Vài kinh nghiệm giải toán

      Một điều đáng tiếc cho nhiều bạn học toán là các bạn rất vất vả trong việc giải toán. Có bạn đã khổ tâm nhiều khi không làm được những bài toán thầy cho về nhà, nhất là các bài toán ra trong kì thi hoặc kiểm tra trong điều kiện thời gian hạn chế. Tự kiểm điểm bạn ấy thấy rằng đã hết sức cố gắng học toán, tin tưởng là mình đã nắm vững các kiến thức cơ bản, đã hiểu các bài học đã xoay bài toán đủ mọi cách nhưng cuối cùng vẫn bế tắc không tìm ra lời giải. Về sau xem lời giải những bài toán bế tắc ấy thì thấy rằng ở đây không có gì khó khăn lắm về mặt nguyên tắc vì sử dụng toàn những kiến thức cơ bản mà mình đã biết, bài giải nhiều khi rất đơn sơ nhưng chỉ tại mình hoặc thiếu sót chút ít, hoặc không nghĩ đến cách giải ấy.

      Các bạn học sinh, các bạn đã suy nghĩ thật chín chắn chưa, rằng vì sao lại xãy ra những hoàn cảnh “éo le” như vậy?

      Ai cũng thấy rằng học thuộc bài học hoàn toàn không đủ, mà phải biết vận dụng những kiến thức ấy và rèn luyện kĩ năng trong việc giải toán. Số các bài toán nhiều không kể xiết, mỗi bài mỗi vẻ, thời gian học tập lại hạn chế, do đó cần biết rèn luyện phương pháp suy nghĩ đúng đắn và biết đúc kinh nghiệm: tác giả muốn trao đổi với các bạn vài kinh nghiệm như vậy.

      Thật ra những kinh nghiệm ấy vô cùng phong phú, nhiều không kể xiết cũng như số các bài toán. Ở các bài viết trước, chúng ta đã được hướng dẫn “Cách giải một bài toán”, trong đó tác giả đã nêu lên các bước và một số kinh nghiệm trong giải toán. Trong khuôn khổ bài viết này, tác giả chỉ đề cập vấn đề rèn luyện óc phân tích một bài toán qua việc phân tích tính đặc thù của bài toán. Việc phân tích bài toán nghe khá hiển nhiên, nhưng vận dụng được vào từng hoàn cảnh cụ thể, từng bài toán lại là một việc hết sức khó. Vì vậy, tác giả nghĩ rằng tốt nhất là nêu lên thêm một số ví dụ minh họa.

      Ta xét ví dụ sau: Tôi có một tờ giấy to và xé nó ra làm 9 mảnh. Sau đó, lấy một số mảnh, xé mỗi mảnh thành 9 mảnh nhỏ, rồi trộn vào với các mảnh cũ. Tôi lại lấy một số mảnh trong đống giấy ấy, xé mỗi mảnh làm 9 mảnh rồi lại trộn vào với các mảnh cũ và cứ thế tiếp tục. Lúc sau tôi dừng lại và nhờ bạn tôi đếm số mảnh giấy có được, anh nói: 1968. Hãy chứng minh rằng anh ấy đếm... sai!

      Thoạt nhìn bài toán này, chắc các bạn cảm thấy vấn đề ở đây quá rắc rối, vì người ta không cho biết mỗi lần xé thì lấy bao nhiêu mảnh giấy xé và cũng không cho biết bao nhiêu lần xé như vậy. Thành thử chắc chắn rằng không thể biết cuối cùng tổng cộng có bao nhiêu mảnh giấy mà lại phải chứng minh rằng đếm sai.

      Nhưng chúng ta hãy bình tĩnh để hình dung và phân tích kĩ quá trình “xé giấy” trong bài toán: mỗi lần từ đống giấy lấy lên một mảnh, xé nó làm 9, rồi lại bỏ vào đống giấy thì rõ ràng số mảnh giấy tăng lên 8. Bắt đầu có một mảnh giấy, như vậy cuối cùng số mảnh giấy xé được sẽ là 1 + 8k, với k nguyên dương. Vì số 1968 không có dạng 1 + 8k, nên anh bạn trên đếm sai!

(Trích từ bài viết của Phan Đức Chính)