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh $Q$ là giao điểm của đường thẳng $DE$ với đường tròn ngoại tiếp $\triangle OKF$.

d) Trường hợp $AC = R\sqrt 3 $, hãy tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ADEB$ theo $R$.

$\boxed{\text {Bài toán 22: }}$

Cho $\triangle ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ có $\widehat A = {60^\circ}$ và $AB < AC$. Vẽ các đường cao $BE$ và $CF$ của $\triangle ABC$.

a) Chứng minh rằng tứ giác $BFEC$ nội tiếp. Xác định tâm $I$ của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BFEC$.

b) Chứng minh $\triangle IEF$ đều.

c) Gọi $K$ là trung điểm của $EF$. Chứng minh $IK \parallel OA$.

d) Tính tỉ số $\dfrac{AK}{AI}$.

$\boxed{\text {Bài toán 23: }}$

Cho $\triangle ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Vẽ ba đường cao $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là điểm đối xứng của $H$ qua $BC$.

a) Chứng minh tứ giác $CDHE$ và tứ giác $ABMC$ nội tiếp.

b) Chứng minh $CM \cdot CF + BM \cdot BE = BC^2$.

c) Gọi $Q$ là trung điểm của $AB$. Chứng minh $QE$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\triangle EHC$.

d) Hai tia $BE$ và $CF$ cắt đường tròn $(O)$ lần lượt tại $N$ và $P$. Tính giá trị biểu thức $T = \dfrac{AM}{AD} + \dfrac{BN}{BE} + \dfrac{CP}{CF}$.

$\boxed{\text {Bài toán 24: }}$

Cho $\triangle ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD$, $BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh tứ giác $BFEC$ nội tiếp, xác định tâm $M$ của đường tròn này.

b) Gọi $N$ là điểm đối xứng của $H$ qua $D$. Chứng minh $N$ $\in$ $(O; R)$.

c) Kẻ $CI$ vuông góc với $OA$ tại $I$. Chứng minh: $\triangle AFI$ đồng dạng $\triangle AHC$.

d) Chứng minh $F$, $I$, $M$ thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 25: }}$

Cho $\triangle ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ ($AB < AC$), các đường cao $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. Đường trung trực của đoạn $BC$ cắt tia phân giác của $\widehat {BAC}$ tại $I$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

a) Chứng minh $I$ thuộc đường tròn $(O)$ và $AH = 2OM$.

b) Chứng minh tứ giác $FDME$ nội tiếp.

c) Đường thẳng kẻ từ $H$ và vuông góc với $EF$ cắt $OM$ tại $K$. Chứng minh $M$ là trung điểm của $OK$.

d) Gọi $Q$ là hình chiếu của $I$ lên $AC$, $N$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $MQ$ và $AB$. Chứng minh $\widehat {INP} = {90^\circ}$.

$\boxed{\text {Bài toán 26: }}$

Cho $\triangle ABC$ nhọn nội tiếp trong đường tròn $(O)$ ($AB < AC$). Hai đường cao $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh tứ giác $BCEF$ nội tiếp, xác định tâm $I$ của đường tròn này.

b) Tia $BE$ cắt $(O)$ tại $K$. Chứng minh $CH = CK$.

c) Tia $AH$ cắt $BC$ tại $D$. Gọi $M$ là trung điểm $AC$. Chứng minh tứ giác $DFEM$ nội tiếp.

d) Gọi $J$ là chân đường vuông góc hạ từ $B$ xuống đường kính $AN$ của $(O)$. Chứng minh $\triangle IJD$ cân.

$\boxed{\text {Bài toán 27: }}$

Cho $\triangle ABC$ ($AB < AC$) có ba góc nhọn nội tiếp $(O)$ và đường cao $AH$ ($H$ $\in$ $BC$). Vẽ đường kính $AD$ của $(O)$.

a) Chứng minh $AB \cdot AC = AD \cdot AH$.

b) Đường tròn đường kính $AH$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $E$, $F$. $AD$ cắt $EF$, $BC$ lần lượt tại $I$, $K$. Chứng minh tứ giác $BEFC$ nội tiếp và $AD$ $\bot$ $EF$.

c) Vẽ $KM$ $\bot$ $AB$ tại $M$ và $KN$ $\bot$ $AC$ tại $N$. Chứng minh $\dfrac{HE}{HF} \cdot \dfrac{KM}{KN} = 1$.

d) Khi $\widehat {BAH} = \dfrac{\widehat {BAC}}{3}$, $AH = 6$ cm, $BH = 3$ cm. Tính diện tích $\triangle ABC$.

$\boxed{\text {Bài toán 28: }}$

Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O; R)$ có $BE$, $CF$ là các đường cao cắt nhau tại $H$ ($E$ thuộc $AC$, $F$ thuộc $AB$).

a) Chứng minh $\widehat {AEF} = \widehat {ABC}$.

b) Chứng minh $OA$ $\bot$ $EF$.

c) Chứng minh $H$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle DEF$.

d) Đường thẳng $EF$ cắt đường tròn $(O)$ tại $N$ và $M$ ($F$ nằm giữa $N$, $E$). Chứng minh $AN$ là một tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\triangle NHD$.

$\boxed{\text {Bài toán 29: }}$

Cho $\triangle ABC$ có 3 góc nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O; R)$. Kẻ hai đường cao $BD$ và $CE$. Tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của $(O)$ cắt nhau tại $M$.

a) Chứng minh tứ giác $BEDC$ và $OBMC$ nội tiếp.

b) Từ $M$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $(O)$ tại $N$ và $P$ ($N$ nằm giữa $M$ và $P$). Chứng minh $MN \cdot MP= MC \cdot MB$.

c) Gọi $K$ là giao điểm của $MP$ và $AC$. Chứng minh $K$ là trung điểm của $PN$.

d) Cho $\widehat {BAC} = {60^\circ}$. Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $OBMC$. Tính diện tích phần chung của hai đường tròn $(O)$ và $(I)$ theo $R$.

$\boxed{\text {Bài toán 30: }}$

Cho $\triangle ABC$ nhọn có $\widehat A = {60^\circ}$ nội tiếp đường tròn $(O; R)$. Vẽ hai tiếp tuyến $SB$, $SC$ với $(O)$ ($B$, $C$ là hai tiếp điểm). Gọi $M$ là giao điểm của $BC$ và $SO$.

a) Chứng minh rằng tứ giác $OBSC$ nội tiếp đường tròn tâm $I$. Xác định $I$.

b) Kẻ bán kính $IE$ $\bot$ $OB$. Gọi $F$ là điểm đối xứng của $E$ qua $BC$. Chứng minh rằng $AF$ là tia phân giác của $\widehat {BAI}$.

c) Kẻ $CH$ $\bot$ $AB$ ($H$ $\in$ $AB$). Gọi $T$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $CH$, $MC$, $BS$. Tia $AT$ cắt $(O)$ tại $N$. Chứng minh rằng $PQ \parallel CN$.

d) Tính diện tích $\triangle FBE$ theo $R$.

$\boxed{\text {Bài toán 31: }}$

Cho $\triangle ABC$ có ba góc nhọn ($AB < AC$) nội tiếp $(O; R)$, vẽ ba đường cao $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh tứ giác $BFEC$ nội tiếp và xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BFEC$.

b) Đường thẳng $EF$ lần lượt cắt $AD$ tại $I$ và $CB$ tại $K$. Chứng minh $DA$ là phân giác của $\widehat {FDE}$, từ đó suy ra $KE \cdot FI = IE \cdot FK$.

c) Gọi $T$ là điểm đối xứng của $A$ qua $E$, $KT$ cắt $AD$ tại $P$. Chứng minh $PF \parallel AC$.

d) Tính số đo $\widehat {BAC}$ nếu biết tứ giác $BOTC$ nội tiếp một đường tròn.

$\boxed{\text {Bài toán 32: }}$

Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp $(O; R)$ có các đường cao $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $I$ và $K$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $BC$, $AH$.

a) Chứng minh các tứ giác $AEHF$ và $BCEF$ nội tiếp được. Xác định các đường tròn ngoại tiếp.

b) $AH$ cắt $BC$ tại $D$. Chứng minh $\triangle DEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $IK$.

c) Các đường thẳng $EF$ và $BC$ cắt nhau tại $M$. Đoạn thẳng $AM$ cắt $(O)$ tại $N$. Chứng minh $HN$ $\bot$ $AM$.

d) Kẻ tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$ cắt đường thẳng $ME$ tại $S$. Chứng minh các điểm $B$, $S$, $N$, $E$, $I$ cùng thuộc một đường tròn.

$\boxed{\text {Bài toán 33: }}$

Cho $\triangle ABC$ có ba góc nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$ đường cao $BE$ và $CF$ chúng cắt nhau tại $H$ và cắt $(O)$ tại $P$ và $Q$, đường thẳng $PQ$ cắt $AB$, $AC$ tại $M$, $N$ và cắt tia $CB$ kéo dài tại $K$.

a) Chứng minh tứ giác $AEHF$ nội tiếp và $PQ \parallel EF$.

b) Chứng minh 4 điểm $B$, $M$, $N$, $C$ cùng thuộc một đường tròn và $KQ \cdot KP = KM \cdot KN$.

c) Gọi $I$ là trung điểm $BC$ và đường tròn tâm $D$ ngoại tiếp $\triangle HEF$ cắt $(O)$ tại $S$. Chứng minh $S$, $H$, $I$ thẳng hàng.

d) Nếu $BC = 4$ cm, $\widehat {BCF} = {15^\circ}$, $\widehat {BCE} = {45^\circ}$. Tính ${S_{\triangle ABC}}$.

$\boxed{\text {Bài toán 34: }}$

Cho $\triangle ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ ($AB < AC$). Hai đường cao $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. Tia $BE$ cắt $(O)$ tại $M$ ($M$ không trùng với $B$), tia $CF$ cắt $(O)$ tại $N$ ($N$ không trùng với $C$).

a) Chứng minh $CM = CH$.

b) Tia $MN$ cắt $AB$, $AC$ và tia $CB$ lần lượt tại $P$, $Q$, $R$. Chứng minh $RN \cdot RM = RP \cdot RQ$.

c) Tia $AH$ cắt $BC$ tại $D$. Gọi $K$ là trung điểm $AC$. Chứng minh tứ giác $KEFD$ nội tiếp.

d) Đường tròn ngoại tiếp $\triangle BDF$ cắt $(O)$ tại $T$ ($T$ không trùng với $B$). Chứng minh $H$, $K$, $T$ thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 35: }}$

Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AD$. Gọi $M$ là một điểm di động trên cung nhỏ $AB$ ($M$ không trùng với các điểm $A$ và $B$).

a) Chứng minh $MD$ là đường phân giác của $\widehat {BMC}$.

b) Gọi $F$ là giao điểm của $AB$ và $MC$. Chứng minh $\dfrac{1}{{MF}} = \dfrac{1}{{MA}} + \dfrac{1}{{MB}}$.

c) Cho $AD = 2R$. Tính diện tích tứ giác $ABDC$ theo $R$.

d) Gọi $K$ là giao điểm của $AB$ và $MD$, $H$ là giao điểm của $AD$ và $MC$. Chứng minh ba đường thẳng $AM$, $BD$, $HK$ đồng qui.

$\boxed{\text {Bài toán 36: }}$

Cho điểm $A$ nằm bên ngoài đường tròn $(O; R)$, từ $A$ kẻ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ ($B$, $C$ là hai tiếp điểm) và cát tuyến $ADE$ đến $(O)$ ($D$ nằm giữa $A$, $E$). Gọi $H$ là trung điểm của $DE$.

a) Chứng minh 5 điểm $A$, $B$, $H$, $O$, $C$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $HA$ là tia phân giác của $\widehat {BHC}$.

c) $DE$ cắt $BC$ tại $I$. Chứng minh $AB^2 = AI \cdot AH$.

d) Cho $AB = R\sqrt 3 $, $OH = \dfrac{R}{2}$. Tính $IH$ theo $R$.

$\boxed{\text {Bài toán 37: }}$

Cho đường tròn $(O)$ và điểm $A$ nằm ngoài $(O)$. Từ $A$ vẽ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ của đường tròn $(O)$ ($B$ và $C$ là hai tiếp điểm). Gọi $H$ là giao điểm của $AO$ và $BC$. Qua $A$ vẽ cát tuyến $ADE$ của đường tròn $(O)$ ($D$ và $E$ thuộc đường tròn $(O)$) sao cho đường thẳng $AE$ cắt đoạn thẳng $HB$ tại $I$. Gọi $M$ là trung điểm của dây cung $DE$.

a) Chứng minh $AB^2 = AD \cdot AE$.

b) Chứng minh 5 điểm $A$, $B$, $M$, $O$, $C$ cùng thuộc một đường tròn.

c) Chứng minh tứ giác $OHDE$ nội tiếp.

d) Trên tia đối của tia $HD$ lấy điểm $F$ sao cho $H$ là trung điểm $DF$. Tia $AO$ cắt đường thẳng $EF$ tại $K$. Chứng minh $IK /\parallel DF$.

$\boxed{\text {Bài toán 38: }}$

Cho đường tròn $(O; R)$ và một điểm $A$ ở ngoài đường tròn $(O)$. Kẻ các tiếp tuyến $AB$, $AC$ với đường tròn $(O)$ ($B$, $C$ là các tiếp điểm). Gọi $H$ là trung điểm của $BC$.

a) Chứng minh $A$, $H$, $O$ thẳng hàng và các điểm $A$, $B$, $O$, $C$ thuộc một đường tròn.

b) Kẻ đường kính $BD$ của đường tròn $(O)$, vẽ $CK$ vuông góc với $BD$. Chứng minh $AC \cdot CD = CK \cdot AO$.

c) Tia $AO$ cắt đường tròn $(O)$ theo thứ tự tại $M$ và $N$. Chứng minh $MH \cdot AN = AM \cdot HN$.

d) $AD$ cắt $CK$ tại $I$. Chứng minh $I$ là trung điểm của $CK$.

$\boxed{\text {Bài toán 39: }}$

Cho điểm $A$ ở ngoài đường tròn $(O)$. Từ $A$ vẽ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ ($B$, $C$ là hai tiếp điểm) và một cát tuyến $ADE$ đến $(O)$ ($D$ nằm giữa $A$ và $E$).

a) Chứng minh $AB^2 = AD \cdot AE$.

b) Gọi $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$. Chứng minh tứ giác $DEOH$ nội tiếp.

c) Chứng minh $HB$ là tia phân giác của $\widehat {EHD}$.

d) Qua $D$ vẽ đường thẳng song song với $EB$ cắt $BC$ tại $P$ và cắt $AB$ tại $Q$. Chứng minh $D$ là trung điểm $PQ$.

$\boxed{\text {Bài toán 40: }}$

Cho đường tròn $(O; R)$ và một điểm $A$ ở ngoài đường tròn $(O)$. Kẻ các tiếp tuyến $AB$, $AC$ với đường tròn $(O)$ ($B$, $C$ là tiếp điểm). Kẻ dây $BD$ của đường tròn $(O)$ và song song với $AC$. Tia $AD$ cắt $(O)$ tại $E$. Gọi $I$ là trung điểm $DE$.

a) Chứng minh $AB \cdot AC = AD \cdot AE$.

b) Tia $AO$ cắt đường tròn $(O)$ theo thứ tự tại $M$, $N$ và cắt $BC$ tại $H$. Tia $BI$ cắt $(O)$ tại $K$. Chứng minh $CK$ $\bot$ $OI$ và $MH \cdot AN = AM \cdot HN$.

c) Tia $BE$ cắt $AC$ tại $S$. Chứng minh $S$ là trung điểm của $AC$.

d) Chứng minh $BC$ là đường phân giác của $\widehat {DHE}$.

$\boxed{\text {Bài toán 41: }}$

Cho đường tròn $(O; R)$. Lấy một điểm $A$ nằm trên $(O)$. Trên tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O)$, lấy điểm $M$ sao cho $AM = 2R$. Vẽ dây $AB$ vuông góc $OM$ tại $H$.

a) Chứng minh $MB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ và tứ giác $MAOB$ nội tiếp.

b) Vẽ đường kính $BE$, gọi $Q$ là giao điểm của $ME$ và $(O)$. Chứng minh $AQ \cdot BE = AE \cdot BQ$.

c) Gọi $I$ là trung điểm của $EQ$, $K$ là trung điểm của $MB$. Chứng minh $IK$ vuông góc với $HQ$.

d) $ME$ cắt $AB$ tại $S$. Tính diện tích $MSOB$.

$\boxed{\text {Bài toán 42: }}$

Từ điểm $M$ ở ngoài đường tròn $(O)$, vẽ hai tiếp tuyến $MA$, $MB$ với đường tròn $(O)$. Gọi $I$ là trung điểm của $AM$, $IB$ cắt $(O)$ tại $C$ ($C$ khác $B$), $MC$ cắt $(O)$ tại $D$ ($D$ khác $C$). Gọi $E$ là trung điểm của $CD$, $H$ là giao điểm của $OM$ và $AB$.

a) Chứng minh năm điểm $M$, $A$, $O$, $E$, $B$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $BC \cdot BI = BA \cdot BH$.

c) Từ $A$ vẽ đường thẳng song song với $CD$ cắt đường tròn $(O)$ tại $F$. Chứng minh ba điểm $B$, $E$, $F$ thẳng hàng.

d) Chứng minh $CA$ là tia phân giác của $\widehat {ICD}$.

$\boxed{\text {Bài toán 43: }}$

Cho điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O; R)$. Vẽ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ đến $(O; R)$ ($B$, $C$ là các tiếp điểm). Vẽ đường kính $BD$, tiếp tuyến tại $D$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $E$, $AD$ cắt $(O)$ tại $P$ ($P$ khác $D$).

a) Chứng minh $DC \parallel OA$.

b) $OE$ cắt $DP$ tại $F$. Chứng minh tứ giác $DFCE$ nội tiếp và $EP$ là tiếp tuyến của $(O)$.

c) Gọi $I$ là giao điểm của $OC$ và $FB$. Chứng minh $IF \cdot IB = IO \cdot IC$.

d) Khi $OA = 2R$. Tính diện tích $\triangle BDF$ theo $R$.

$\boxed{\text {Bài toán 44: }}$

Từ một điểm $A$ nằm bên ngoài đường tròn $(O)$ kẻ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ với đường tròn $(O)$ ($B$, $C$ là tiếp điểm). Một đường thẳng $d$ đi qua $A$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $D$ và $E$ ($d$ không đi qua tâm $O$, $D$ nằm giữa $A$ và $E$). Gọi $I$ là trung điểm của $DE$.

a) Chứng minh 5 điểm $A$, $B$, $O$, $I$, $C$ cùng nằm trên một đường tròn.

b) $BC$ cắt $AE$ tại $S$. Chứng minh $SA \cdot SI = SD \cdot SE$.

c) Qua $C$ kẻ đường thẳng song song với $AB$, đường này cắt các đường thẳng $BE$, $BD$ lần lượt tại $M$ và $N$. Chứng minh $C$ là trung điểm $MN$.

d) Chứng minh $IE^2 = IS \cdot IA$.

$\boxed{\text {Bài toán 45: }}$

Từ điểm $S$ ở ngoài đường tròn $(O)$ vẽ tiếp tuyến $SD$ ($D$ là tiếp điểm) và cát tuyến $SAB$ ($A$ nằm giữa $S$ và $B$). Qua $D$ kẻ đường thẳng vuông góc $SO$, cắt $SO$ tại $K$ và cắt $(O)$ tại $E$.

a) Chứng minh $SK \cdot SO = SA \cdot SB$.

b) Chứng minh $\dfrac{SA}{SB} = \dfrac{AD^2}{BD^2}$

c) Chứng minh tứ giác $SDOE$ nội tiếp.

d) Vẽ đường kính $DC$ của $(O)$. $CA$ và $CB$ cắt $SO$ tại $M$ và $N$.Chứng minh $O$ là trung điểm của $MN$.

$\boxed{\text {Bài toán 46: }}$

Từ một điểm $I$ ở ngoài đường tròn $(O; R)$ với ($OI$ $\ne$ $2R$), kẻ hai tiếp tuyến $IA$ và $IB$ với $(O)$ ($A$, $B$ là các tiếp điểm). Gọi $M$ là trung điểm của $IB$, $K$ là giao điểm của $AM$ và đường tròn $(O)$ ($K$ khác $A$) và $H$ là giao điểm của $AB$ và $OI$.

a) Chứng minh tứ giác $BHKM$ nội tiếp.

b) Chứng minh $AB^2 = 2AK \cdot AM$.

c) Vẽ dây $AC$ của đường tròn $(O)$ song song với $IB$. Chứng minh $C$, $K$, $I$ thẳng hàng.

d) Vẽ đường kính $AD$ của $(O)$, $DC$ và $DK$ cắt $IO$ tại $E$ và $F$. Chứng minh $O$ là trung điểm của $EF$.

$\boxed{\text {Bài toán 47: }}$

Từ điểm $A$ ở ngoài đường tròn $(O)$ kẻ 2 tiếp tuyến $AB$, $AC$ và cát tuyến $ADE$ đến $(O)$ với $B$, $C$ là các tiếp điểm, $D$ nằm giữa $A$ và $E$. Gọi $K$ là trung điểm của $DE$.

a) Chứng minh năm điểm $A$, $B$, $O$, $K$, $C$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$. Kẻ dây $EF$ của $(O)$ vuông góc với $OA$. Chứng minh $D$, $H$, $F$ thẳng hàng.

c) Chứng minh tứ giác $ADOF$ nội tiếp.

d) Kẻ đường kính $BI$ của $(O)$. Hai tia $ID$ và $IE$ cắt $OA$ lần lượt tại $M$ và $N$. Chứng minh $OM = ON$.

$\boxed{\text {Bài toán 48: }}$

Cho $\triangle ABC$ có ba góc nhọn $AB < AC$, nội tiếp đường tròn $(O; R)$. Vẽ đường kính $AD$, tiếp tuyến tại $D$ với đường tròn $(O)$ cắt tia $BC$ tại $I$. Đường thẳng $IO$ cắt $AB$ và $AC$ tại $M$ và $N$.

a) So sánh $\widehat {IDC}$ và $\widehat {DAC}$. Chứng minh $ID^2 = IB \cdot IC$.

b) Tia phân giác của $\widehat {BAC}$ cắt $(O)$ tại $E$, tia $OE$ cắt $BC$ tại $H$. Chứng minh $H$ là trung điểm của $BC$ và tứ giác $IDHO$ nội tiếp.

c) Qua $B$ vẽ đường thẳng song song với $IO$, đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$. Chứng minh $P$ thuộc đường tròn ngoại tiếp $\triangle BHD$.

d) Chứng minh bốn điểm $A$, $M$, $D$, $N$ là bốn đỉnh của một hình bình hành.

$\boxed{\text {Bài toán 49: }}$

Từ điểm $A$ ở ngoài $(O)$, vẽ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ ($B$, $C$ là 2 tiếp điểm) và cát tuyến $ADE$ ($D$ nằm giữa $A$ và $E$). Kẻ $DM$ $\bot$ $AB$ tại $M$, $DN$ $\bot$ $AC$ tại $N$, $DQ$ $\bot$ $BC$ tại $Q$.

a) Chứng minh tứ giác $DMBQ$ nội tiếp và $\triangle DCN$ đồng dạng với $\triangle DBQ$.

b) Chứng minh $BD \cdot EC = CD \cdot EB$.

c) Gọi $H$ là giao điểm của $DC$ và $NQ$, $K$ là giao điểm của $DB$ và $MQ$. Chứng minh $KH \parallel BC$.

d) Gọi $I$ là giao điểm của $OA$ và $BC$, $J$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp $\triangle DMK$ và đường tròn ngoại tiếp $\triangle DHN$ ($J$ khác $D$). Chứng minh ba điểm $D$, $I$, $J$ thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 50: }}$

Cho điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Kẻ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ ($B$, $C$ là hai tiếp điểm). Gọi $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$.

a) Chứng minh tứ giác $ABOC$ nội tiếp và $OA$ $\bot$ $BC$.

b) Đường tròn đường kính $CH$ cắt đường tròn $(O)$ tại $D$. Chứng minh tứ giác $ABHD$ nội tiếp đường tròn $(I)$. Xác định tâm $I$.

c) Gọi $T$ là trung điểm của $BD$. Chứng minh ba điểm $T$, $O$, $I$ thẳng hàng và $ID$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

d) Gọi $E$ là giao điểm của đường tròn $(I)$ với $AC$, $S$ là giao điểm của $OA$ và $BE$. Chứng minh $TS \parallel HD$.

$\boxed{\text {Bài toán 51: }}$

Từ điểm $M$ nằm ngoài $(O)$ vẽ các tiếp tuyến $MA$, $MB$ ($A$, $B$ là các tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác $MAOB$ nội tiếp và $OM$ $\bot$ $AB$ tại $H$.

b) Lấy điểm $C$ thuộc cung $AB$ lớn, kẻ $AK$ $\bot$ $BC$ tại $K$. Gọi $I$ là trung điểm của $AK$, $CI$ cắt $(O)$ tại $E$ khác $C$. Tia $ME$ cắt $(O)$ tại $F$ khác $E$. Chứng minh: $MA^2 = ME \cdot MF$ và $AE$ $\bot$ $EH$.

c) Chứng minh khi điểm $C$ di chuyển trên cung $AB$ lớn thì $EF$ có độ dài không đổi.

d) Chứng minh $OM$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\triangle MEA$.

$\boxed{\text {Bài toán 52: }}$

Cho điểm $A$ ở bên ngoài đường tròn $(O)$. Vẽ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ với $(O)$ ($B$, $C$ là các tiếp điểm), vẽ đường kính $CE$, $AE$ cắt $(O)$ tại $D$, $OA$ cắt $BC$ tại $H$.

a) Chứng minh tứ giác $DHOE$ nội tiếp.

b) Từ $D$ vẽ dây $DK \parallel BC$ ($K$ $\ne$ $D$). Chứng minh $K$, $H$, $E$ thẳng hàng.

c) Từ $D$ vẽ đường thẳng song song với $BE$ cắt $AB$ tại $F$ và $BC$ tại $G$. Chứng minh $D$ là trung điểm của đoạn $FG$.

d) Tia đối của tia $OA$ cắt $(O)$ tại $P$, kẻ $BM$ vuông góc với $CP$ tại $M$, $BM$ cắt $PD$ tại $N$. Chứng minh $N$ là trung điểm của $BM$.

$\boxed{\text {Bài toán 53: }}$

Từ điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O)$, vẽ hai tiếp tuyến $MA$, $MB$ và cát tuyến $MCD$ của đường tròn $(O)$ ($C$ nằm giữa $M$ và $D$, $CD$ không qua $O$, $CD$ và $A$ nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ $OM$). Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $OM$.

a) Chứng minh $MC \cdot MD = MH \cdot MO = MA^2$.

b) Chứng minh tứ giác $CHOD$ nội tiếp và $\triangle MHC$ đồng dạng với $\triangle DHO$.

c) Chứng minh $\widehat {ADH} = \widehat {CDB}$.

d) Tia $MO$ cắt $(O)$ tại $E$ và $F$ ($E$ nằm giữa $M$ và $O$). Chứng minh $DE$ và $CF$ cắt nhau tại một điểm trên $AB$.

$\boxed{\text {Bài toán 54: }}$

Từ điểm $M$ ở ngoài $(O; R)$ vẽ tiếp tuyến $MC$ và cát tuyến $MAB$ ($C$ là tiếp điểm, $A$ nằm giữa $M$ và $B$, điểm $O$ không nằm ngoài $\widehat {BMC}$). $MO$ cắt $(O)$ tại $E$, $F$ ($ME < MF$).

a) Chứng minh $MA \cdot MB = ME \cdot MF$.

b) Giả sử $(O; R)$ không đổi, điểm $M$ cố định, cát tuyến $MAB$ quay quanh $M$. Hãy tìm giá trị lớn nhất của tổng $MA + MB$.

c) Trên nửa mặt phẳng bờ $OM$ có chứa $A$, vẽ nửa đường tròn đường kính $MF$ cắt tiếp tuyến tại $E$ của $(O)$ ở $K$, $KF$ cắt $CO$ tại $S$. Chứng minh $MS$ $\bot$ $KC$.

d) Gọi $P$, $Q$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $EFS$ và $ABS$. $R$ là trung điểm của $KS$. Chứng minh $P$, $Q$, $R$ thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 55: }}$

Cho $\triangle ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ có $AB$ $\ne$ $AC$ và đường cao $AD$. Vẽ đường kính $AE$ của đường tròn $(O)$.

a) Chứng minh $\triangle ADB$ $\sim$ $\triangle ACE$. Suy ra $AD \cdot AE = AB \cdot AC$.

b) Vẽ dây $AF$ của $(O)$ song song với $BC$. $EF$ cắt $AC$ tại $Q$. $BF$ cắt $AD$ tại $P$. Chứng minh $PQ \parallel BC$.

c) $AE$ cắt $BC$ tại $K$. Chứng minh $AB \cdot AC - AD \cdot AK = \sqrt {BD \cdot BK \cdot CD \cdot CK}$.

d) Các tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $I$. $AI$ cắt cung nhỏ $BC$ tại $H$. Khi $A$ di động trên $(O)$ và $BC$ cố định. Chứng minh $FH$ luôn đi qua một điểm cố định.

$\boxed{\text {Bài toán 56: }}$

Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AD$. Vẽ dây $BC$ vuông góc với $AD$. Vẽ đường tròn $(D; DB)$. Lấy điểm $F$ trên cung $BC$ phần nằm trong $(O)$. Tiếp tuyến tại $F$ của $(D)$ cắt $AB$, $AC$ tại $M$, $N$.

a) Chứng minh $MN = BM + NC$.

b) $MD$ cắt $BC$ tại $Q$. Tính số đo $\widehat{MQN}$.

c) Lấy $P$ trên cung $AC$ nhỏ. Trên tia $BP$ lấy $K$ sao cho $PK = PC$ ($K$ nằm ngoài $(O)$). Trên tia $BA$ lấy điểm $S$ sao cho $A$ là trung điểm của $BS$. Chứng minh $BCKS$ nội tiếp.

d) Trên tia $BP$ lấy điểm $G$ sao cho $BG = PC$. Gọi $L$, $R$, $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của $PC$, $BG$, $RL$, $BC$. Chứng minh $IJ$ song song với tia phân giác của $\widehat {BPC}$.

$\boxed{\text {Bài toán 57: }}$

Cho $\triangle ABC$ cân tại $A$ $\left( \widehat {BAC} > 90^\circ \right)$ nội tiếp đường tròn $(O; R)$, $M$ là điểm trên cạnh $BC$ ($BM > MC$). Gọi $D$ là giao điểm của $AM$ và đường tròn $(O)$ ($D$ khác $A$).

a) Chứng minh $MA \cdot MD = MB \cdot MC$.

b) Gọi $E$ là điểm chính giữa của cung lớn $BC$. $ED$ cắt $BC$ tại $N$. Chứng minh $BN \cdot CM = BM \cdot CN$.

c) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle BMD$, $OM$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\triangle OAD$ tại $F$. Chứng minh ba điểm $B$, $I$, $E$ thẳng hàng và $B$, $O$, $C$, $F$ cùng thuộc một đường tròn.

d) Xác định vị trí của điểm $M$ để $2AM + AD$ đạt GTNN.

$\boxed{\text {Bài toán 58: }}$

Cho $\triangle ABC$ ($AB > AC$) nội tiếp đường tròn $(O; R)$. Đường cao $CD$ của $\triangle ABC$ cắt $(O; R)$ ở $E$. Vẽ $EF$ vuông góc với $BC$ tại $F$.

a) Chứng minh rằng $DA \cdot DB = DC \cdot DE$.

b) Chứng minh rằng $B$, $E$, $D$, $F$ cùng thuộc một đường tròn.

c) Gọi $M$ là giao điểm của hai đường thẳng $DF$ và $AC$. Trên tia $DC$ lấy điểm $H$ sao cho $DH = DE$. Chứng minh rằng $A$, $D$, $E$, $M$ cùng thuộc một đường tròn và $H$ là trực tâm của $\triangle ABC$.

d) Giả sử $AC = R\sqrt 2 $. Gọi $N$ là giao điểm của $EF$ và $BD$. Chứng minh rằng tứ giác $AHNE$ là hình vuông.

$\boxed{\text {Bài toán 59: }}$

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, $M$ là điểm chuyển động trên $BC$ ($M$ khác $B$, $C$). Kẻ đường thẳng qua $B$ vuông góc $DM$ tại $H$ và cắt $DC$ tại $K$.

a) Chứng minh $BHCD$ nội tiếp và tính $\widehat {CHK}$.

b) Khi $M$ di chuyển trên cạnh $BC$ thì $H$ di chuyển trên đường nào?

c) Kí hiệu $S_1$ là diện tích tam giác $ABM$, $S_2$là diện tích tam giác $DCM$. Xác định vị trí của $M$ trên $BC$ để $S_1^2 + S_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị nhỏ nhất này theo $a$.

d) Đường thẳng $AM$ cắt đường thẳng $DC$ tại $N$. Chứng minh:

$\dfrac{1}{AD^2} = \dfrac{1}{AM^2} + \dfrac{1}{AN^2}$.

$\boxed{\text {Bài toán 60: }}$

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn. Đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ cắt $AB$ ở $D$ và cắt $AC$ ở $E$. $BE$ và $CD$ cắt nhau tại $H$.

a) Tính số đo các góc $BEC$ và $BDC$.

b) Chứng minh tứ giác $ADHE$ nội tiếp được trong đường tròn.

c) Chứng minh $AD \cdot AB = AE \cdot AC$.

d) Chứng minh tiếp tuyến với đường tròn $(O; OB)$ tại điểm $E$ đi qua trung điểm $I$ của $AH$.

$\boxed{\text {Bài toán 61: }}$

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O; R)$. Ba đường cao $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. Tia $AD$ cắt $(O)$ ở $M$.

a) Chứng minh các tứ giác $AEHF$, $BCEF$ nội tiếp được.

b) Chứng minh $DA \cdot DM = DB \cdot DC$.

c) Gọi $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của $AH$ và $BC$. Chứng minh bốn điểm $D$, $J$, $E$, $F$ cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn này theo $R$.

d) Gọi $K$ là giao điểm của $EF$ và $AH$. Chứng minh: $CK$ $\bot$ $BI$.

$\boxed{\text {Bài toán 62: }}$

Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O, R)$. Các đường cao $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh các tứ giác $AEHF$, $CEFB$ nội tiếp được trong đường tròn.

b) Chứng minh $HB \cdot HE = HA \cdot HD$.

c) Các đường cao $BE$ và $CF$ cắt đường tròn $(O)$ lần lượt tại $M$ và $N$. Chứng minh $AM = AN$ và $OA$ $\bot$ $EF$.

d) Cho $\widehat {BAC} = {60^\circ}$. Tính theo $R$ bán kính của đường tròn qua 4 điểm $A$, $E$, $H$, $F$.

$\boxed{\text {Bài toán 63: }}$

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AB > BC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến tại $B$ của đường tròn $(O)$ cắt tia $AC$ tại $D$ và tiếp tuyến tại $C$ của đường tròn $(O)$ cắt tia $AB$ tại $E$.

a) Chứng minh $BD^2 = AD \cdot CD$.

b) Chứng minh tứ giác $BCDE$ là một tứ giác nội tiếp.

c) Chứng minh $BC$ song song với $DE$.

d) Gọi $d$ là đường thẳng bất kì qua $A$ và không cắt đoạn $BC$. Chứng minh rằng nếu $M$ là một điểm của $d$ sao cho $MB + MC$ nhỏ nhất thì $M$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$.

$\boxed{\text {Bài toán 64: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2006-2007 Q11 TpHCM)

Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ cắt các cạnh $AB$, $AC$ theo thứ tự tại $E$ và $D$.

a) Chứng minh $AD \cdot AC = AE \cdot AB$.

b) Gọi $H$ là giao điểm của $BD$ và $CE$, gọi $K$ là giao điểm của $AH$ và $BC$. Chứng minh $AH$ vuông góc với $BC$.

c) Từ $A$ kẻ các tiếp tuyến $AM$, $AN$ đến đường tròn $(O)$ với $M$, $N$ là các tiếp điểm. Chứng minh $\widehat {ANM} = \widehat {AKN}$.
d) Chứng minh ba điểm $M$, $H$, $N$ thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 65: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2007-2008 Q11 TpHCM)

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn ($AB < AC$). Đường tròn đường kính $BC$ cắt $AB$, $AC$ theo thứ tự tại $E$ và $F$. Biết $BF$ cắt $CE$ tại $H$ và $AH$ cắt $BC$ tại $D$.

a) Chứng minh tứ giác $BEFC$ nội tiếp và $AH$ vuông góc $BC$.

b) Chứng minh $AE \cdot AB = AF \cdot AC$.

c) Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $K$ là trung điểm của $BC$. Tính tỉ số $\dfrac{OK}{BC}$ khi tứ giác $BHOC$ nội tiếp.
d) Cho $HF = 3$ cm, $HB = 4$ cm, $CE = 8$ cm và $HC > HE$. Tính $HC$.

$\boxed{\text {Bài toán 66: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2008-2009 Q11 TpHCM)

Từ điểm $M$ nằm bên ngoài đường tròn $(O)$ vẽ cát tuyến $MCD$ không đi qua tâm $O$ ($C$ nằm giữa $M$ và $D$) và hai tiếp tuyến $MA$, $MB$ đến đường tròn $(O)$ ($A$, $B$ là các tiếp điểm).

a) Chứng minh $MA^2 = MC \cdot MD$.

b) Gọi $I$ là trung điểm của $CD$. Chứng minh rằng 5 điểm $M$, $A$, $O$, $I$, $B$ cùng nằm trên một đường tròn.

c) Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $MO$. Chứng minh tứ giác $CHOD$ nội tiếp được đường tròn. Suy ra $AB$ là đường phân giác của $\widehat {CHD}$.
d) Gọi $K$ là giao điểm của các tiếp tuyến tại $C$ và $D$ của đường tròn $(O)$. Chứng minh $A$, $B$, $K$ thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 67: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2009-2010 Q11 TpHCM)

Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$) có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn $(O)$ có tâm $O$, bán kính $R$. Gọi $H$ là giao điểm của ba đường cao $AD$, $BE$, $CF$ của tam giác $ABC$. Gọi $S$ là diện tích tam giác $ABC$.

a) Chứng minh rằng $AEHF$ và $AEDB$ là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Vẽ đường kính $AK$ của đường tròn $(O)$. Chứng minh tam giác $ABD$ và tam giác $AKC$ đồng dạng với nhau. Suy ra $AB \cdot AC = 2R \cdot AD$ và $S = \dfrac{AB \cdot BC \cdot CA}{4R}$.

c) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh $EFDM$ là tứ giác nội tiếp đường tròn.
d) Chứng minh rằng $OC$ vuông góc với $DE$ và $(DE + EF + FD) \cdot R = 2S$.

$\boxed{\text {Bài toán 68: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2010-2011 Q11 TpHCM)

Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB = 2R$. Gọi $M$ là một điểm bất kì thuộc đường tròn $(O)$ khác $A$ và $B$. Các tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ và $M$ cắt nhau tại $E$. Vẽ $MP$ vuông góc với $AB$ ($P$ thuộc $AB$), vẽ $MQ$ vuông góc với $AE$ ($Q$ thuộc $AE$).

a) Chứng minh rằng $AEMO$ là tứ giác nội tiếp đường tròn và $APMQ$ là hình chữ nhật.

b) Gọi $I$ là trung điểm của $PQ$. Chứng minh $O$, $I$, $E$ thẳng hàng.

c) Gọi $K$ là giao điểm của $EB$ và $MP$. Chứng minh hai tam giác $EAO$ và $MPB$ đồng dạng. Suy ra $K$ là trung điểm của $MP$.
d) Đặt $AP = x$. Tính $MP$ theo $R$ và $x$. Tìm vị trí của $M$ trên $(O)$ để hình chữ nhật $APMQ$ có diện tích lớn nhất.

$\boxed{\text {Bài toán 69: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2011-2012 Q11 TpHCM)

Cho đường tròn $(O)$ có tâm $O$, đường kính $BC$. Lấy một điểm $A$ trên đường tròn $(O)$ sao cho $AB > AC$. Từ $A$, vẽ $AH$ vuông góc với $BC$ ($H$ thuộc $BC$). Từ $H$, vẽ $HE$ vuông góc với $AB$ và $HF$ vuông góc với $AC$ ($E$ thuộc $AB$, $F$ thuộc $AC$).

a) Chứng minh rằng $AEHF$ là hình chữ nhật và $OA$ vuông góc với $EF$.

b) Đường thẳng $EF$ cắt đường tròn $(O)$ tại $P$ và $Q$ ($E$ nằm giữa $P$ và $F$). Chứng minh $AP^2 = AE \cdot AB$. Suy ra $APH$ là tam giác cân.

c) Gọi $D$ là giao điểm của $PQ$ và $BC$; $K$ là giao điểm của $AD$ và đường tròn $(O)$ ($K$ khác $A$). Chứng minh rằng $AEFK$ là một tứ giác nội tiếp.
d) Gọi $I$ là giao điểm của $KF$ và $BC$. Chứng minh $IH^2 = IC \cdot ID$.

$\boxed{\text {Bài toán 70: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2012-2013 Q11 TpHCM)

Cho đường tròn $(O)$ có tâm $O$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Đường thẳng $MO$ cắt $(O)$ tại $E$ và $F$ ($ME < MF$). Vẽ cát tuyến $MAB$ và tiếp tuyến $MC$ của $(O)$ ($C$ là tiếp điểm, $A$ nằm giữa hai điểm $M$ và $B$, $A$ và $C$ nằm khác phía đối với đường thẳng $MO$).

a) Chứng minh rằng $MA \cdot MB = ME \cdot MF$.

b) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $C$ lên đường thẳng $MO$. Chứng minh tứ giác $AHOB$ nội tiếp.

c) Trên nửa mặt phẳng bờ $OM$ có chứa điểm $A$, vẽ nửa đường tròn đường kính $MF$; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại $E$ của $(O)$ ở $K$. Gọi $S$ là giao điểm của hai đường thẳng $CO$ và $KF$. Chứng minh rằng đường thẳng $MS$ vuông góc với đường thẳng $KC$.
d) Gọi $P$ và $Q$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $EFS$ và $ABS$, $T$ là trung điểm của $KS$. Chứng minh ba điểm $P$, $Q$, $T$ thẳng hàng.

$\boxed{\text {Bài toán 71: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2013-2014 Q11 TpHCM)

Cho tam giác $ABC$ không có góc tù ($AB < AC$), nội tiếp đường tròn $(O; R)$ ($B$, $C$ cố định, $A$ di động trên cung lớn $BC$). Các tiếp tuyến tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $M$. Từ $M$ kẻ đường thẳng song song với $AB$, đường thẳng này cắt $(O)$ tại $D$ và $E$ ($D$ thuộc cung nhỏ $BC$), cắt $BC$ tại $F$, cắt $AC$ tại $I$.

a) Chứng minh rằng $\widehat {MBC} = \widehat {BAC}$. Từ đó suy ra $MBIC$ là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng $FI \cdot FM = FD \cdot FE$.

c) Đường thẳng $OI$ cắt $(O)$ tại $P$ và $Q$ ($P$ thuộc cung nhỏ $AB$). Đường thẳng $QF$ cắt $(O)$ tại $T$ ($T$ khác $Q$). Chứng minh ba điểm $P$, $T$, $M$ thẳng hàng.
d) Tìm vị trí điểm $A$ trên cung lớn $BC$ sao cho tam giác $IBC$ có diện tích lớn nhất.

$\boxed{\text {Bài toán 72: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2014-2015 Q11 TpHCM)

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm $O$ ($AB < AC$). Các đường cao $AD$ và $CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh tứ giác $BFHD$ nội tiếp. Suy ra $\widehat {AHC} = {180^\circ} - \widehat {ABC}$.

b) Gọi $M$ là điểm bất kì trên cung nhỏ $BC$ của đường tròn $(O)$ ($M$ khác $B$ và $C$) và $N$ là điểm đối xứng của $M$ qua $AC$. Chứng minh tứ giác $AHCN$ nội tiếp.

c) Gọi $I$ là giao điểm của $AM$ và $HC$; $J$ là giao điểm của $AC$ và $HN$. Chứng minh $\widehat {AJI} = \widehat {ANC}$.
d) Chứng minh rằng $OA$ vuông góc $IJ$.

$\boxed{\text {Bài toán 73: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2015-2016 Q11 TpHCM)

Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ cắt các cạnh $AC$, $AB$ lần lượt tại $E$, $F$. Gọi $H$ là giao điểm của $BE$ và $CF$; $D$ là giao điểm của $AH$ và $BC$.

a) Chứng minh $AD$ $\bot$ $BC$ và $AH \cdot AD = AE \cdot AC$.

b) Chứng minh $EFDO$ là tứ giác nội tiếp.

c) Trên tia đối của tia $DE$ lấy điểm $L$ sao cho $DL = DF$. Tính số đo góc $BLC$.
d) Gọi $R$, $S$ lần lượt là hình chiếu của $B$, $C$ lên $EF$. Chứng minh $DE + DF = RS$.

$\boxed{\text {Bài toán 74: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2016-2017 Q11 TpHCM)

Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ cắt các cạnh $AC$, $AB$ lần lượt tại $D$, $E$. Gọi $H$ là giao điểm của $BD$ và $CE$; $F$ là giao điểm của $AH$ và $BC$.

a) Chứng minh $AF$ $\bot$ $BC$ và $\widehat {AFD} = \widehat {ACE}$.

b) Gọi $M$ là trung điểm của $AH$. Chứng minh $MD$ $\bot$ $OD$ và 5 điểm $M$, $D$, $O$, $F$, $E$ cùng thuộc một đường tròn.

c) Gọi $K$ là giao điểm của $AH$ và $DE$. Chứng minh $MD^2 = MK \cdot MF$ và $K$ là trực tâm của tam giác $MBC$.

d) Chứng minh $\dfrac{2}{FK} = \dfrac{1}{FH} + \dfrac{1}{FA}$.

$\boxed{\text {Bài toán 75: }}$ (Đề thi Tuyển sinh 10 2017-2018 Q11 TpHCM)

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ cắt các đoạn $BC$ và $OC$ lần lượt tại $D$ và $I$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $OC$; $AH$ cắt $BC$ tại $M$.

a) Chứng minh tứ giác $ACDH$ nội tiếp và $\widehat {CHD} = \widehat {ABC}$.

b) Chứng minh hai tam giác $OHB$ và $OBC$ đồng dạng với nhau và $HM$ là tia phân giác của góc $BHD$.

c) Gọi $K$ là trung điểm của $BD$. Chứng minh $MD \cdot BC = MB \cdot CD$ và $MB \cdot MD = MK \cdot MC$.

d) Gọi $E$ là giao điểm của $AM$ và $OK$; $J$ là giao điểm của $IM$ và $(O)$ ($J$ khác $I$). Chứng minh hai đường thẳng $OC$ và $EJ$ cắt nhau tại một điểm nằm trên $(O)$.

VƯỜN TOÁN HỌC

Blog TOÁN-TIN của Thầy CHÂU HỮU SƠN

Tuesday, May 31, 2016

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2011$-$2012

Monday, May 30, 2016

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2010$-$2011

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2009$-$2010

Sunday, May 29, 2016

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2008$-$2009

Friday, May 27, 2016

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2007$-$2008

Thursday, May 26, 2016

[ĐẠI SỐ 9] BẤT ĐẲNG THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2006$-$2007

Tuesday, May 24, 2016

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 1997$-$1998

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 1996$-$1997

Monday, May 23, 2016

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 1995$-$1996

Thursday, May 19, 2016

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 1994$-$1995

Wednesday, May 18, 2016

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 1993$-$1994

Monday, May 9, 2016

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 1992$-$1993

Wednesday, May 4, 2016

[HÌNH HỌC 9] CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP HỌC KÌ II VÀ TUYỂN SINH 10 (CT CŨ)

Search

Popular Posts

Recent Posts

Categories

Blog Archive

Số lượt xem

Labels

Text Widget

Unordered List

Pages