[HÌNH HỌC 9] CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

$\boxed{\text {Bài toán 1: }}$ Cho $\triangle$ABC vuông tại A có đường cao AH, AD là đường phân giác góc A. Biết BH = 9cm, AB = 15cm.

a) Tính độ dài AH, AC, BC.

b) Tính cosB, $\tan\widehat {CAH}$.

c) Tính độ dài BD.

d) Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt cạnh AC tại E. Chứng minh: BD = DE. Suy ra $\sin \widehat {BED}$.

$\boxed{\text {Bài toán 2: }}$ Cho $\triangle$ABC vuông tại A có đường cao AH, AD là trung tuyến. Biết BC = 25cm, AB = 20cm.

a) Tính độ dài BH, AH, AC

b) Tính sinB, cotC

c) Kẻ đường thẳng đi qua H và song song với AD, đường thẳng này cắt cạnh AC tại I và cắt đường thẳng AB tại K. Chứng minh: AK.AC = AB.AI

d) Chứng minh: HI + HK = 2AD

$\boxed{\text {Bài toán 3: }}$ Cho $\triangle$ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết AC = 16cm, AB = 12cm.

a) Tính độ dài BC, AH, CH.

b) Tính sinB, tanC, $\cot \widehat {BAH}$.

c) Tia phân giác góc B cắt AC tại D. Tính độ dài BD.
d) Chứng minh: $\tan \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2} = \dfrac{{AC}}{{AB + BC}}$

$\boxed{\text {Bài toán 4: }}$ Cho $\triangle$ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết AC = 20cm, AB = 15cm.

a) Tính độ dài BC, AH.

b) Gọi M là trung điểm của HC. Tính sinB, $\tan \widehat {HAM}$.

c) Vẽ tia phân giác AD của $\triangle$AHB (D $\in$ BH). Chứng minh: $\triangle$ACD cân.

d) Gọi I là trung điểm của AH, đường thẳng BI cắt AM, AC lần lượt tại E, F. Chứng minh: BE.BF = BH.BC.

$\boxed{\text {Bài toán 5: }}$ Cho $\triangle$ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành 2 đoạn BH = 9cm, HC = 16cm.

a) Tính độ dài AH và tanC.

b) Từ H vẽ HD, HE lần lượt vuông góc với AB, AC (D $\in$ AB, E $\in$ AC). Chứng minh: ADHE là hình chữ nhật và AB.AD = AC.AE .

c) Tia ED cắt AH tại O và cắt tia CB tại F. Tính tỉ số $\dfrac{{FD}}{{FC}}$.

d) Đường thẳng vuông góc với DE vẽ từ D cắt BC tại M. Chứng minh: AM $\bot$ CO.

$\boxed{\text {Bài toán 6: }}$ Cho $\triangle$ABC vuông tại A có AB = 15cm, AC = 20cm, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AH và BH.

a) Tính độ dài BC, AH, CH.

b) Tính sinB, tanECH. Từ đó tính số đo góc ECH (làm tròn đến độ).

c) CE cắt AF, AB lần lượt tại I và K, EF cắt AC tại N. Chứng minh tam giác CIB đồng dạng tam giác CHK.

d) Tính độ dài EN.

$\boxed{\text {Bài toán 7: }}$ Cho $\triangle$ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM. Biết AB = 15cm, AC = 20cm.

a) Tính độ dài BC, AM.

b) Tính $\sin \widehat {AMH}$, số đo $\widehat {HAM}$ (làm tròn đến độ).

c) Đường thẳng vuông góc với AM vẽ từ C cắt tia AH tại F. Chứng minh rằng tia FM đi qua trung điểm N của AC.

d) Gọi I là trực tâm của $\triangle$ABM. Chứng minh rằng điểm đối xứng với điểm B qua I nằm trên AC.

$\boxed{\text {Bài toán 8: }}$ Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, BC = 5cm. Vẽ BH vuông góc với đường chéo AC (H $\in$ AC)

a) Tính độ dài AC, BH.

b) Tính $\sin \widehat {HBC}$, $\dfrac{{\tan \widehat {ABH}}}{{\cot \widehat {ACB}}}$.

c) Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của AH, AB, CD. BK cắt AC tại I. Chứng minh: đường thẳng DI đi qua trung điểm F của BC.

d) Chứng minh: $\widehat {BMK} = {90^0}$.