[HÌNH HỌC 9] ĐƯỜNG THẲNG EULER

$\boxed{\text {Bài toán: }}$

Cho O, H, G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm của $\triangle$ABC. Chứng minh rằng O, H, G cùng thuộc một đường thẳng (được gọi là đường thẳng Euler của $\triangle$ABC) và GH = 2GO.

Giải

Chứng minh.

Cách 1:

Vẽ OM $\bot$ BC, ON $\bot$ AC

Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC (đ/lí đường kính vuông góc dây cung)

$ \Rightarrow $ MN là đường trung bình của $\triangle$ABC

$ \Rightarrow $ MN // AB

$ \Rightarrow $ $\widehat {NMC} = \widehat {ABC}$, $\widehat {MNC} = \widehat {BAC}$

$\widehat {OMN} + \widehat {NMC} = {90^0}$, $\widehat {HAB} + \widehat {ABC} = {90^0}$, $\widehat {NMC} = \widehat {ABC}$

$ \Rightarrow $ $\widehat {OMN} = \widehat {HAB}$

$\widehat {ONM} + \widehat {MNC} = {90^0}$, $\widehat {ABH} + \widehat {BAC} = {90^0}$, $\widehat {MNC} = \widehat {BAC}$

$ \Rightarrow $ $\widehat {ONM} = \widehat {ABH}$

$\triangle$OMN và $\triangle$HAB có: $\widehat {OMN} = \widehat {HAB}$ (cmt), $\widehat {ONM} = \widehat {ABH}$ (cmt)

$ \Rightarrow $ $\triangle$OMN $\sim$ $\triangle$HAB (g – g)

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{OM}}{{HA}} = \dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{1}{2}$

$ \Rightarrow $ $OM = \dfrac{1}{2}HA$

Gọi G’ là giao điểm của AM và OH

OM // AH $ \Rightarrow $ $\dfrac{{G'M}}{{G'A}} = \dfrac{{OM}}{{HA}} = \dfrac{1}{2}$

$ \Rightarrow $ G’ là trọng tâm của $\triangle$ABC

$ \Rightarrow $ G’ $ \equiv $ G

Vậy H, G, O thẳng hàng và $\dfrac{{GO}}{{GH}} = \dfrac{{OM}}{{HA}} = \dfrac{1}{2}$

Cách 2:

Gọi M là trung điểm BC. Kẻ đường kính AD.

Ta có: $\widehat {ACD} = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$ \Rightarrow $ CD $\bot$ AC

mà BH $\bot$ AC

$ \Rightarrow $ BH // CD

Tương tự, CH // BD

BHCD là hình bình hành (hai cặp cạnh đối song song)

mà M là trung điểm của BC

$ \Rightarrow $ M là trung điểm HD

$\triangle$ABC có AM là đường trung tuyến (M là trung điểm BC), G là trọng tâm

$ \Rightarrow $ G $\in$ AM và $AG = \dfrac{2}{3}AM$

$\triangle$AHD có AM là đường trung tuyến (M là trung điểm HD), G $\in$ AM và $AG = \dfrac{2}{3}AM$

$ \Rightarrow $ G là trọng tâm của $\triangle$AHD

mà HO là đường trung tuyến của $\triangle$AHD

$ \Rightarrow $ G $\in$ HO và GH = 2GO

 Vậy O, H, G cùng thuộc một đường thẳng và GH = 2GO

* Lưu ý: Do không soạn được kí hiệu đồng dạng như trong SGK của VN nên tôi thay bằng kí hiệu đồng dạng "$\sim$" trong bài viết.

Read More

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2015$-$2016

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2015$-$2016

Bài 1. Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) ${x^2} - 8x + 15 = 0$

b) $2{x^2} - \sqrt 2 x - 2 = 0$

c) ${x^4} - 5{x^2} - 6 = 0$

d) $\begin{cases}2x + 5y = -3\\3x - y = 4\end{cases}$

Bài 2.

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số $y = {x^2}$ và đường thẳng (D): $y = x + 2$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.

Bài 3. Thu gọn các biểu thức sau:

$A = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{\sqrt x  - 10}}{{x - 4}}$ (x $\ge$ 0, x $\ne$ 4)
$B = \left( {13 - 4\sqrt 3 } \right)\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right) - 8\sqrt {20 + 2\sqrt {43 + 24\sqrt 3 } }$

Bài 4. Cho phương trình: ${x^2} - mx + m - 2 = 0$ (1) (x là ẩn số)

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m.

b) Định m để hai nghiệm $x_1$, $x_2$ của (1) thỏa mãn: $\dfrac{{x_1^2 - 2}}{{{x_1} - 1}}.\dfrac{{x_2^2 - 2}}{{{x_2} - 1}} = 4$.

Bài 5. Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại E, F. Gọi H là giao điểm của BE và CF; D là giao điểm của AH và BC.

a) Chứng minh: AD $\bot$ BC và AH.AD = AE.AC .

b) Chứng minh: EFDO là tứ giác nội tiếp.

c) Trên tia đối của tia DE lấy điểm L sao cho DL = DF. Tính số đo góc BLC.

d) Gọi R, S lần lượt là hình chiếu của B, C lên EF. Chứng minh: DE + DF = RS.

Read More

[HÌNH HỌC 8] BỔ ĐỀ HÌNH THANG

$\boxed{\text {Bổ đề hình thang: }}$

Trong hình thang hai đáy không bằng nhau, giao điểm của hai đường thẳng chứa hai cạnh bên, giao điểm của hai đường chéo và trung điểm của hai đáy cùng nằm trên một đường thẳng.

Chứng minh.

Cách 1: Gọi giao điểm của AD và BC là M, giao điểm của AC và BD là O, trung điểm của AB và CD lần lượt là E và F.

$\triangle$OAB $\sim$ $\triangle$OCD (g – g)

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{{AO}}{{CO}}$

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{2AE}}{{2CF}} = \dfrac{{AO}}{{CO}}$

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{AE}}{{CF}} = \dfrac{{AO}}{{CO}}$

$\triangle$OAE $\sim$ $\triangle$OCF (c – g – c)

$ \Rightarrow $ $\widehat {AOE} = \widehat {COF}$

mà $\widehat {AOE} + \widehat {EOC} = {180^0}$

$ \Rightarrow $ $\widehat {COF} + \widehat {EOC} = {180^0}$

$ \Rightarrow $ $\widehat {EOF} = {180^0}$

$ \Rightarrow $ E, O, F thẳng hàng (1)

Mặt khác, $\triangle$MAB $\sim$ $\triangle$MDC (g – g)

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{{MA}}{{MD}}$

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{2AE}}{{2DF}} = \dfrac{{MA}}{{MD}}$

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{AE}}{{DF}} = \dfrac{{AM}}{{DM}}$

$\triangle$MAE $\sim$ $\triangle$MDF (c – g – c)

$ \Rightarrow $ $\widehat {AME} = \widehat {DMF}$

$ \Rightarrow $ M, E, F thẳng hàng     (2)

(1), (2) $ \Rightarrow $M, E, O, F thẳng hàng

Cách 2:

Gọi giao điểm của AD và BC là M, giao điểm của AC và BD là O, giao điểm của MO và AB là E, giao điểm của MO và CD là F.

Ta có:

EB // DF $ \Rightarrow $ $\dfrac{{EB}}{{DF}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}$    (1)

AE // DF $ \Rightarrow $ $\dfrac{{AE}}{{DF}} = \dfrac{{MA}}{{MD}}$    (2)

AB // CD $ \Rightarrow $ $\dfrac{{OB}}{{OD}} = \dfrac{{AB}}{{CD}}$ và $\dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{{AB}}{{CD}}$    (3)

(1), (2), (3) $ \Rightarrow $ $\dfrac{{AE}}{{DF}} = \dfrac{{EB}}{{DF}}$

$ \Rightarrow $ AE = EB

$ \Rightarrow $ E là trung điểm AB

Ta lại có:

$\dfrac{{AE}}{{DF}} = \dfrac{{EB}}{{FC}}\left( { = \dfrac{{ME}}{{MF}}} \right)$ (theo bài toán Chùm đường thẳng)

mà AE = EB (cmt)

$ \Rightarrow $ DF = FC

$ \Rightarrow $ F là trung điểm CD

* Lưu ý: Do không soạn được kí hiệu đồng dạng như trong SGK của VN nên tôi thay bằng kí hiệu đồng dạng "$\sim$" trong bài viết.

Read More

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2014$-$2015

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2014$-$2015

Bài 1. Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) ${x^2} - 7x + 12 = 0$

b) ${x^2} - \left( {\sqrt 2  + 1} \right)x + \sqrt 2  = 0$

c) ${x^4} - 9{x^2} + 20 = 0$

d) $\begin{cases}3x - 2y = 4\\4x - 3y = 5\end{cases}$

Bài 2.

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số $y = {x^2}$ và đường thẳng (D): $y = 2x + 3$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.

Bài 3. Thu gọn các biểu thức sau:

$A = \dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 5  + 2}} + \dfrac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5  - 1}} - \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }}$

$B = \left( {\dfrac{x}{{x + 3\sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 3}}} \right):\left( {1 - \dfrac{2}{{\sqrt x }} + \dfrac{6}{{x + 3\sqrt x }}} \right)$ (x > 0)

Bài 4. Cho phương trình ${x^2} - mx - 1 = 0$ (1) (x là ẩn số)

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu.

b) Gọi $x_1$, $x_2$ là các nghiệm của phương trình (1). Tính giá trị của biểu thức: $P = \dfrac{{x_1^2 + {x_1} - 1}}{{{x_1}}} - \dfrac{{x_2^2 + {x_2} - 1}}{{{x_2}}}$.

Bài 5. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Các đường cao AD và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp. Suy ra $\widehat {AHC} = {180^0} - \widehat {ABC}$.

b) Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B và C) và N là điểm đối xứng của M qua AC. Chứng minh tứ giác AHCN nội tiếp.

c) Gọi I là giao điểm của AM và HC; J là giao điểm của AC và HN. Chứng minh $\widehat {AJI} = \widehat {ANC}$.

d) Chứng minh rằng: OA vuông góc IJ.

Read More

[HÌNH HỌC 8] TÓM TẮT CHƯƠNG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

TÓM TẮT CHƯƠNG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Read More

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2013$-$2014

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2013$-$2014

Bài 1. Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) ${x^2} - 5x + 6 = 0$

b) ${x^2} - 2x - 1 = 0$

c) ${x^4} + 3{x^2} - 4 = 0$

d) $\begin{cases}2x - y = 3\\x + 2y = -1\end{cases}$

Bài 2.

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số $y = {x^2}$ và đường thẳng (D): $y =  - x + 2$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.

Bài 3. Thu gọn các biểu thức sau:

$A = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \dfrac{3}{{\sqrt x  - 3}}} \right).\dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{x + 9}}$ với x $\ge$ 0, x $\ne$ 9
$B = 21{\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 }  + \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^2} - 6{\left( {\sqrt {2 - \sqrt 3 }  + \sqrt {3 + \sqrt 5 } } \right)^2} - 15\sqrt {15} $

Bài 4. Cho phương trình $8{x^2} - 8x + {m^2} + 1 = 0$ (*) (x là ẩn số)

a) Định m để phương trình (*) có nghiệm $x = \dfrac{1}{2}$.

b) Định m để phương trình (*) có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ thỏa điều kiện: $x_1^4 - x_2^4 = x_1^3 - x_2^3$

Bài 5. Cho tam giác ABC không có góc tù (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O; R) (B, C cố định, A di động trên cung lớn BC). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt (O) tại D và E (D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC tại F, cắt AC tại I.

a) Chứng minh rằng: $\widehat {MBC} = \widehat {BAC}$. Từ đó suy ra MBIC là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng: FI.FM = FD.FE .

c) Đường thẳng OI cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB). Đường thẳng QF cắt (O) tại T (T khác Q). Chứng minh ba điểm P, T, M thẳng hàng.

d) Tìm vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất.

Read More

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2012$-$2013

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TPHCM NĂM HỌC 2012$-$2013

Bài 1. Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) $2{x^2} - x - 3 = 0$

b) $\begin{cases}2x - 3y = 7\\3x + 2y = 4\end{cases}$

c) ${x^4} + {x^2} - 12 = 0$

d) ${x^2} - 2\sqrt 2 x - 7 = 0$

Bài 2.

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số $y = \dfrac{1}{4}{x^2}$ và đường thẳng (D): $y =  - \dfrac{1}{2}x + 2$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.

Bài 3. Thu gọn các biểu thức sau:

a) $A = \dfrac{1}{{x + \sqrt x }} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{x - \sqrt x }}$ với x > 0, x $\ne$ 1

b) $B = \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\sqrt {26 + 15\sqrt 3 }  - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {26 - 15\sqrt 3 } $

Bài 4. Cho phương trình: ${x^2} - 2mx + m - 2 = 0$ (x là ẩn số)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Gọi $x_1$, $x_2$ là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức $A = \dfrac{{ - 24}}{{x_1^2 + x_2^2 - 6{x_1}{x_2}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 5. Cho đường tròn (O) có tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Đường thẳng MO cắt (O) tại E và F (ME < MF). Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) (C là tiếp điểm, A nằm giữa hai điểm M và B, A và C nằm khác phía đối với đường thẳng MO).

a) Chứng minh rằng MA.MB = ME.MF.

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng MO. Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp.

c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính MF; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K. Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng CO và KF. Chứng minh rằng đường thẳng MS vuông góc với đường thẳng KC.

d) Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABS, T là trung điểm của KS. Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng.

Read More