[HÌNH HỌC 8] BÀI TOÁN TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG (001)

$\boxed{\text {Bài toán:}}$ Cho $\triangle ABC$, $M$ là trung điểm của $BC$. Đường phân giác của $\widehat {AMB}$ cắt $AB$ ở $E$, đường phân giác của $\widehat {AMC}$ cắt $AC$ ở $F$. Chứng minh $\dfrac{{EA}}{{EB}} = \dfrac{{FA}}{{FC}}$. Suy ra $EF // BC$.

Giải

$\triangle ABM$ có $ME$ là đường phân giác của $\widehat {AMB}$.

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{EA}}{{EB}} = \dfrac{{MA}}{{MB}}$ (tính chất đường phân giác).   (1)

$\triangle ACM$ có $MF$ là đường phân giác của $\widehat {AMC}$.

$ \Rightarrow $ $\dfrac{{FA}}{{FC}} = \dfrac{{MA}}{{MC}}$ (tính chất đường phân giác).   (2)

Mà $MB = MC$ ($M$ là trung điểm của $BC$).         (3)

(1), (2), (3) $ \Rightarrow $ $\dfrac{{EA}}{{EB}} = \dfrac{{FA}}{{FC}}$.

$ \Rightarrow $ $DE \parallel BC$ (định lí Thales đảo).