[SỐ HỌC 6] TOÁN NÂNG CAO VỀ PHÂN SỐ

Bài toán 1: Tìm $n \in $ $\mathbb{N}$ để ba phân số $\dfrac{{21}}{n}$, $\dfrac{{22}}{{n - 1}}$, $\dfrac{{24}}{{n + 1}}$ đều là số tự nhiên.

Bài toán 2: Tìm $n \in $ $\mathbb{Z}$ để $A = \dfrac{{11}}{{n + 1}}$, $B = \dfrac{{6 - 2a}}{{2a + 1}}$ là số nguyên.

Bài toán 3: Chứng tỏ rằng $\dfrac{{21n + 4}}{{14n + 3}}$ là phân số tối giản ($n \in $ $\mathbb{N}$).

Bài toán 4: Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để $\dfrac{{5n + 6}}{{6n + 5}}$ có thể rút gọn được.

Bài toán 5: Với $n \in $ $\mathbb{N}$$^*$, chứng tỏ rằng:

a) $\dfrac{1}{{n(n + 1)}} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{n + 1}}$

b) $\dfrac{2}{{n(n + 1)(n + 2)}} = \dfrac{1}{{n(n + 1)}} - \dfrac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}$

Bài toán 6: Chứng tỏ rằng:

a) $\dfrac{1}{{{n^2}}} < \dfrac{1}{{n - 1}} - \dfrac{1}{n}$ ($n \in $ $\mathbb{N}$, $n \ge 2$)

b) $\dfrac{1}{{{n^2}}} > \dfrac{1}{{n}} - \dfrac{1}{n + 1}$ ($n \in $ $\mathbb{N}$, $n \ge 1$)

Bài toán 7: Cho a, b, m $ \in $ $\mathbb{N}$$^*$. Chứng tỏ rằng:

a) $\dfrac{a}{b} > \dfrac{{a + m}}{{b + m}}$ khi $a > b$

b) $\dfrac{a}{b} < \dfrac{{a + m}}{{b + m}}$ khi $a < b$

Bài toán 8: Tính các tổng sau đây:

1) $A = \dfrac{1}{{1 \cdot 2}} + \dfrac{1}{{2 \cdot 3}} + \dfrac{1}{{3 \cdot 4}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{99 \cdot 100}}$

2) $B = \dfrac{5}{{1 \cdot 6}} + \dfrac{5}{{6 \cdot 11}} + \dfrac{5}{{11 \cdot 16}} + \cdots + \dfrac{5}{{96 \cdot 101}}$

3) $C = \dfrac{1}{{1 \cdot 5}} + \dfrac{1}{{5 \cdot 9}} + \dfrac{1}{{9 \cdot 13}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{37 \cdot 41}}$

4) $D = \dfrac{{11}}{{1 \cdot 3}} + \dfrac{{11}}{{3 \cdot 5}} + \dfrac{{11}}{{5 \cdot 7}} +  \cdots  + \dfrac{{11}}{{97 \cdot 99}}$

5) $E = \dfrac{1}{{6}} + \dfrac{1}{{10}} + \dfrac{1}{{15}} + \dfrac{1}{{21}} + \dfrac{1}{{28}} + \dfrac{1}{{36}} + \dfrac{1}{{45}} + \dfrac{1}{{55}} + \dfrac{1}{{66}} + \dfrac{1}{{78}} + \dfrac{1}{{91}} + \dfrac{1}{{105}}$

6) $F = \dfrac{1}{{1 \cdot 2 \cdot 3}} + \dfrac{1}{{2 \cdot 3 \cdot 4}} + \dfrac{1}{{3 \cdot 4 \cdot 5}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{98 \cdot 99 \cdot 100}}$

7) $G = \dfrac{1}{{2 \cdot 7 \cdot 12}} + \dfrac{1}{{7 \cdot 12 \cdot 17}} + \dfrac{1}{{12 \cdot 17 \cdot 22}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{1997 \cdot 2002 \cdot 2007}}$

8) $H = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{{2^{2004}}}}$

9) $I = \dfrac{7}{{10}} + \dfrac{7}{{{{10}^2}}} + \dfrac{7}{{{{10}^3}}} +  \ldots $

10) $J = 1 + \dfrac{1}{2}\left( {1 + 2} \right) + \dfrac{1}{3}\left( {1 + 2 + 3} \right) + \dfrac{1}{4}\left( {1 + 2 + 3 + 4} \right) +  \cdots  + $

$ + \dfrac{1}{{16}}\left( {1 + 2 + 3 +  \cdots  + 16} \right)$

Bài toán 9: Thực hiện phép tính:

1) $\left( {\dfrac{1}{{2011}} + \dfrac{2}{{2010}} + \dfrac{3}{{2009}} + 4} \right):\left( {\dfrac{1}{{2009}} + \dfrac{1}{{2010}} + \dfrac{1}{{2011}} + \dfrac{1}{{2012}}} \right)$

2) $- \dfrac{1}{{90}} - \dfrac{1}{{72}} - \dfrac{1}{{56}} - \dfrac{1}{{42}} - \dfrac{1}{{30}} - \dfrac{1}{{20}} - \dfrac{1}{{12}} - \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{2}$

3) $\dfrac{3}{2} - \dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{{12}} - \dfrac{9}{{20}} + \dfrac{{11}}{{30}} - \dfrac{{13}}{{42}} + \dfrac{{15}}{{56}} - \dfrac{{17}}{{72}}$
4) $\left( {1 + \dfrac{1}{{1 \cdot 3}}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{2 \cdot 4}}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{3 \cdot 5}}} \right) \ldots \left( {1 + \dfrac{1}{{17 \cdot 19}}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{18 \cdot 20}}} \right)$
5) $\left( {\dfrac{6}{8} + 1} \right)\left( {\dfrac{6}{{18}} + 1} \right)\left( {\dfrac{6}{{30}} + 1} \right) \cdots \left( {\dfrac{6}{{10700}} + 1} \right)$
6) $\left( {1 - \dfrac{1}{3}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{6}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{10}}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{15}}} \right) \cdots \left( {1 - \dfrac{1}{{190}}} \right)$
7) $\left( {1 - \dfrac{4}{1}} \right)\left( {1 - \dfrac{4}{9}} \right)\left( {1 - \dfrac{4}{{25}}} \right) \cdots \left( {1 - \dfrac{4}{{38809}}} \right)$
8) $\dfrac{{\left( {1 + 17} \right)\left( {1 + \dfrac{{17}}{2}} \right)\left( {1 + \dfrac{{17}}{3}} \right) \cdots \left( {1 + \dfrac{{17}}{{19}}} \right)}}{{\left( {1 + 19} \right)\left( {1 + \dfrac{{19}}{2}} \right)\left( {1 + \dfrac{{19}}{3}} \right) \cdots \left( {1 + \dfrac{{19}}{{17}}} \right)}}$

Bài toán 10: Cho ba số $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $abc = 105$ và $bc + b +1$ $ \ne $ 0. Tính giá trị của biểu thức $S = \dfrac{{105}}{{abc + ab + a}} + \dfrac{b}{{bc + b + 1}} + \dfrac{a}{{ab + a + 105}}$.

Bài toán 11: Chứng tỏ rằng:

$\left( {1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} +  \cdots  + \dfrac{1}{{101}}} \right) - \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} +  \cdots  + \dfrac{1}{{100}} + \dfrac{1}{{102}}} \right) = $

$ = \dfrac{1}{{52}} + \dfrac{1}{{53}} + \dfrac{1}{{54}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{101}} + \dfrac{1}{{102}}$

Bài toán 12: Chứng tỏ rằng:

1) $\dfrac{1}{{1 \cdot 2}} + \dfrac{1}{{2 \cdot 3}} + \dfrac{1}{{3 \cdot 4}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{n(n + 1)}} < 1$ ($n \in $ $\mathbb{N}$$^*$)

2) $\dfrac{1}{{{1^2}}} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{{n^2}}} < 2$ ($n \in $ $\mathbb{N}$, $n \ge 2$)

3) $\dfrac{{{{10}^8} + 2}}{{{{10}^8} - 1}} < \dfrac{{{{10}^8}}}{{{{10}^8} - 3}}$

4) $\dfrac{{{{10}^{2004}} + 1}}{{{{10}^{2005}} + 1}} > \dfrac{{{{10}^{2005}} + 1}}{{{{10}^{2006}} + 1}}$ 

5) $\dfrac{{2000}}{{2001}} + \dfrac{{2001}}{{2002}} > \dfrac{{2000 + 2001}}{{2001 + 2002}}$

6) $\dfrac{1}{{11}} + \dfrac{1}{{12}} + \dfrac{1}{{13}} + \dfrac{1}{{14}} + \dfrac{1}{{15}} + \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{17}} + \dfrac{1}{{18}} + \dfrac{1}{{19}} + \dfrac{1}{{20}} > \dfrac{1}{2}$

7) $\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{{13}} + \dfrac{1}{{14}} + \dfrac{1}{{15}} + \dfrac{1}{{61}} + \dfrac{1}{{62}} + \dfrac{1}{{63}} < \dfrac{1}{2}$
8) $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} +  \cdots  + \dfrac{1}{{63}} > 2$

Bài toán 13: Cho a, b, c, d > 0. Chứng tỏ rằng:

a) $\dfrac{{a + b}}{{1 + a + b}} \le \dfrac{a}{{1 + a}} + \dfrac{b}{{1 + b}}$

b) $1 < \dfrac{a}{{a + b + c}} + \dfrac{b}{{b + c + d}} + \dfrac{c}{{c + d + a}} + \dfrac{d}{{d + a + b}} < 2$

Bài toán 14: Chứng minh rằng tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó thì không nhỏ hơn 2.