Quan niệm về vấn đề Rèn luyện giải toán

Việc rèn luyện giải toán bao gồm hai nội dung chủ yếu:

            1. Rèn luyện việc tìm lời giải các bài toán

            2. Rèn luyện việc giải bài toán

Có thể mô tả hoạt động trên thành hai công đoạn theo mô hình:

      Rèn luyện khả năng tìm lời giải các bài toán là khâu có tính chất quyết định trong toàn bộ hoạt động rèn luyện giải toán vì dù có kĩ thuật cao, có thành thạo trong việc thực hiện các thao tác và các phép tính nhưng khi chưa có phương hướng hoặc chưa có phương hướng tốt thì chưa thể có lời giải hoặc hoặc lời giải tốt.

      Người giải toán cần thấy rõ từ chỗ tìm được phương hướng giải bài toán đến việc giải hoàn chỉnh bài toán là cả một quá trình rèn luyện bao gồm nhiều khâu: từ việc nắm vững các kiến thức cơ bản về nội dung lí thuyết và các phương pháp thực hành đến việc luyện tập thành thạo các thao tác có tính chất kĩ thuật. Điều này đòi hỏi tính nghiêm túc, tính kiên nhẫn và một phương pháp làm việc khoa học của người giải toán.

      Con người từ khi sinh ra và lớn lên ít nhiều gì cũng có lần mắc sai lầm, việc rèn luyện giải toán cũng thế. Sai lầm trong giải toán của chúng ta do hai nguyên nhân chính là kiến thức và kỹ năng. Việc nắm kiến thức không chính xác, không vững dẫn đến hiểu sai và kỹ năng chưa thành thạo sẽ dẫn đến thất bại lâu dài. Tuy nhiên, chúng ta cần học từ những thất bại bởi “Càng thấy rõ cái sai, càng hiểu sâu cái đúng”. Càng rút ra nhiều bài học kinh nghiệm từ cái sai chúng ta càng nhanh đến thành công hơn.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT BÀI TOÁN

Để giải các bài toán, ngoài việc nắm vững các kiến thức còn cần phải có phương pháp suy nghĩ và kỹ năng trình bày khoa học cùng với những  kinh nghiệm cá nhân tích lũy được qua quá trình học tập và rèn luyện.

Phương pháp giải một bài toán thường được tiến hành theo bốn bước:

            B1: Tìm hiểu đề toán

            B2: Tìm lời giải

            B3: Trình bày lời giải

            B4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

1) Tìm hiểu đề toán

      Tìm hiểu đề toán là một yêu cầu quan trọng và quyết định trong sự thành bại hay hoặc dở của một lời giải bài toán. Năng lực của người giải toán cũng thể hiện rõ ở bước này. Có một số người giải toán có thói quen không tốt là hễ có bài  toán là cứ ghi ghi chép chép và nháp lia lịa, mặc dù chưa biết mình sẽ giải quyết cái gì và những  con tính của mình phục vụ cho yêu cầu  nào. Bỏ qua mặt này mà giải được bài toán thì hoặc là bài toán quá dễ do có cách giải rõ ràng hoặc là do kết quả ngẫu nhiên của một quá trình mò mẫm.

      Để hiểu rõ đề toán, trước tiên phải đọc kĩ đề toán sao cho thấy được toàn bộ nội dung chính của bài toán càng rõ ràng, sáng sủa càng tốt. Đó chính là giả thiết, kết luận và điều kiện của bài toán. Giả thiết là những cái đã cho, cái đã biết; kết luận là cái chưa biết, cái cần tìm, điều phải chứng minh và điều kiện là mối liên quan giữa cái cần tìm và cái đã cho của bài toán.

      Đối với bài toán hình học, nói chung phải vẽ hình. Hình vẽ làm hiện lên đồng thời các yếu tố cũng như các tính chất cùng mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho trong đề bài. Vì thế, thường sau khi vẽ hình đúng, đề toán được hiểu rõ ràng cụ thể hơn.

            Khi vẽ hình cần chú ý:

_ Hình vẽ phải mang tính tổng quát, không nên vẽ hình trong  trường hợp đặc biệt vì như thế dễ gây nên ngộ nhận. Chẳng hạn, đối  với các đoạn thẳng không nên vẽ bằng nhau, đối với các đường thẳng không nên vẽ vuông góc với nhau, đối với tam giác không nên vẽ cân hay vuông... nếu như bài toán không đòi hỏi.

_ Hình vẽ phải rõ ràng, chính xác dễ nhìn thấy những quan hệ (song song, cắt nhau, vuông góc...) và tính chất (đường trung tuyến, phân giác, tam giác cân, tam giác vuông...) mà bài toán đã cho. Ngoài ra, để làm nổi bật vai trò khác nhau của các đường, các hình trong hình vẽ có thể vẽ bằng nét đậm, nét nhạt, nét liền, nét đứt hoặc dùng nhiều màu khác nhau...

      Đối với những bài toán không phải là hình học, ta cũng có thể dùng biểu diễn hình học để diễn tả đề toán, chẳng hạn sơ đồ đoạn thẳng, sơ đồ tư duy hay kí hiệu... Đặc biệt kí hiệu đạt hiệu quả khi chuyển hóa bài toán dưới dạng lời văn sang dạng kí hiệu toán giúp bài toán có cái nhìn rõ ràng xúc tích hơn.

2) Tìm lời giải

      Tìm tòi lời giải là bước quan trọng nhất trong hoạt động giải toán. Nó quyết định sự thành công, nhanh hay chậm của việc giải toán. Điều cơ bản ở bước này là biết định hướng đúng để tìm ra được đường đi đúng. Không có một thuật toán tổng quát nào để giải được mọi bài toán cả.

      Sau đây là những lời khuyên của người có kinh nghiệm giải toán:

a) Sử dụng các bài toán đã giải. Ngoài việc áp dụng những thuật toán, định lí, định nghĩa hay tính chất của các dữ kiện đã cho trong đề bài thì việc tìm ra hướng đi đúng trong việc giải một bài toán sẽ dễ dàng hơn nếu ta nhớ lại được là ta đã từng giải một bài toán tương tự hoặc gần giống với bài toán cần giải. Thực tế khó mà đặt ra được một bài toán hoàn toàn mới, không giống hay liên quan một chút nào với các bài toán đã có. Mặt khác cũng có thể có rất nhiều bài toán liên quan đến bài toán đang giải. Hãy nhớ lại một bài toán đã được giải và gần giống với bài toán đang xét và lợi dụng nó về phương pháp giải, về kết quả, về kinh nghiệm... Có thể nói gọn đây là bước chuyển bài toán lạ thành quen.

b) Phân tích – Bổ sung – Tổng hợp. Một bài toán, đặc biệt là bài toán khó, thường được tạo ra từ sự kết hợp những bài toán đơn giản hơn. Người giải toán có kinh nghiệm thường phải biết phân tích bài toán đang xét thành những bài toán nhỏ quen thuộc để giải. Từ các kết quả đó ta bổ sung thêm một số chi tiết cần thiết sau đó lại tổng hợp chúng để có được lời giải bài toán ban đầu.

            Một số gợi ý cho bước tìm lời giải:

_ Bạn đã gặp bài này lần nào chưa? Có thuật toán, công thức  hay tính chất nào để giải không?

_ Xem xét phân tích cái đã biết, cái chưa biết thành các dữ kiện có lợi hơn, các bài toán nhỏ hơn.

_ Có bài toán nào quen, liên quan đến bài này không? Có cần  phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được nó không?

_ Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện của bài toán chưa? Đã sử dụng toàn bộ điều kiện chưa? Kết quả của những câu trên có giúp ích cho việc giải câu này không?

_ Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra có thể thử giải một bài tổng quát hơn không? Một trường hợp riêng? Một phần bài toán? Có thể biến đổi yêu cầu bài toán từ dạng này sang dạng khác không?

3) Trình bày lời giải

      Sau khi đã tìm thấy cách giải rồi thì việc trình bày bài giải không khó khăn như trước nữa, nhưng tính chất công việc có khác nhau. Khi đang tìm kiếm lời giải thì có thể tự do mò mẫm, dự đoán và dùng cách lập luận “tạm thời”. Nhưng khi trình bày lời giải thì phải dùng những lập luận chặt chẽ, phải kiểm tra lại từng chi tiết, nhất là đối với các bài toán phức tạp. Phải trình bày rõ ràng sao cho thấy được sự liên hệ giữa mỗi chi tiết, cũng như sự liên hệ giữa các chi tiết trong từng đoạn của lời giải và trong toàn bộ lời giải ấy. Trình tự trình bày các chi tiết trong lời giải cần phải gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa.

4) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

      Đây là một bước cần thiết và bổ ích mà trên thực tế ít người giải toán thực hiện nó. Trong khi trình bày lời giải, rất có thể ta đã mắc phải thiếu sót, lầm lẫn ở chỗ nào đó. Việc kiểm tra lại lời giải sẽ giúp ta sửa chữa được những sai sót đáng tiếc đó. Mỗi sai lầm đều cho ta một kinh nghiệm trong hoạt động giải toán. Mặt khác, việc nhìn nhận xem xét lại cách giải, việc phân tích lại kết quả và con đường đã đi cùng phương pháp tiến hành, còn có thể giúp ích cho ta tìm thấy một cách giải khác tốt hơn, hoặc phát hiện ra những sự kiện mới và bổ ích. Phải kiên nhẫn và chịu khó nghiên cứu lời giải tìm được để có thể hoàn thiện cách giải và bao giờ cũng giúp ta hiểu được cách giải sâu sắc hơn. Chính điều đó sẽ làm phong phú thêm kinh nghiệm giải toán, sẽ củng cố và phát triển năng lực giải toán cho bản thân.

Tài liệu tham khảo:

[1] Nguyễn Thái Hòe (2004). Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán. NXB Giáo Dục.

[2] Vũ Dương Thụy - Phạm Gia Đức - Hoàng Ngọc Hưng - Đặng Đình Lăng (2001). Thực hành giải toán. NXB Giáo Dục.