[ĐẠI SỐ 9] ĐỊNH LÍ VIÈTE

❄ HỆ THỨC VIÈTE, ĐIỀU KIỆN VỀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Định lí Viète:

Phương trình ${a{x^2} + bx + c = 0\;\left( {a \ne 0} \right)}$ có hai nghiệm ${x_1}$, ${x_2}$ $\left( {\Delta  \ge 0} \right)$
$ \Rightarrow $ $S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}$, $P = {x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}$

Khi đó:
          $x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {S^2} - 2P$
          $x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) = S\left( {{S^2} - 3P} \right)$
          $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \dfrac{{\sqrt \Delta  }}{{\left| a \right|}}$

❄ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
1) Nhẩm nghiệm: Cho phương trình ${a{x^2} + bx + c = 0\;\left( {a \ne 0} \right)}$ khi đó:
            $a + b + c = 0 \Rightarrow {x_1} = 1,\;{x_2} = \dfrac{c}{a}$
            $a - b + c = 0 \Rightarrow {x_1} = -1,\;{x_2} = \dfrac{-c}{a}$
2) Tìm hai số khi biết tổng và tích: Cho hai số ${x_1}$, ${x_2}$ có ${x_1} + {x_2} = S$ và ${x_1}{x_2} = P$  $ \Rightarrow $ ${x_1}$, ${x_2}$ là nghiệm của phương trình ${X^2} - SX + P = 0$ $\left( {{S^2} - 4P \ge 0} \right)$

3) Phân tích tam thức thành nhân tử: Phương trình ${a{x^2} + bx + c = 0\;\left( {a \ne 0} \right)}$ có hai nghiệm ${x_1}$, ${x_2}$ thì $a{x^2} + bx + c = 0 = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)$

4) Xác định tham số để pt bậc hai có nghiệm thỏa điều kiện:

  pt có nghiệm $ \Leftrightarrow $ $\Delta  \ge 0$
  pt có nghiệm kép $ \Leftrightarrow $ $\Delta = 0$

  pt có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow $ $\Delta  > 0$

  pt có hai nghiệm trái dấu $ \Leftrightarrow $ P < 0 (a, c trái dấu)

  pt có hai nghiệm cùng dấu $ \Leftrightarrow $ $\Delta  \ge 0,\;P > 0$

  pt có hai nghiệm dương $ \Leftrightarrow $ $\Delta  \ge 0,\;P > 0,\;S > 0$

  pt có hai nghiệm âm $ \Leftrightarrow $ $\Delta  \ge 0,\;P > 0,\;S < 0$

  pt có hai nghiệm đối nhau $ \Leftrightarrow $ $\Delta  > 0,\;S = 0$
  pt có hai nghiệm trái dấu, nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn $ \Leftrightarrow $ $P < 0,\;S < 0$

  pt có hai nghiệm trái dấu, nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn $ \Leftrightarrow $ $P < 0,\;S > 0$
  pt có nghiệm nguyên $ \Leftrightarrow $ $\Delta  \ge 0,\;\Delta  = {k^2}$ $\left( {} \right.$${0 \le k \in }$$\mathbb{Z}$$\left. {} \right)$
  pt có hai nghiệm phân biệt, trong đó có nghiệm dương $ \Leftrightarrow $ 

\[\large \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
\left[ \begin{array}{l}
{x_1} < 0 < {x_2}\\ {x_1} = 0 < {x_2}\\ 0 < {x_1} < {x_2} \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\
\left[ \begin{array}{l}
P < 0\\ P = 0,\;S > 0\\
P > 0,\;S > 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\]pt có đúng một nghiệm dương $ \Leftrightarrow $ 
\[\large \left\{ \begin{array}{l}
\Delta \ge 0\\
\left[ \begin{array}{l}
0 < {x_1} = {x_2}\\ {x_1} = 0 < {x_2}\\ {x_1} < 0 < {x_2} \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta \ge 0\\ \left[ \begin{array}{l} \Delta = 0,\;S > 0\\
P = 0,\;S > 0\\
P < 0 \end{array} \right. \end{array} \right.\]Trường hợp cần chứng minh có ít nhất một trong hai phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$, $a'{x^2} + b'x + c' = 0$ có nghiệm ta thường làm như sau:
Cách 1: ${\Delta _1} + {\Delta _2} \ge 0$
Cách 2: ${\Delta _1}.{\Delta _2} \le 0$