Processing math: 0%

Blog TOÁN-TIN của Thầy CHÂU HỮU SƠN

Tui là Giáo viên Chuyên Toán Trung học. Hãy xem thêm:
Vườn Toán học
Cảm ơn các bạn đã ghé thăm blog!

Thursday, May 26, 2016

On 9:52 AM by MATH CHANNEL in    2 comments
 BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM (BĐT CAUCHY)

a, b \ge 0
a, b, c \ge 0
Dạng 1
\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}
\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}
Dạng 2
a + b \ge 2\sqrt {ab}
a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}
Dạng 3
{\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab
{\left( {\dfrac{{a + b + c}}{3}} \right)^3} \ge abc
Dấu “=”
a = b
a = b =c
Chứng minh.
1) Cho a, b \ge 0. Chứng minh: \dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}
Giải
Cách 1.
\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}
\Leftrightarrow  a + b \ge 2\sqrt {ab}
\Leftrightarrow  a - 2\sqrt {ab}  + b \ge 0
\Leftrightarrow {\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0 (BĐT Đúng)
Vậy \dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} với mọi a, b \ge 0
Dấu “=” xãy ra  \Leftrightarrow  a = b

Cách 2.
Đặt BH = a, HC = b
\triangleABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến
\Rightarrow  AM = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{a + b}}{2}
\triangleABC vuông tại A có AH là đường cao
\Rightarrow  AH^2 = BH.HC = a.b
\Rightarrow AH = \sqrt {ab}
\triangleAHM vuông tại H
\Rightarrow  AM lớn nhất
\Rightarrow  AM  \ge AH
\Rightarrow  \dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}

Cách 3.
Hình chữ nhật ABCD có AD = BC = \sqrt{a}AB = CD = \sqrt{b} và CE = CD.
S_{ADI}  + S_{CDE}  \ge S_{ABCD}
\Rightarrow  \dfrac{1}{2}\sqrt a .\sqrt a  + \dfrac{1}{2}\sqrt b .\sqrt b  \ge \sqrt a .\sqrt b
\Rightarrow  \dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}

2) Cho a, b, c \ge 0. Chứng minh: \dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}
Giải
Cách 1. (Áp dụng BĐT Cauchy)
a + b + c + \sqrt[3]{{abc}} \ge 2\sqrt {ab}  + 2\sqrt {c\sqrt[3]{{abc}}}  \ge 2\left( {\sqrt {ab}  + \sqrt {c\sqrt[3]{{abc}}} } \right)
mà \sqrt {ab}  + \sqrt {c\sqrt[3]{{abc}}}  \ge 2\sqrt {\sqrt {ab} \sqrt {c\sqrt[3]{{abc}}} }  \ge 2\sqrt {\sqrt {abc\sqrt[3]{{abc}}} } \ge
\ge 2\sqrt {\sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{abc}}} \right)}^3}\sqrt[3]{{abc}}} } \ge 2\sqrt {\sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{abc}}} \right)}^4}} } \ge 2\sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{abc}}} \right)}^2}} \ge 2\sqrt[3]{{abc}} (do a, b, c \ge 0)
\Rightarrow  a + b + c + \sqrt[3]{{abc}} \ge 4\sqrt[3]{{abc}}
\Rightarrow  \dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}

Cách 2. (Áp dụng BĐT Cauchy và đổi biến)
a + b + c + d \ge 2\left( {\sqrt {ab}  + \sqrt {cd} } \right) \ge 2\left( {2\sqrt {\sqrt {ab} \sqrt {cd} } } \right) = 4\sqrt {\sqrt {abcd} }
\Rightarrow  \dfrac{{a + b + c + d}}{4} \ge \sqrt {\sqrt {abcd} }
Đặt d = \dfrac{{a + b + c}}{3}, ta được:
\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt {\sqrt {abc\left( {\dfrac{{a + b + c}}{3}} \right)} }  \ge \sqrt {\sqrt {abc\sqrt[3]{{abc}}} }  = \sqrt {\sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{abc}}} \right)}^4}} }  = \sqrt[3]{{abc}}

Cách 3. Đổi biến và biến đổi tương tương
\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}  \Leftrightarrow a + b + c - 3\sqrt[3]{{abc}} \ge 0
Đặt x = \sqrt[3]{a} \ge 0y = \sqrt[3]{b} \ge 0z = \sqrt[3]{c} \ge 0
BĐT trở thành {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz \ge 0
{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc
= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} \right)
= \dfrac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca} \right)
= \dfrac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)\left[ {\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ca + {a^2}} \right)} \right]
= \dfrac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right] \ge 0 (do a, b, c \ge 0)
Vậy \dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}

Cách 4. Dồn biến
\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}  \Leftrightarrow a + b + c - 3\sqrt[3]{{abc}} \ge 0
Xét f\left( {a,b,c} \right) = a + b + c - 3\sqrt[3]{{abc}}f\left( {t,t,c} \right) = 2t + c - 3\sqrt[3]{{{t^2}c}} với t = \dfrac{{a + b}}{2}
f\left( {a,b,c} \right) - f\left( {t,t,c} \right) = 3\left( {\sqrt[3]{{{t^2}c}} - \sqrt[3]{{abc}}} \right) mà t = \dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}
\Rightarrow  {t^2} \ge ab
\Rightarrow  \sqrt[3]{{{t^2}c}} - \sqrt[3]{{abc}} \ge 0
\Rightarrow  f\left( {a,b,c} \right) \ge f\left( {t,t,c} \right)
Ta chứng minh f\left( {t,t,c} \right) = 2t + c - 3\sqrt[3]{{{t^2}c}} \ge 0. Thật vậy:
2t + c - 3\sqrt[3]{{{t^2}c}} \ge 0
\Leftrightarrow  2t + c \ge 3\sqrt[3]{{{t^2}c}}
\Leftrightarrow  {\left( {2t + c} \right)^3} \ge 27{t^2}c
\Leftrightarrow  {\left( {2t + c} \right)^3} - 27{t^2}c \ge 0
\Leftrightarrow  {\left( {t - z} \right)^2}\left( {8t + z} \right) \ge 0 (đúng)
Vậy f\left( {a,b,c} \right) = a + b + c - 3\sqrt[3]{{abc}} \ge 0
\Leftrightarrow  \dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}

Cách 5. Chuẩn hóa và dồn biến
Vì bất đẳng thức đã cho là đồng bậc nên bằng cách chuẩn hóa ta có thể giả sử: a + b + c = 1 (*)
\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}  \Leftrightarrow  1 \ge 3\sqrt[3]{{abc}}  \Leftrightarrow  1 - 27abc \ge 0
Xét f\left( {a,b,c} \right) = 1 - 27abcf\left( {t,t,c} \right) = 1 - 27{t^2}c với t = \dfrac{{a + b}}{2}
f\left( {a,b,c} \right) - f\left( {t,t,c} \right) = 27\left( {{t^2}c - abc} \right) mà t = \dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}
\Rightarrow  {t^2} \ge ab
\Rightarrow  {t^2}c \ge abc
\Rightarrow  f\left( {a,b,c} \right) \ge f\left( {t,t,c} \right)
Ta chứng minh f\left( {t,t,c} \right) = 1 - 27{t^2}c \ge 0. Thật vậy:
1 - 27{t^2}c \ge 0
\Leftrightarrow  1 - 27{t^2}\left( {1 - 2t} \right) \ge 0
\Leftrightarrow  {\left( {3t - 1} \right)^2}\left( {6t + 1} \right) \ge 0 (đúng)
Với điều kiện (*) thì dấu “=” xãy ra  \Leftrightarrow  \begin{cases}a = b\\3t = 1\end{cases}  \Leftrightarrow  a = b = c \ge 0
Vậy f\left( {a,b,c} \right) \ge 0  \Rightarrow đpcm

2 comments:

  1. Bài toán này rất hay, các em nên tham khảo

    ReplyDelete
  2. Bài toán hay quá, mình rất thích vườn toán học, mời các bạn tham khảo các thông tin sau >>> Mẹo nhân gian để chữa bệnh lở miệng cực hiệu quả?

    ReplyDelete