[HÌNH HỌC 9] ĐƯỜNG THẲNG EULER

$\boxed{\text {Bài toán: }}$

Cho $O$, $H$, $G$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm của $\triangle ABC$. Chứng minh rằng $O$, $H$, $G$ cùng thuộc một đường thẳng (được gọi là đường thẳng Euler của $\triangle ABC$) và $GH = 2GO$.

Giải

Chứng minh.

Cách 1:

Vẽ $OM$ $\bot$ $BC$, $ON$ $\bot$ $AC$.

Ta có: $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $AC$ (đ/lí đường kính vuông góc dây cung).

$ \Rightarrow $ $MN$ là đường trung bình của $\triangle ABC$.

$ \Rightarrow $ $MN \parallel AB$.

$ \Rightarrow $ $\widehat {NMC} = \widehat {ABC}$, $\widehat {MNC} = \widehat {BAC}$.

$\widehat {OMN} + \widehat {NMC} = {90^\circ}$, $\widehat {HAB} + \widehat {ABC} = {90^\circ}$, $\widehat {NMC} = \widehat {ABC}$.

$ \Rightarrow $ $\widehat {OMN} = \widehat {HAB}$.

$\widehat {ONM} + \widehat {MNC} = {90^\circ}$, $\widehat {ABH} + \widehat {BAC} = {90^\circ}$, $\widehat {MNC} = \widehat {BAC}$.

$ \Rightarrow $ $\widehat {ONM} = \widehat {ABH}$.

$\triangle OMN$ và $\triangle HAB$ có $\widehat {OMN} = \widehat {HAB}$ (cmt), $\widehat {ONM} = \widehat {ABH}$ (cmt).

$ \Rightarrow $ $\triangle OMN$ $\sim$ $\triangle HAB$ (g – g).

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{OM}}{{HA}} = \dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{1}{2}$.

$ \Rightarrow $ $OM = \dfrac{1}{2}HA$.

Gọi $G’$ là giao điểm của $AM$ và $OH$.

$OM \parallel AH$ $ \Rightarrow $ $\dfrac{{G'M}}{{G'A}} = \dfrac{{OM}}{{HA}} = \dfrac{1}{2}$.

$ \Rightarrow $ $G’$ là trọng tâm của $\triangle ABC$.

$ \Rightarrow $ $G’$ $ \equiv $ $G$.

Vậy $H$, $G$, $O$ thẳng hàng và $\dfrac{{GO}}{{GH}} = \dfrac{{OM}}{{HA}} = \dfrac{1}{2}$.

Cách 2:

Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Kẻ đường kính $AD$.

Ta có $\widehat {ACD} = {90^\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

$ \Rightarrow $ $CD$ $\bot$ $AC$.

Mà $BH$ $\bot$ $AC$.

$\Rightarrow $ $BH$ $\parallel$ $CD$.

Tương tự, $CH \parallel BD$.

$BHCD$ là hình bình hành (hai cặp cạnh đối song song).

Mà $M$ là trung điểm của $BC$.

$ \Rightarrow $ $M$ là trung điểm $HD$.

$\triangle ABC$ có $AM$ là đường trung tuyến ($M$ là trung điểm $BC$), $G$ là trọng tâm.

$\Rightarrow$ $G$ $\in$ $AM$ và $AG = \dfrac{2}{3}AM$.

$\triangle AHD$ có $AM$ là đường trung tuyến ($M$ là trung điểm $HD$), $G$ $\in$ $AM$ và $AG = \dfrac{2}{3}AM$.

$\Rightarrow$ $G$ là trọng tâm của $\triangle AHD$.

Mà $HO$ là đường trung tuyến của $\triangle AHD$.

$\Rightarrow$ $G$ $\in$ $HO$ và $GH = 2GO$.

 Vậy $O$, $H$, $G$ cùng thuộc một đường thẳng và $GH = 2GO$.

* Lưu ý: Do không soạn được kí hiệu đồng dạng như trong SGK của VN nên tôi thay bằng kí hiệu đồng dạng "$\sim$" trong bài viết.

Read More

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2015$-$2016

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2015$-$2016

Bài 1. Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) $x^2 - 8x + 15 = 0$

b) $2x^2 - \sqrt 2 x - 2 = 0$

c) $x^4 - 5x^2 - 6 = 0$

d) $\begin{cases}2x + 5y = -3\\3x - y = 4\end{cases}$

Bài 2.

a) Vẽ đồ thị $(P)$ của hàm số $y = x^2$ và đường thẳng $(D)$: $y = x + 2$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ các giao điểm của $(P)$ và $(D)$ ở câu trên bằng phép tính.

Bài 3. Thu gọn các biểu thức sau:

$A = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{\sqrt x  - 10}}{{x - 4}}$ ($x \ge 0$, $x \ne 4$);
$B = \left( {13 - 4\sqrt 3 } \right)\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right) - 8\sqrt {20 + 2\sqrt {43 + 24\sqrt 3 } }$

Bài 4. Cho phương trình $x^2 - mx + m - 2 = 0$ (1) ($x$ là ẩn số).

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị $m$.

b) Định $m$ để hai nghiệm $x_1$, $x_2$ của (1) thỏa mãn $\dfrac{{x_1^2 - 2}}{{{x_1} - 1}} \cdot \dfrac{{x_2^2 - 2}}{{{x_2} - 1}} = 4$.

Bài 5. Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ cắt các cạnh $AC$, $AB$ lần lượt tại $E$, $F$. Gọi $H$ là giao điểm của $BE$ và $CF$; $D$ là giao điểm của $AH$ và $BC$.

a) Chứng minh $AD \perp BC$ và $AH \cdot AD = AE \cdot AC$.

b) Chứng minh $EFDO$ là tứ giác nội tiếp.

c) Trên tia đối của tia $DE$ lấy điểm $L$ sao cho $DL = DF$. Tính số đo góc $BLC$.

d) Gọi $R$, $S$ lần lượt là hình chiếu của $B$, $C$ lên $EF$. Chứng minh $DE + DF = RS$.

Read More

[HÌNH HỌC 8] BỔ ĐỀ HÌNH THANG

$\boxed{\text {Bổ đề hình thang: }}$

Trong hình thang hai đáy không bằng nhau, giao điểm của hai đường thẳng chứa hai cạnh bên, giao điểm của hai đường chéo và trung điểm của hai đáy cùng nằm trên một đường thẳng.

Chứng minh.

Cách 1: Gọi giao điểm của $AD$ và $BC$ là $M$, giao điểm của $AC$ và $BD$ là $O$, trung điểm của $AB$ và $CD$ lần lượt là $E$ và $F$.

$\triangle OAB$ $\sim$ $\triangle OCD$ (g – g)

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{{AO}}{{CO}}$

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{2AE}}{{2CF}} = \dfrac{{AO}}{{CO}}$

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{AE}}{{CF}} = \dfrac{{AO}}{{CO}}$.

$\triangle OAE$ $\sim$ $\triangle OCF$ (c – g – c)

$ \Rightarrow $ $\widehat {AOE} = \widehat {COF}$

mà $\widehat {AOE} + \widehat {EOC} = {180^\circ}$

$ \Rightarrow $ $\widehat {COF} + \widehat {EOC} = {180^\circ}$

$ \Rightarrow $ $\widehat {EOF} = {180^\circ}$

$ \Rightarrow $ $E$, $O$, $F$ thẳng hàng. (1)

Mặt khác, $\triangle MAB$ $\sim$ $\triangle MDC$ (g – g)

$ \Rightarrow $ $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{{MA}}{{MD}}$

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{2AE}}{{2DF}} = \dfrac{{MA}}{{MD}}$

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{AE}}{{DF}} = \dfrac{{AM}}{{DM}}$.

$\triangle MAE$ $\sim$ $\triangle MDF$ (c – g – c)

$ \Rightarrow $ $\widehat {AME} = \widehat {DMF}$.

$ \Rightarrow $ $M$, $E$, $F$ thẳng hàng.     (2)

(1), (2) $ \Rightarrow $ $M$, $E$, $O$, $F$ thẳng hàng.

Cách 2:

Gọi giao điểm của $AD$ và $BC$ là $M$, giao điểm của $AC$ và $BD$ là $O$, giao điểm của $MO$ và $AB$ là $E$, giao điểm của $MO$ và $CD$ là $F$.

Ta có:

$EB$ $\parallel$ $DF$ $ \Rightarrow $ $\dfrac{{EB}}{{DF}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}$.    (1)

$AE$ $\parallel$ $DF$ $ \Rightarrow $ $\dfrac{{AE}}{{DF}} = \dfrac{{MA}}{{MD}}$.    (2)

$AB$ $\parallel$ $CD$ $ \Rightarrow $ $\dfrac{{OB}}{{OD}} = \dfrac{{AB}}{{CD}}$ và $\dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{{AB}}{{CD}}$.    (3)

(1), (2), (3) $ \Rightarrow $ $\dfrac{{AE}}{{DF}} = \dfrac{{EB}}{{DF}}$.

$ \Rightarrow $ $AE = EB$

$ \Rightarrow $ $E$ là trung điểm $AB$.

Ta lại có:

$\dfrac{{AE}}{{DF}} = \dfrac{{EB}}{{FC}}\left( { = \dfrac{{ME}}{{MF}}} \right)$ (theo bài toán Chùm đường thẳng)

mà $AE = EB$ (cmt)

$ \Rightarrow $ $DF = FC$

$ \Rightarrow $ $F$ là trung điểm $CD$.

* Lưu ý: Do không soạn được kí hiệu đồng dạng như trong SGK của VN nên tôi thay bằng kí hiệu đồng dạng "$\sim$" trong bài viết.

Read More

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2014$-$2015

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2014$-$2015

Bài 1. Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) $x^2 - 7x + 12 = 0$

b) $x^2 - \left( {\sqrt 2  + 1} \right)x + \sqrt 2  = 0$

c) $x^4 - 9x^2 + 20 = 0$

d) $\begin{cases}3x - 2y = 4\\4x - 3y = 5\end{cases}$

Bài 2.

a) Vẽ đồ thị $(P)$ của hàm số $y = {x^2}$ và đường thẳng $(D)$: $y = 2x + 3$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ các giao điểm của $(P)$ và $(D)$ ở câu trên bằng phép tính.

Bài 3. Thu gọn các biểu thức sau:

$A = \dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 5  + 2}} + \dfrac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5  - 1}} - \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }}$

$B = \left( {\dfrac{x}{{x + 3\sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 3}}} \right):\left( {1 - \dfrac{2}{{\sqrt x }} + \dfrac{6}{{x + 3\sqrt x }}} \right)$ ($x > 0$)

Bài 4. Cho phương trình ${x^2} - mx - 1 = 0$ (1) ($x$ là ẩn số).

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu.

b) Gọi $x_1$, $x_2$ là các nghiệm của phương trình (1). Tính giá trị của biểu thức $P = \dfrac{{x_1^2 + {x_1} - 1}}{{{x_1}}} - \dfrac{{x_2^2 + {x_2} - 1}}{{{x_2}}}$.

Bài 5. Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm $O$ ($AB < AC$). Các đường cao $AD$ và $CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh tứ giác $BFHD$ nội tiếp. Suy ra $\widehat {AHC} = {180^\circ} - \widehat {ABC}$.

b) Gọi $M$ là điểm bất kì trên cung nhỏ $BC$ của đường tròn $(O)$ ($M$ khác $B$ và $C$) và $N$ là điểm đối xứng của $M$ qua $AC$. Chứng minh tứ giác $AHCN$ nội tiếp.

c) Gọi $I$ là giao điểm của $AM$ và $HC$; $J$ là giao điểm của $AC$ và $HN$. Chứng minh $\widehat {AJI} = \widehat {ANC}$.

d) Chứng minh rằng $OA$ vuông góc $IJ$.

Read More

[HÌNH HỌC 8] TÓM TẮT CHƯƠNG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

TÓM TẮT CHƯƠNG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Read More

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2013$-$2014

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2013$-$2014

Bài 1. Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) $x^2 - 5x + 6 = 0$

b) $x^2 - 2x - 1 = 0$

c) $x^4 + 3{x^2} - 4 = 0$

d) $\begin{cases}2x - y = 3\\x + 2y = -1\end{cases}$

Bài 2.

a) Vẽ đồ thị $(P)$ của hàm số $y = {x^2}$ và đường thẳng $(D)$: $y =  - x + 2$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ các giao điểm của $(P)$ và $(D)$ ở câu trên bằng phép tính.

Bài 3. Thu gọn các biểu thức sau:

$A = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \dfrac{3}{{\sqrt x  - 3}}} \right).\dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{x + 9}}$ với $x \ge 0$, $x \ne 9$.
$B = 21{\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 }  + \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^2} - 6{\left( {\sqrt {2 - \sqrt 3 }  + \sqrt {3 + \sqrt 5 } } \right)^2} - 15\sqrt{15} $.

Bài 4. Cho phương trình $8{x^2} - 8x + {m^2} + 1 = 0$ (*) ($x$ là ẩn số).

a) Định $m$ để phương trình (*) có nghiệm $x = \dfrac{1}{2}$.

b) Định $m$ để phương trình (*) có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ thỏa điều kiện $x_1^4 - x_2^4 = x_1^3 - x_2^3$.

Bài 5. Cho tam giác $ABC$ không có góc tù ($AB < AC$), nội tiếp đường tròn $(O;R)$ ($B$, $C$ cố định, $A$ di động trên cung lớn $BC$). Các tiếp tuyến tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $M$. Từ $M$ kẻ đường thẳng song song với $AB$, đường thẳng này cắt $(O)$ tại $D$ và $E$ ($D$ thuộc cung nhỏ $BC$), cắt $BC$ tại $F$, cắt $AC$ tại $I$.

a) Chứng minh rằng $\widehat {MBC} = \widehat {BAC}$. Từ đó suy ra $MBIC$ là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng $FI \cdot FM = FD \cdot FE$.

c) Đường thẳng $OI$ cắt $(O)$ tại $P$ và $Q$ ($P$ thuộc cung nhỏ $AB$). Đường thẳng $QF$ cắt $(O)$ tại $T$ ($T$ khác $Q$). Chứng minh ba điểm $P$, $T$, $M$ thẳng hàng.

d) Tìm vị trí điểm $A$ trên cung lớn $BC$ sao cho tam giác $IBC$ có diện tích lớn nhất.

Read More

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2012$-$2013

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2012$-$2013

Bài 1. Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) $2x^2-x-3 = 0$

b) $\begin{cases}2x - 3y = 7\\3x + 2y = 4\end{cases}$

c) $x^4 + x^2 - 12 = 0$

d) $x^2 - 2\sqrt 2 x - 7 = 0$

Bài 2.

a) Vẽ đồ thị $(P)$ của hàm số $y = \dfrac{1}{4}{x^2}$ và đường thẳng $(D)$: $y =-\dfrac{1}{2}x + 2$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ các giao điểm của $(P)$ và $(D)$ ở câu trên bằng phép tính.

Bài 3. Thu gọn các biểu thức sau:

a) $A = \dfrac{1}{{x + \sqrt x }} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{x - \sqrt x }}$ với $x > 0$, $x \ne 1$.

b) $B = \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\sqrt {26 + 15\sqrt 3 }  - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {26 - 15\sqrt 3 }$.

Bài 4. Cho phương trình: $x^2 - 2mx + m - 2 = 0$ ($x$ là ẩn số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m$.

b) Gọi $x_1$, $x_2$ là các nghiệm của phương trình. Tìm $m$ để biểu thức $A = \dfrac{{ - 24}}{{x_1^2 + x_2^2 - 6{x_1}{x_2}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 5. Cho đường tròn $(O)$ có tâm $O$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Đường thẳng $MO$ cắt $(O)$ tại $E$ và $F$ ($ME < MF$). Vẽ cát tuyến $MAB$ và tiếp tuyến $MC$ của $(O)$ ($C$ là tiếp điểm, $A$ nằm giữa hai điểm $M$ và $B$, $A$ và $C$ nằm khác phía đối với đường thẳng $MO$).

a) Chứng minh rằng $MA \cdot MB = ME \cdot MF$.

b) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $C$ lên đường thẳng $MO$. Chứng minh tứ giác $AHOB$ nội tiếp.

c) Trên nửa mặt phẳng bờ $OM$ có chứa điểm $A$, vẽ nửa đường tròn đường kính $MF$; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại $E$ của $(O)$ ở $K$. Gọi $S$ là giao điểm của hai đường thẳng $CO$ và $KF$. Chứng minh rằng đường thẳng $MS$ vuông góc với đường thẳng $KC$.

d) Gọi $P$ và $Q$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $EFS$ và $ABS$, $T$ là trung điểm của $KS$. Chứng minh ba điểm $P$, $Q$, $T$ thẳng hàng.

Read More