Vài kinh nghiệm giải toán

      Một điều đáng tiếc cho nhiều bạn học toán là các bạn rất vất vả trong việc giải toán. Có bạn đã khổ tâm nhiều khi không làm được những bài toán thầy cho về nhà, nhất là các bài toán ra trong kì thi hoặc kiểm tra trong điều kiện thời gian hạn chế. Tự kiểm điểm bạn ấy thấy rằng đã hết sức cố gắng học toán, tin tưởng là mình đã nắm vững các kiến thức cơ bản, đã hiểu các bài học đã xoay bài toán đủ mọi cách nhưng cuối cùng vẫn bế tắc không tìm ra lời giải. Về sau xem lời giải những bài toán bế tắc ấy thì thấy rằng ở đây không có gì khó khăn lắm về mặt nguyên tắc vì sử dụng toàn những kiến thức cơ bản mà mình đã biết, bài giải nhiều khi rất đơn sơ nhưng chỉ tại mình hoặc thiếu sót chút ít, hoặc không nghĩ đến cách giải ấy.

      Các bạn học sinh, các bạn đã suy nghĩ thật chín chắn chưa, rằng vì sao lại xãy ra những hoàn cảnh “éo le” như vậy?

      Ai cũng thấy rằng học thuộc bài học hoàn toàn không đủ, mà phải biết vận dụng những kiến thức ấy và rèn luyện kĩ năng trong việc giải toán. Số các bài toán nhiều không kể xiết, mỗi bài mỗi vẻ, thời gian học tập lại hạn chế, do đó cần biết rèn luyện phương pháp suy nghĩ đúng đắn và biết đúc kinh nghiệm: tác giả muốn trao đổi với các bạn vài kinh nghiệm như vậy.

      Thật ra những kinh nghiệm ấy vô cùng phong phú, nhiều không kể xiết cũng như số các bài toán. Ở các bài viết trước, chúng ta đã được hướng dẫn “Cách giải một bài toán”, trong đó tác giả đã nêu lên các bước và một số kinh nghiệm trong giải toán. Trong khuôn khổ bài viết này, tác giả chỉ đề cập vấn đề rèn luyện óc phân tích một bài toán qua việc phân tích tính đặc thù của bài toán. Việc phân tích bài toán nghe khá hiển nhiên, nhưng vận dụng được vào từng hoàn cảnh cụ thể, từng bài toán lại là một việc hết sức khó. Vì vậy, tác giả nghĩ rằng tốt nhất là nêu lên thêm một số ví dụ minh họa.

      Ta xét ví dụ sau: Tôi có một tờ giấy to và xé nó ra làm 9 mảnh. Sau đó, lấy một số mảnh, xé mỗi mảnh thành 9 mảnh nhỏ, rồi trộn vào với các mảnh cũ. Tôi lại lấy một số mảnh trong đống giấy ấy, xé mỗi mảnh làm 9 mảnh rồi lại trộn vào với các mảnh cũ và cứ thế tiếp tục. Lúc sau tôi dừng lại và nhờ bạn tôi đếm số mảnh giấy có được, anh nói: 1968. Hãy chứng minh rằng anh ấy đếm... sai!

      Thoạt nhìn bài toán này, chắc các bạn cảm thấy vấn đề ở đây quá rắc rối, vì người ta không cho biết mỗi lần xé thì lấy bao nhiêu mảnh giấy xé và cũng không cho biết bao nhiêu lần xé như vậy. Thành thử chắc chắn rằng không thể biết cuối cùng tổng cộng có bao nhiêu mảnh giấy mà lại phải chứng minh rằng đếm sai.

      Nhưng chúng ta hãy bình tĩnh để hình dung và phân tích kĩ quá trình “xé giấy” trong bài toán: mỗi lần từ đống giấy lấy lên một mảnh, xé nó làm 9, rồi lại bỏ vào đống giấy thì rõ ràng số mảnh giấy tăng lên 8. Bắt đầu có một mảnh giấy, như vậy cuối cùng số mảnh giấy xé được sẽ là 1 + 8k, với k nguyên dương. Vì số 1968 không có dạng 1 + 8k, nên anh bạn trên đếm sai!

(Trích từ bài viết của Phan Đức Chính)

Read More

Hãy cẩn thận với bài toán...không rõ nguồn gốc

HÃY CẨN THẬN VỚI BÀI TOÁN...KHÔNG RÕ NGUỒN GỐC!

Chúng ta hãy cẩn thận với những bài toán... không rõ nguồn gốc xuất xứ nhé. Đó có thể là những bài toán mà giả thiết hay điều kiện bị sai hoặc không tồn tại, số liệu vô lý hoặc không chặt chẽ. Khi giải phải những bài toán này có khi các bạn sẽ bị bế tắc hoặc sẽ hơi bị ... ngố đấy!

Bài toán 1. Bạn A nhảy cao 7m, bạn B nhảy cao hơn bạn A 1m. Hỏi bạn B nhảy cao bao nhiêu mét?

Lời giải.

      Bạn B nhảy cao được: 7 + 1 = 8 (m)

      ĐS: 8m

Bình luận:

      Chúng ta đã từng thấy ai nhảy cao như bạn A và B vậy chưa!

Bài toán 2. Có 16 xe vừa ôtô vừa xe đạp, tất cả có 40 bánh xe. Hỏi có mấy xe ôtô, mấy xe đạp?

Lời giải.

      Gọi số xe ôtô và xe đạp lần lượt là x và y (x, y > 0)

      Theo đề bài, ta có:
      $x + y = 16$ và $4x + 2y = 40$
      Giải hệ phương trình $\begin{cases}x + y = 16\\4x + 2y = 40\end{cases}$ (với x, y > 0) ta được $\begin{cases}x = 4\\y = 12\end{cases}$

      ĐS: 4 ôtô, 12 xe đạp

Bình luận:

      Có bạn cho rằng lời giải như trên là đúng, nhưng có bạn lại ko đồng ý vì cho rằng đề bài không nhắc đến xe ôtô có 4 bánh và xe đạp có 2 bánh vì trong thực tế có xe ôtô 6 bánh, 8 bánh... cũng như xe đạp có 3 bánh, 4 bánh! Bạn suy nghĩ gì về đề toán?!

Bài toán 3. Hai máy bay khởi hành cùng một lúc từ hai sân bay A, B cách nhau 320km và bay ngược chiều. Máy bay bay từ A có vận tốc hơn máy bay bay từ B 10km/h. Sau 4 giờ hai máy bay gặp nhau. Tìm vận tốc của mỗi máy bay.

Lời giải.

      Tổng vận tốc của hai máy bay là: $320:4 = 80$ (km/h)

      Vận tốc của máy bay bay từ A là: $\left( {80 + 10} \right):2 = 45$ (km/h)

      Vận tốc của máy bay bay từ B là: $80 - 45 = 35$ (km/h)

      ĐS: 45 km/h, 35 km/h

Bình luận:

      Chắc hẳn các bạn cũng đồng ý rằng lời giải chuẩn rồi và lỗi ở đề toán, tác giả đề toán đã cho máy bay bay chậm hơn xe máy rồi! Thật là buồn cười. Chưa nói đến hai máy bay mà gặp nhau thì ko biết điều gì sẽ xãy ra nữa.

Read More

Các sai lầm trong phương pháp học toán

CÁC SAI LẦM TRONG PHƯƠNG PHÁP HỌC TOÁN

1) Lướt qua các bài toán cơ bản và dành nhiều thời gian cho các bài toán "đố"

    Nhiều bạn học sinh coi thường các bài toán cơ bản, đơn giản mà không dành nhiều thì giờ ôn tập chúng, chỉ cố giải và học thuộc các bài toán khó. Thực ra, đa số các bài toán tổng hợp phức tạp là sự kết hợp nhiều bài toán cơ bản, cho nên chúng ta sẽ giải được các loại toán này nếu chúng ta thành thạo các bài toán cơ bản và biết được những thủ thuật giải rất đặc biệt và thường ít gặp trong toán học (ngay cả trong nghiên cứu toán học), ta gọi chúng là cái bài toán đố (hiểu theo nghĩa rộng, chứ không hẳn là các bài toán thực tế cho bằng lời văn). Việc giải các bài toán phức tạp rất mất thời gian, trong các bài toán thì thông thường tỉ lệ các bài toán đố ít hơn 15%, vì thế bạn dành nhiều hơn 15% thời gian học tập cho chúng là vô lý!

2) Không ôn tập các bài học cũ

    Sự tiến bộ của việc giải toán dựa trên các dạng toán và các phương pháp giải mà ta tích lũy được chứ không hẳn là số lượng bài toán đã giải được. Cho nên học nhiều mà không tìm cách nhớ những gì mình học là vô ích, chỉ có cách ôn tập chúng ta mới có thể nhớ lâu các kiến thức đã học. Có thể chúng ta mất rất nhiều thời gian cho lần giải đầu tiên cho một bài toán nhưng những lần ôn tập sau càng ôn tập nhiều thì thời gian giải càng tốn ít hơn, thành quả thu lại cũng to hơn khi chúng ta được khắc sâu bài toán. Yếu tố thời gian rất quan trọng trong lúc kiểm tra, thi cử. Chúng ta phải thành thạo như máy và làm nhanh như chớp tất cả các dạng toán đã làm qua, để dành tối đa thời gian làm bài cho các bài toán có vẻ lạ. Chỉ có cách ôn tập bài cũ thường xuyên chúng ta mới có thể đạt được kỹ năng trên.

3) Cái gì cũng ôn

    Nếu không ôn tập thì tệ hại nhưng tệ hại không kém nếu không biết cách ôn tập. Chúng ta không có nhiều thì giờ cho mọi việc, nhất là việc ôn tập khá nhàm chán.

    Sau khi học xong một chương, ta nên ôn lại tất cả các bài tập ở các chương trước đó trước khi sang chương tiếp theo, đánh dấu các bài toán mà ta giải còn ngập ngừng. Và cứ thế tiếp tục cho đến chương cuối, lặp lại việc này cho tới khi không còn bài nào ngập ngừng nữa. Khi ôn tập ta ôn theo các dạng toán, để ý các bài ta hay làm sai, các bài khó nhớ cách giải, xem lại những cái sai ta từng mắc phải để tránh ở những bài tương tự. Chúng ta sẽ rất phí thời gian để làm lại một việc vô ích: giải đi giải lại các bài toán mà chúng ta đã thuộc nằm lòng rồi!

Read More

Quan niệm về vấn đề Rèn luyện giải toán

Việc rèn luyện giải toán bao gồm hai nội dung chủ yếu:

            1. Rèn luyện việc tìm lời giải các bài toán

            2. Rèn luyện việc giải bài toán

Có thể mô tả hoạt động trên thành hai công đoạn theo mô hình:

      Rèn luyện khả năng tìm lời giải các bài toán là khâu có tính chất quyết định trong toàn bộ hoạt động rèn luyện giải toán vì dù có kĩ thuật cao, có thành thạo trong việc thực hiện các thao tác và các phép tính nhưng khi chưa có phương hướng hoặc chưa có phương hướng tốt thì chưa thể có lời giải hoặc hoặc lời giải tốt.

      Người giải toán cần thấy rõ từ chỗ tìm được phương hướng giải bài toán đến việc giải hoàn chỉnh bài toán là cả một quá trình rèn luyện bao gồm nhiều khâu: từ việc nắm vững các kiến thức cơ bản về nội dung lí thuyết và các phương pháp thực hành đến việc luyện tập thành thạo các thao tác có tính chất kĩ thuật. Điều này đòi hỏi tính nghiêm túc, tính kiên nhẫn và một phương pháp làm việc khoa học của người giải toán.

      Con người từ khi sinh ra và lớn lên ít nhiều gì cũng có lần mắc sai lầm, việc rèn luyện giải toán cũng thế. Sai lầm trong giải toán của chúng ta do hai nguyên nhân chính là kiến thức và kỹ năng. Việc nắm kiến thức không chính xác, không vững dẫn đến hiểu sai và kỹ năng chưa thành thạo sẽ dẫn đến thất bại lâu dài. Tuy nhiên, chúng ta cần học từ những thất bại bởi “Càng thấy rõ cái sai, càng hiểu sâu cái đúng”. Càng rút ra nhiều bài học kinh nghiệm từ cái sai chúng ta càng nhanh đến thành công hơn.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT BÀI TOÁN

Để giải các bài toán, ngoài việc nắm vững các kiến thức còn cần phải có phương pháp suy nghĩ và kỹ năng trình bày khoa học cùng với những  kinh nghiệm cá nhân tích lũy được qua quá trình học tập và rèn luyện.

Phương pháp giải một bài toán thường được tiến hành theo bốn bước:

            B1: Tìm hiểu đề toán

            B2: Tìm lời giải

            B3: Trình bày lời giải

            B4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

1) Tìm hiểu đề toán

      Tìm hiểu đề toán là một yêu cầu quan trọng và quyết định trong sự thành bại hay hoặc dở của một lời giải bài toán. Năng lực của người giải toán cũng thể hiện rõ ở bước này. Có một số người giải toán có thói quen không tốt là hễ có bài  toán là cứ ghi ghi chép chép và nháp lia lịa, mặc dù chưa biết mình sẽ giải quyết cái gì và những  con tính của mình phục vụ cho yêu cầu  nào. Bỏ qua mặt này mà giải được bài toán thì hoặc là bài toán quá dễ do có cách giải rõ ràng hoặc là do kết quả ngẫu nhiên của một quá trình mò mẫm.

      Để hiểu rõ đề toán, trước tiên phải đọc kĩ đề toán sao cho thấy được toàn bộ nội dung chính của bài toán càng rõ ràng, sáng sủa càng tốt. Đó chính là giả thiết, kết luận và điều kiện của bài toán. Giả thiết là những cái đã cho, cái đã biết; kết luận là cái chưa biết, cái cần tìm, điều phải chứng minh và điều kiện là mối liên quan giữa cái cần tìm và cái đã cho của bài toán.

      Đối với bài toán hình học, nói chung phải vẽ hình. Hình vẽ làm hiện lên đồng thời các yếu tố cũng như các tính chất cùng mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho trong đề bài. Vì thế, thường sau khi vẽ hình đúng, đề toán được hiểu rõ ràng cụ thể hơn.

            Khi vẽ hình cần chú ý:

_ Hình vẽ phải mang tính tổng quát, không nên vẽ hình trong  trường hợp đặc biệt vì như thế dễ gây nên ngộ nhận. Chẳng hạn, đối  với các đoạn thẳng không nên vẽ bằng nhau, đối với các đường thẳng không nên vẽ vuông góc với nhau, đối với tam giác không nên vẽ cân hay vuông... nếu như bài toán không đòi hỏi.

_ Hình vẽ phải rõ ràng, chính xác dễ nhìn thấy những quan hệ (song song, cắt nhau, vuông góc...) và tính chất (đường trung tuyến, phân giác, tam giác cân, tam giác vuông...) mà bài toán đã cho. Ngoài ra, để làm nổi bật vai trò khác nhau của các đường, các hình trong hình vẽ có thể vẽ bằng nét đậm, nét nhạt, nét liền, nét đứt hoặc dùng nhiều màu khác nhau...

      Đối với những bài toán không phải là hình học, ta cũng có thể dùng biểu diễn hình học để diễn tả đề toán, chẳng hạn sơ đồ đoạn thẳng, sơ đồ tư duy hay kí hiệu... Đặc biệt kí hiệu đạt hiệu quả khi chuyển hóa bài toán dưới dạng lời văn sang dạng kí hiệu toán giúp bài toán có cái nhìn rõ ràng xúc tích hơn.

2) Tìm lời giải

      Tìm tòi lời giải là bước quan trọng nhất trong hoạt động giải toán. Nó quyết định sự thành công, nhanh hay chậm của việc giải toán. Điều cơ bản ở bước này là biết định hướng đúng để tìm ra được đường đi đúng. Không có một thuật toán tổng quát nào để giải được mọi bài toán cả.

      Sau đây là những lời khuyên của người có kinh nghiệm giải toán:

a) Sử dụng các bài toán đã giải. Ngoài việc áp dụng những thuật toán, định lí, định nghĩa hay tính chất của các dữ kiện đã cho trong đề bài thì việc tìm ra hướng đi đúng trong việc giải một bài toán sẽ dễ dàng hơn nếu ta nhớ lại được là ta đã từng giải một bài toán tương tự hoặc gần giống với bài toán cần giải. Thực tế khó mà đặt ra được một bài toán hoàn toàn mới, không giống hay liên quan một chút nào với các bài toán đã có. Mặt khác cũng có thể có rất nhiều bài toán liên quan đến bài toán đang giải. Hãy nhớ lại một bài toán đã được giải và gần giống với bài toán đang xét và lợi dụng nó về phương pháp giải, về kết quả, về kinh nghiệm... Có thể nói gọn đây là bước chuyển bài toán lạ thành quen.

b) Phân tích – Bổ sung – Tổng hợp. Một bài toán, đặc biệt là bài toán khó, thường được tạo ra từ sự kết hợp những bài toán đơn giản hơn. Người giải toán có kinh nghiệm thường phải biết phân tích bài toán đang xét thành những bài toán nhỏ quen thuộc để giải. Từ các kết quả đó ta bổ sung thêm một số chi tiết cần thiết sau đó lại tổng hợp chúng để có được lời giải bài toán ban đầu.

            Một số gợi ý cho bước tìm lời giải:

_ Bạn đã gặp bài này lần nào chưa? Có thuật toán, công thức  hay tính chất nào để giải không?

_ Xem xét phân tích cái đã biết, cái chưa biết thành các dữ kiện có lợi hơn, các bài toán nhỏ hơn.

_ Có bài toán nào quen, liên quan đến bài này không? Có cần  phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được nó không?

_ Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện của bài toán chưa? Đã sử dụng toàn bộ điều kiện chưa? Kết quả của những câu trên có giúp ích cho việc giải câu này không?

_ Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra có thể thử giải một bài tổng quát hơn không? Một trường hợp riêng? Một phần bài toán? Có thể biến đổi yêu cầu bài toán từ dạng này sang dạng khác không?

3) Trình bày lời giải

      Sau khi đã tìm thấy cách giải rồi thì việc trình bày bài giải không khó khăn như trước nữa, nhưng tính chất công việc có khác nhau. Khi đang tìm kiếm lời giải thì có thể tự do mò mẫm, dự đoán và dùng cách lập luận “tạm thời”. Nhưng khi trình bày lời giải thì phải dùng những lập luận chặt chẽ, phải kiểm tra lại từng chi tiết, nhất là đối với các bài toán phức tạp. Phải trình bày rõ ràng sao cho thấy được sự liên hệ giữa mỗi chi tiết, cũng như sự liên hệ giữa các chi tiết trong từng đoạn của lời giải và trong toàn bộ lời giải ấy. Trình tự trình bày các chi tiết trong lời giải cần phải gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa.

4) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

      Đây là một bước cần thiết và bổ ích mà trên thực tế ít người giải toán thực hiện nó. Trong khi trình bày lời giải, rất có thể ta đã mắc phải thiếu sót, lầm lẫn ở chỗ nào đó. Việc kiểm tra lại lời giải sẽ giúp ta sửa chữa được những sai sót đáng tiếc đó. Mỗi sai lầm đều cho ta một kinh nghiệm trong hoạt động giải toán. Mặt khác, việc nhìn nhận xem xét lại cách giải, việc phân tích lại kết quả và con đường đã đi cùng phương pháp tiến hành, còn có thể giúp ích cho ta tìm thấy một cách giải khác tốt hơn, hoặc phát hiện ra những sự kiện mới và bổ ích. Phải kiên nhẫn và chịu khó nghiên cứu lời giải tìm được để có thể hoàn thiện cách giải và bao giờ cũng giúp ta hiểu được cách giải sâu sắc hơn. Chính điều đó sẽ làm phong phú thêm kinh nghiệm giải toán, sẽ củng cố và phát triển năng lực giải toán cho bản thân.

Tài liệu tham khảo:

[1] Nguyễn Thái Hòe (2004). Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán. NXB Giáo Dục.

[2] Vũ Dương Thụy - Phạm Gia Đức - Hoàng Ngọc Hưng - Đặng Đình Lăng (2001). Thực hành giải toán. NXB Giáo Dục.

Read More

Tờ giấy nháp

Câu chuyện tờ giấy nháp...

      Xưa có Dưỡng Do Cơ là tay thần tiễn, hãnh diện tài ‘bách bộ xuyên dương’ của mình lắm lắm. Có bà lão bán dầu bĩu môi: “Chỉ là quen tay!” Dưỡng giận, nói: “Bà làm đi!”. Bà lão lấy chai dầu đổ ra ly, ly đầy có ngọn mà không tràn, rồi bảo Dưỡng: “Ông làm đi!” Dưỡng lắc đầu: “Phải, quen tay cả thôi.” Muốn quen ắt phải luyện tập.

      Trong sự học, tờ giấy nháp chính là ‘luyện võ đường’, nơi ta luyện tập cho quen cách làm cách nghĩ. Giấy nháp càng nhiều, công phu luyện tập càng cao, nội lực càng thâm hậu. Dưỡng tiên sinh thực là người đã cảm nghiệm sâu sắc cái đạo lý của lão mẫu bán dầu thuở xưa vậy.

      Thế nhưng ở một nước kia vẫn có không ít sĩ tử lấy việc đi học thêm cho thật nhiều, hết lớp này đến lớp khác là cần, lấy việc cố công chép đầy vở 100 trang này đến tập 200 trang nọ là đủ để thành tài vượt được vũ môn.

- Không cần giấy nháp ư?

- Chẳng cần, đã có VINACAL 570ES PLUS II.

- Đủ ư?

- Còn.  (...và xòe hai bàn tay trắng ra...đầy chữ)

- ???   (Quả thật chẳng tốn một manh giấy nháp nào...)

      Thầy làm trên bảng, chép vào, ấy là thầy thực hành. Bấm Casio, ấy là máy thực hành. Xưa nay chưa từng nghe nhìn người khác ăn mà bản thân mình no, nhìn người khác uống mà bản thân mình hết khát, nhìn người khác tập thể dục mà bản thân mình khỏe mạnh bao giờ. Phàm ai ăn nấy no, ai tập nấy khỏe, ấy là cái đạo lý xưa nay vậy. Ôi thế mà trong học tập lại có ý cứ nhìn người khác tập luyện cho thật nhiều là mình có được các kĩ năng kĩ xảo cần thiết thì chẳng phải là làm trò cười cho kẻ sĩ trong thiên hạ ư?!

      Nói đi phải nói lại, nói các sĩ tử không sử dụng giấy nháp thì không đúng, các bạn ấy có sử dụng giấy nháp “một cách sáng tạo”. Có bạn tranh thủ sự tiện lợi bằng cách xé một manh giấy nháp nhỏ trong tập mình đang học ra làm nháp và kết quả là một tờ giấy tập đẹp thành miếng giấy nham nhở. Ngoài việc ngồi chờ thầy cô, bạn bè sửa bài trên bảng rồi chép vào cho sạch đẹp, lại có không ít các bạn khác làm bài bằng viết chì hoặc dùng bút xóa, làm sai thì bôi xóa thậm chí là dùng những miếng dán nhỏ xíu để che lấp cái sai của mình. Hỡi ôi! Các bạn có biết rằng học kiểu này chẳng bao giờ tiến bộ, bởi khi sai ta chỉ cần dùng thước gạch một đường xéo và sửa ngay bên cạnh bài sai bằng bài đúng thì sau này khi ôn bài ta biết trước đây ta sai như thế nào và tránh cái sai đó, các bạn xóa sạch cái bài sai thì đâu còn biết đã từng sai ra sao mà rút kinh nghiệm. Ấy là chưa nói đến dùng bút xóa, miếng dán, làm bút chì rồi đồ lại bằng bút mực vừa tốn tiền, mất thời gian mà còn hệ lụy nếu giám khảo phát hiện cách làm trên trong bài thi thì sẽ gán cho cái lỗi “đánh dấu bài” và có tiếc nuối thì cũng đã muộn màng.

Read More