[HÌNH HỌC 8] BỔ ĐỀ HÌNH THANG

$\boxed{\text {Bổ đề hình thang: }}$

Trong hình thang hai đáy không bằng nhau, giao điểm của hai đường thẳng chứa hai cạnh bên, giao điểm của hai đường chéo và trung điểm của hai đáy cùng nằm trên một đường thẳng.

Chứng minh.

Cách 1: Gọi giao điểm của AD và BC là M, giao điểm của AC và BD là O, trung điểm của AB và CD lần lượt là E và F.

$\triangle$OAB $\sim$ $\triangle$OCD (g – g)

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{{AO}}{{CO}}$

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{2AE}}{{2CF}} = \dfrac{{AO}}{{CO}}$

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{AE}}{{CF}} = \dfrac{{AO}}{{CO}}$

$\triangle$OAE $\sim$ $\triangle$OCF (c – g – c)

$ \Rightarrow $ $\widehat {AOE} = \widehat {COF}$

mà $\widehat {AOE} + \widehat {EOC} = {180^0}$

$ \Rightarrow $ $\widehat {COF} + \widehat {EOC} = {180^0}$

$ \Rightarrow $ $\widehat {EOF} = {180^0}$

$ \Rightarrow $ E, O, F thẳng hàng (1)

Mặt khác, $\triangle$MAB $\sim$ $\triangle$MDC (g – g)

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{{MA}}{{MD}}$

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{2AE}}{{2DF}} = \dfrac{{MA}}{{MD}}$

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{AE}}{{DF}} = \dfrac{{AM}}{{DM}}$

$\triangle$MAE $\sim$ $\triangle$MDF (c – g – c)

$ \Rightarrow $ $\widehat {AME} = \widehat {DMF}$

$ \Rightarrow $ M, E, F thẳng hàng     (2)

(1), (2) $ \Rightarrow $M, E, O, F thẳng hàng

Cách 2:

Gọi giao điểm của AD và BC là M, giao điểm của AC và BD là O, giao điểm của MO và AB là E, giao điểm của MO và CD là F.

Ta có:

EB // DF $ \Rightarrow $ $\dfrac{{EB}}{{DF}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}$    (1)

AE // DF $ \Rightarrow $ $\dfrac{{AE}}{{DF}} = \dfrac{{MA}}{{MD}}$    (2)

AB // CD $ \Rightarrow $ $\dfrac{{OB}}{{OD}} = \dfrac{{AB}}{{CD}}$ và $\dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{{AB}}{{CD}}$    (3)

(1), (2), (3) $ \Rightarrow $ $\dfrac{{AE}}{{DF}} = \dfrac{{EB}}{{DF}}$

$ \Rightarrow $ AE = EB

$ \Rightarrow $ E là trung điểm AB

Ta lại có:

$\dfrac{{AE}}{{DF}} = \dfrac{{EB}}{{FC}}\left( { = \dfrac{{ME}}{{MF}}} \right)$ (theo bài toán Chùm đường thẳng)

mà AE = EB (cmt)

$ \Rightarrow $ DF = FC

$ \Rightarrow $ F là trung điểm CD

* Lưu ý: Do không soạn được kí hiệu đồng dạng như trong SGK của VN nên tôi thay bằng kí hiệu đồng dạng "$\sim$" trong bài viết.

Read More

Vì sao thêm 1 vào tích của bốn số tự nhiên liên tiếp chắc chắc sẽ là một số chính phương?

Bạn có thể tùy ý chọn 4 số tự nhiên liên tiếp, sau khi nhân chúng với nhau, cộng thêm 1 vào tích đó, khi đó ta không cần biết kết quả là bao nhiêu, nhưng có thể chắc chắn rằng đó là một số chính phương.

        Hãy xem ví dụ dưới đây:
        $1 \times 2 \times 3 \times 4 + 1 = 25 = {5^2}$
        $2 \times 3 \times 4 \times 5 + 1 = 121 = {11^2}$
        $3 \times 4 \times 5 \times 6 + 1 = 361 = {19^2}$
        $4 \times 5 \times 6 \times 7 + 1 = 841 = {29^2}$

        ...............................................................................

Càng về sau, việc tính toán càng phức tạp, nhưng dù sao chăng nữa ta có thể khẳng định, kết quả là một số chính phương.

        Vì sao lại có được kết quả như vậy?

Trong bốn số tự nhiên liên tiếp, giả thiết số nhỏ nhất là $a$ ta sẽ nghiên cứu xem biểu thức sau có là số chính phương không?

        $a\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right)\left( {a + 3} \right) + 1$

        $= a\left( {a + 3} \right)\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right) + 1$

        $= \left( {{a^2} + 3a} \right)\left( {{a^2} + 3a + 2} \right) + 1$

        $= {\left( {{a^2} + 3a} \right)^2} + 2\left( {{a^2} + 3a} \right) + 1$

        $= {\left( {{a^2} + 3a + 1} \right)^2}$

Thực vậy, $a$ là một số tự nhiên nên ${\left( {{a^2} + 3a + 1} \right)^2}$ là một số chính phương.

        Thông qua phân tích trên, ta không chỉ biết được $a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1$ là một số chính phương mà còn có thể rất nhanh chóng tính ra được nó là bình phương của số nào.

        Ví dụ $10 \times 11 \times 12 \times 13 + 1 = ?$ Trong phép tính này, số nhỏ nhất là $a = 10$, vậy ${\left( {{a^2} + 3a + 1} \right)^2} = 131$. Tức là $10 \times 11 \times 12 \times 13 + 1 = {131^2}$

        Bạn có thể thử với các số: $15 \times 16 \times 17 \times 18 + 1 = ?$

Ngoài ra, người ta còn biết được, bốn số chẵn (hoặc số lẻ) liên tiếp nhân với nhau rồi cộng thêm 16 cũng nhất định sẽ cho một số chính phương.

Read More