Vì sao thêm 1 vào tích của bốn số tự nhiên liên tiếp chắc chắc sẽ là một số chính phương?

Bạn có thể tùy ý chọn 4 số tự nhiên liên tiếp, sau khi nhân chúng với nhau, cộng thêm 1 vào tích đó, khi đó ta không cần biết kết quả là bao nhiêu, nhưng có thể chắc chắn rằng đó là một số chính phương.

        Hãy xem ví dụ dưới đây:
        $1 \times 2 \times 3 \times 4 + 1 = 25 = {5^2}$
        $2 \times 3 \times 4 \times 5 + 1 = 121 = {11^2}$
        $3 \times 4 \times 5 \times 6 + 1 = 361 = {19^2}$
        $4 \times 5 \times 6 \times 7 + 1 = 841 = {29^2}$

        ...............................................................................

Càng về sau, việc tính toán càng phức tạp, nhưng dù sao chăng nữa ta có thể khẳng định, kết quả là một số chính phương.

        Vì sao lại có được kết quả như vậy?

Trong bốn số tự nhiên liên tiếp, giả thiết số nhỏ nhất là $a$ ta sẽ nghiên cứu xem biểu thức sau có là số chính phương không?

        $a\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right)\left( {a + 3} \right) + 1$

        $= a\left( {a + 3} \right)\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right) + 1$

        $= \left( {{a^2} + 3a} \right)\left( {{a^2} + 3a + 2} \right) + 1$

        $= {\left( {{a^2} + 3a} \right)^2} + 2\left( {{a^2} + 3a} \right) + 1$

        $= {\left( {{a^2} + 3a + 1} \right)^2}$

Thực vậy, $a$ là một số tự nhiên nên ${\left( {{a^2} + 3a + 1} \right)^2}$ là một số chính phương.

        Thông qua phân tích trên, ta không chỉ biết được $a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1$ là một số chính phương mà còn có thể rất nhanh chóng tính ra được nó là bình phương của số nào.

        Ví dụ $10 \times 11 \times 12 \times 13 + 1 = ?$ Trong phép tính này, số nhỏ nhất là $a = 10$, vậy ${\left( {{a^2} + 3a + 1} \right)^2} = 131$. Tức là $10 \times 11 \times 12 \times 13 + 1 = {131^2}$

        Bạn có thể thử với các số: $15 \times 16 \times 17 \times 18 + 1 = ?$

Ngoài ra, người ta còn biết được, bốn số chẵn (hoặc số lẻ) liên tiếp nhân với nhau rồi cộng thêm 16 cũng nhất định sẽ cho một số chính phương.