[HÌNH HỌC 7] DẤU HIỆU NHẬN BIẾT CÁC TAM GIÁC ĐẶC BIỆT

SƠ ĐỒ NHẬN BIẾT CÁC LOẠI TAM GIÁC

DẤU HIỆU NHẬN BIẾT CÁC HÌNH

Tam giác cân

1. Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân.

2. Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.

Tam giác đều

1. Tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều.

2. Tam giác có ba góc bằng nhau là tam giác đều.

3. Tam giác cân có một góc 60⁰ là tam giác đều.

Hình vuông

1. Tam giác có một góc 90⁰ là tam giác vuông.

Tam giác vuông cân

1. Tam giác vừa vuông vừa cân là tam giác vuông cân.

Read More

[ĐẠI SỐ 9] PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

❄ PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG

Dạng ${a{x^4} + b{x^2} + c = 0\;\left( {a \ne 0} \right)}$

Cách giải:

Đặt $t = {x^2} \ge 0$

Phương trình trở thành: ${a{t^2} + bt + c = 0}$ $\Rightarrow$ t $\Rightarrow$ x

VD: Giải phương trình $2x^4  - 7x^2  - 4 = 0$

Đặt $t = {x^2} \ge 0$

Phương trình trở thành: $2t^2  - 7t - 4 = 0$ (1)

$\Delta  = \left( { - 7} \right)^2  - 4.2.\left( { - 4} \right) = 49 + 32 = 81 > 0$

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: 

$t_1  = \dfrac{{ - \left( { - 7} \right) - \sqrt {81} }}{{2.2}} = \dfrac{{ - 1}}{2}$ (loại), $t_2  = \dfrac{{ - \left( { - 7} \right) + \sqrt {81} }}{{2.2}} = 4$ (nhận)

$t = 4 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x =  \pm 2$

Phương trình đã cho có hai nghiệm: $x =  \pm 2$

❄ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC

Cách giải:

_ Tìm điều kiện xác định của phương trình

_ Qui đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu

_ Giải phương trình vừa nhận được

_ Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

VD: Giải phương trình $\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} + \dfrac{2}{{x - 2}} = \dfrac{{12}}{{x^2  - 4}}$

$ \Leftrightarrow $ $\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} + \dfrac{2}{{x - 2}} = \dfrac{{12}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$
ĐKXĐ:$\begin{cases}x - 2 \ne 0\\x + 2 \ne 0\end{cases}$ $ \Leftrightarrow $ $\begin{cases}x \ne 2\\x \ne -2\end{cases}$
pt $ \Leftrightarrow $ $\dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} + \dfrac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{12}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$
$ \Leftrightarrow $ $\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) + 2\left( {x + 2} \right) = 12$
$ \Leftrightarrow $ $x^2  - 3x + 2 + 2x + 4 = 12$
$ \Leftrightarrow $ $x^2  - x - 6 = 0$ (1)
$\Delta  = \left( { - 1} \right)^2  - 4.1.\left( { - 6} \right) = 25 > 0$
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

$x_1  = \dfrac{{ - \left( { - 1} \right) - \sqrt {25} }}{{2.1}} =  - 2$ (loại), $x_1  = \dfrac{{ - \left( { - 1} \right) + \sqrt {25} }}{{2.1}} = 3$ (nhận)

Phương trình đã cho có 1 nghiệm $x = 3$

❄ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Cách giải: A(x)$\times$B(x)$\times$...$\times$C(x) = 0 $\Leftrightarrow$ A(x) = 0 hay B(x) = 0 hay ... hay C(x) = 0

VD: Giải phương trình ${x^3} + 3{x^2} + 2x = 0$

pt $ \Leftrightarrow $ $x\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow $ $x = 0$ hay ${x^2} + 3x + 2 = 0$ (có dạng $a - b + c = 1 - 3 + 2 = 0$)

$ \Leftrightarrow $ $x = 0$ hay $x = -1$ hay $x = -2$

Phương trình đã cho có 3 nghiệm $x_1 = 0$, $x_2 = -1$, $x_3 = -2$

Read More

Vì sao thêm 1 vào tích của bốn số tự nhiên liên tiếp chắc chắc sẽ là một số chính phương?

Bạn có thể tùy ý chọn 4 số tự nhiên liên tiếp, sau khi nhân chúng với nhau, cộng thêm 1 vào tích đó, khi đó ta không cần biết kết quả là bao nhiêu, nhưng có thể chắc chắn rằng đó là một số chính phương.

        Hãy xem ví dụ dưới đây:
        $1 \times 2 \times 3 \times 4 + 1 = 25 = {5^2}$
        $2 \times 3 \times 4 \times 5 + 1 = 121 = {11^2}$
        $3 \times 4 \times 5 \times 6 + 1 = 361 = {19^2}$
        $4 \times 5 \times 6 \times 7 + 1 = 841 = {29^2}$

        ...............................................................................

Càng về sau, việc tính toán càng phức tạp, nhưng dù sao chăng nữa ta có thể khẳng định, kết quả là một số chính phương.

        Vì sao lại có được kết quả như vậy?

Trong bốn số tự nhiên liên tiếp, giả thiết số nhỏ nhất là $a$ ta sẽ nghiên cứu xem biểu thức sau có là số chính phương không?

        $a\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right)\left( {a + 3} \right) + 1$

        $= a\left( {a + 3} \right)\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right) + 1$

        $= \left( {{a^2} + 3a} \right)\left( {{a^2} + 3a + 2} \right) + 1$

        $= {\left( {{a^2} + 3a} \right)^2} + 2\left( {{a^2} + 3a} \right) + 1$

        $= {\left( {{a^2} + 3a + 1} \right)^2}$

Thực vậy, $a$ là một số tự nhiên nên ${\left( {{a^2} + 3a + 1} \right)^2}$ là một số chính phương.

        Thông qua phân tích trên, ta không chỉ biết được $a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1$ là một số chính phương mà còn có thể rất nhanh chóng tính ra được nó là bình phương của số nào.

        Ví dụ $10 \times 11 \times 12 \times 13 + 1 = ?$ Trong phép tính này, số nhỏ nhất là $a = 10$, vậy ${\left( {{a^2} + 3a + 1} \right)^2} = 131$. Tức là $10 \times 11 \times 12 \times 13 + 1 = {131^2}$

        Bạn có thể thử với các số: $15 \times 16 \times 17 \times 18 + 1 = ?$

Ngoài ra, người ta còn biết được, bốn số chẵn (hoặc số lẻ) liên tiếp nhân với nhau rồi cộng thêm 16 cũng nhất định sẽ cho một số chính phương.

Read More

[ĐẠI SỐ 9] PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

❄ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
Dạng ${a{x^2} + bx + c = 0\;\left( {a \ne 0} \right)}$

Công thức nghiệm tổng quát

Tính $\Delta  = {b^2} - 4ac$

$\Delta  < 0$ $ \Rightarrow $ phương trình vô nghiệm

$\Delta  = 0$ $ \Rightarrow $ phương trình có nghiệm kép: $x_1  = x_2  = \dfrac{{ - b}}{{2a}}$

$\Delta  > 0$ $ \Rightarrow $ phương trình có hai nghiệm phân biệt: 

$x_1  = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}}$, $x_2  = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}}$

+ Trường hợp đặc biệt:

$b = 0$ hoặc $c = 0$: Ta đưa phương trình bậc hai về phương trình tích
$a + b + c = 0$ $ \Rightarrow $ ${x_1} = 1$, ${x_2} = \dfrac{c}{a}$
$a - b + c = 0$ $ \Rightarrow $ ${x_1} = -1$, ${x_2} = \dfrac{-c}{a}$

VD: Giải phương trình
1) ${x^2} + 2x = 0$
pt $ \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow x = 0\;hay\;x + 2 = 0$
$ \Leftrightarrow x = 0\;hay\;x = -2$
Phương trình có hai nghiệm $x = 0; - 2$

2) ${x^2} - 5 = 0$
pt $ \Leftrightarrow $ $\left( {x - \sqrt 5 } \right)\left( {x + \sqrt 5 } \right) = 0$
$ \Leftrightarrow $ $x - \sqrt 5  = 0$ hay $x - \sqrt 5  = 0$
$ \Leftrightarrow $ $x = \sqrt 5$ hay $x = -\sqrt 5$
Phương trình có hai nghiệm $x =  \pm \sqrt 5 $

3) ${x^2} +1 = 0$
Ta có:
${x^2} \ge 0$ với mọi $x \in$ $\mathbb{R}$
$ \Rightarrow {x^2} + 1 \ge 1 > 0$
Phương trình vô nghiệm.

4) ${{x^2} - 5x + 6 = 0}$

$\left( {a = 1,\;b =  - 5,\;c = 6} \right)$

$\Delta  = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.1.6 = 25 - 24 = 1 > 0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \dfrac{{ - \left( { - 5} \right) - \sqrt 1 }}{{2.1}} = 2$, ${x_2} = \dfrac{{ - \left( { - 5} \right) + \sqrt 1 }}{{2.1}} = 3$

5) ${x^2} - \sqrt 5 x + \dfrac{5}{4} = 0$

$\left( {a = 1,\;b =  - \sqrt 5 ,\;c = \dfrac{5}{4}} \right)$

$\Delta  = {\left( { - \sqrt 5 } \right)^2} - 4.1.\dfrac{5}{4} = 5 - 5 = 0$

Phương trình có nghiệm kép: $x = \dfrac{{ - \left( { - \sqrt 5 } \right)}}{{2.1}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}$

6) ${2{x^2} + 3x + 2 = 0}$

$\left( {a = 2,\;b =  3,\;c = 2} \right)$

$\Delta  = {3^2} - 4.2.2 = 9 - 16 =  - 7 < 0$
Phương trình vô nghiệm.

7) ${{x^2} - 3x + 2 = 0}$
$\left( {a = 1,\;b =  -3,\;c = 2} \right)$
Phương trình có dạng: $a + b + c = 0$
$ \Rightarrow $ Phương trình có hai nghiệm ${x_1} = 1$, ${x_2} = \dfrac{2}{1} = 2$

8) ${{x^2} - 4x - 5 = 0}$
$\left( {a = 1,\;b =  -4,\;c = -5} \right)$
Phương trình có dạng: $a - b + c = 0$
$ \Rightarrow $ Phương trình có hai nghiệm ${x_1} = -1$, ${x_2} = \dfrac{{ - \left( { - 5} \right)}}{1} = 5$

Bài tập Giải phương trình bậc hai một ẩn

Read More

Thuật toán Tìm số Fibonacci thứ n trong Java

Dãy số Fibonacci được định nghĩa như sau: F[0] =1, F[1] = 1; F[n] = F[n-1] + F[n-2] với n>=2. Hãy viết chương trình tìm số Fibonacci thứ n.

import java.util.Scanner;

public class Main {

       public static int nhapSoTN() {

              Scanner input = new Scanner(System.in);

              boolean check = false;

              int n = 0;

              while (!check) {

                     try {

                           n = Integer.parseInt(input.nextLine());

                           if (n < 0) {

                                  System.out.println("Bạn phải nhập số tự nhiên! Hãy nhập lại.");

                                  continue;

                           }

                           check = true;

                     } catch (Exception e) {

                           System.out.println("Bạn phải nhập số tự nhiên! Hãy nhập lại.");

                     }

              }

              return (n);

       }

       public static int fibonacci_thu_n(int n) {

              if ((n == 1) || (n == 2)) {

                     return 1;

              } else {

                     int arr[] = new int[n];

                     arr[0] = 1;

                     arr[1] = 1;

                     for (int i = 2; i < arr.length; i++) {

                           arr[i] = arr[i - 1] + arr[i - 2];

                     }

                     return arr[n-1];

              }

       }

       public static void main(String[] args) {

              System.out.println("Nhập số tự nhiên n: ");

              int n = nhapSoTN();

              System.out.println("Số Fibonacci thứ " + n + " là: ");

              System.out.println(fibonacci_thu_n(n));

       }

}

Read More

Câu chuyện về phép chia công bằng

    Hai người bộ hành nghỉ chân bên vệ đường, giở gói bánh bao ra ăn. Một người có năm chiếc, một người có ba chiếc. Họ cắt tàu lá chuối trải lên bãi cỏ, bỏ chung bánh vào cùng ăn. Bỗng có một người lái buôn vừa đi tới. Hai người mời người lái buôn cùng ăn với mình. Đang đói và thấy hai người mời niềm nở, khách không từ chối.

    Ba người cùng lần lượt ăn hết tám cái bánh. Cứ mỗi cái bánh được bẻ ra ba phần. Họ ăn xong cái này lại cắt tiếp cái khác.

    Ăn xong, người lái buôn vội đi, xin gởi lại tám đồng bạc.

    Hai người có bánh đem tiền ra chia. Người có năm cái bánh nhất quyết phải lấy năm đồng. Người có ba chiếc bánh đòi phải chia đôi số tiền.

    Hai người cãi nhau, bất phân thắng bại, đành đưa nhau đến cho quan sở tại phân xử.

    Quan ngẫm nghĩ, sau khi nghe hai người trình bày. Quan bảo với người có ba chiếc bánh:

       - Anh được ba đồng, thế là may quá rồi, còn đòi gì nữa.

      - Vì cùng ăn chung nên tôi phải được một nửa mới đúng chứ! Người có ba chiếc bánh đáp.

    Quan từ tốn nói thêm:

      - Đúng là anh chỉ được một đồng, còn bảy đồng là của người có năm chiếc bánh.

    Hai người ngỡ ngàng với ý kiến của quan thì được ông giải thích:

      - Các anh có ba người ăn hết tám cái bánh. Nếu mỗi cái bánh bẻ làm ba miếng thì tám cái bánh có hai mươi bốn miếng. Mỗi người đã ăn một phần ba là tám miếng bánh. Anh có ba cái bánh thì chia ra được chín miếng. Anh đã ăn hết tám miếng, chỉ còn một miếng để cho khách. Bạn của anh có năm cái bánh, vị chi là mười lăm miếng bánh. Anh ta ăn hết tám miếng còn để cho khách đến bảy miếng. Khách cũng như các anh chỉ ăn tám miếng, một miếng của anh và bảy miếng của bạn anh. Khách chỉ trả tiền phần ăn của mình thôi chứ. Như vậy anh chỉ được một đồng và bạn anh được bảy đồng. Anh đã nghe ra chưa.

    Người có ba cái bánh ấp úng vâng dạ trước lí lẽ sáng suốt của quan.

Read More

[ĐẠI SỐ 9] HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

❄ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Dạng: $\begin{cases}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{cases}$

Cách giải: Sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số

VD: Giải hệ phương trình $\begin{cases}2x + y = 1\\3x + 4y = -1\end{cases}$

Cách 1: Phương pháp thế

hpt $ \Leftrightarrow $ $\begin{cases}y = 1 - 2x\\3x + 4(1 - 2x) = -1\end{cases}$
$ \Leftrightarrow $ $\begin{cases}y = 1 - 2x\\-5x = -5\end{cases}$
$ \Leftrightarrow $ $\begin{cases}y = 1 - 2.1\\x = 1\end{cases}$
$ \Leftrightarrow $ $\begin{cases}y = -1\\x = 1\end{cases}$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}$

Cách 2: Phương pháp cộng đại số

hpt $ \Leftrightarrow $ $\begin{cases}-8x - 4y = -4\\3x + 4y = -1\end{cases}$
$ \Leftrightarrow $ $\begin{cases}-5x = -5\\3x +4y = -1\end{cases}$
$ \Leftrightarrow $ $\begin{cases}x = 1\\3.1 + 4y = -1\end{cases}$
$ \Leftrightarrow $ $\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}$

Bài tập Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Read More